*

(1.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，長沙，410083；2.中南大學(xué)商學(xué)院，長沙，410083)

1 引言

最優(yōu)消費與投資的問題是金融數(shù)學(xué)學(xué)中的一個重要的研究方向.在1969年，Samuelson考慮了離散時間下的投資者最優(yōu)投資組合選擇與消費行為的問題[1]，與此同時Merton將Samuelson的模型擴(kuò)展到連續(xù)時間情形，并討論了當(dāng)收益率由一個Wiener Brownian運動過程生成時多資產(chǎn)組合的最優(yōu)配置與不確定性下的投資者跨期消費行為[2].之后的研究者在Merton的不確定性條件下的最優(yōu)消費與投資組合研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一系列的推廣與拓展.Basak等分析了效用對打的最優(yōu)動態(tài)投資組合與消費者消費行為的關(guān)系，提出了使用損失預(yù)期的替代風(fēng)險管理模型彌補(bǔ)風(fēng)險價值模型過度偏好風(fēng)險的不足[3].Cox與Huang等研究了資產(chǎn)價格服從擴(kuò)散過程時的最優(yōu)消費與投資組合[4].Choi等研究了生存時間無限時，投資者消費休閑和退休選擇與最優(yōu)投資組合的關(guān)系[5].考慮到消費率通常大于或等于一些非負(fù)過程，Yuan等研究了具有消費習(xí)慣約束的最優(yōu)消費與投資組合策略[6].在具有馬爾可夫切換的金融市場中，F(xiàn)ei推導(dǎo)了廣義Ito公式，并利用帶有馬爾可夫切換的廣義Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程計算了不確定隨機(jī)金融市場下具有馬爾可夫切換的最優(yōu)消費與投資組合[7,8].Mao和Carson將掙錢投資拓展到保險行業(yè)，得到了保險合同的最優(yōu)價格與保險公司最優(yōu)投資組合之間的關(guān)系[9].Lee等研究了在生存相對消費約束下的常數(shù)相對風(fēng)險厭惡(CRRA)效用函數(shù)控制時，在投資者生存時間無限的情形下的選取最優(yōu)消費與投資組合的問題，并提供了其解析解[10].Chang等人使用Legendre多項式，將非線性的HJB方程轉(zhuǎn)化為線性對偶形式，并獲得了其在Vasicek利率模型下最優(yōu)消費與投資組合的解析解[11].Song等討論了在損失厭惡和下行消費約束下的連續(xù)時間最優(yōu)投資組合與消費問題，數(shù)值試驗表明規(guī)避風(fēng)險的投資者喜歡消費更多的錢，但比恒定相對風(fēng)險厭惡的投資者承受的風(fēng)險更少，另外恒定相對風(fēng)險厭惡的投資者的最優(yōu)財富下降速度通常會更快[12].Lim等討論了退休前后不同的最佳消費與投資組合的策略，并給出了其閉解[13].

為了簡化模型，在跨期經(jīng)濟(jì)研究中通常使用具有常數(shù)折現(xiàn)率的指數(shù)折現(xiàn)函數(shù)，Strotz在1955年提出了一個具有時間一致偏好的折現(xiàn)函數(shù)[14].但是，一些心理學(xué)與行為科學(xué)的研究指出，由于時間推移，消費者對產(chǎn)品的心理預(yù)期會發(fā)生一些變化，因此時間一致偏好通常的假設(shè)難以被滿足[15,16].在此基礎(chǔ)上，Harris和Laibson為了反映消費者心理預(yù)期的變化，提出了隨機(jī)雙曲折現(xiàn)模型，允許消費者的心理預(yù)期在持續(xù)一段時間后發(fā)生轉(zhuǎn)變，使得模型更符合實際生活[17].Palacios與Huerta等研究了資產(chǎn)組合的選擇問題[18]，王等研究了雙曲折現(xiàn)假設(shè)下的消費與套期保值問題[19].陳等將隨機(jī)雙曲偏好引入Morten經(jīng)典的跨期消費與投資組合選擇模型，得到了在常數(shù)絕對風(fēng)險厭惡效用函數(shù)假設(shè)下的最優(yōu)消費與投資組合問題的解析解[20].Koo與Lim研究了基于雙曲折現(xiàn)和稅收時間不一致偏好的假設(shè)下的消費與人壽保險的最優(yōu)投資策略[21].

現(xiàn)實世界中的一些隨機(jī)因素通常也會對人的消費行為產(chǎn)生影響.消費行為可以被認(rèn)為服從一個Wiener Brownian運動過程，因此隨機(jī)消費作為一個重要的影響因素需要被加入到模型中.賀芳等研究了在隨機(jī)消費的情形下的保險基金投資問題[22].江和馬提出一個具有隨機(jī)消費的風(fēng)險模型用于計算破產(chǎn)概率[23].本文提出基于隨機(jī)消費模型的投資者消費和資產(chǎn)配置策略，在投資者具有常數(shù)絕對風(fēng)險厭惡效用函數(shù)的假設(shè)條件下，研究具有時間不一致偏好和生存期無限的投資者個人跨期消費與資產(chǎn)投資組合的配置問題，并給出模型的解析解.

2 雙曲折現(xiàn)下的隨機(jī)消費模型

在這一節(jié)中，我們首先回顧隨機(jī)雙曲偏好模型，然后，在Morten提出的連續(xù)時間消費投資模型的基礎(chǔ)上引入隨機(jī)消費行為，建立一個隨機(jī)消費與最優(yōu)投資組合選取的模型.

2.1 隨機(jī)雙曲偏好模型

Harris和Laibson在2013年提出了隨機(jī)雙曲偏好模型.折現(xiàn)區(qū)間按照時間間隔被劃分為當(dāng)前區(qū)間和未來區(qū)間兩個子區(qū)間，在當(dāng)前區(qū)間中，收益按照恒定的折現(xiàn)率δ的指數(shù)折現(xiàn)函數(shù)進(jìn)行折現(xiàn)；同時，在以恒定折現(xiàn)率δ的指數(shù)折現(xiàn)的基礎(chǔ)上乘以時間一致偏好因子β作為在未來區(qū)間的折現(xiàn)函數(shù).那么，這個雙曲折現(xiàn)函數(shù)的表達(dá)式可以寫為如下形式：

這時，隨機(jī)雙曲折現(xiàn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個確定性的跳躍函數(shù)，稱為瞬間滿足折現(xiàn)函數(shù)(IG).時間一致偏好因子β∈(0,1]用來描述偏好隨時間變化產(chǎn)生的偏差程度：β越小，則當(dāng)前時間區(qū)間與未來時間區(qū)間的偏好之間偏差越大；β=1時，當(dāng)前時間區(qū)間與未來時間區(qū)間的偏好不存在偏差，這時，隨機(jī)雙曲偏好模型退化為常數(shù)指數(shù)折現(xiàn)偏好模型.當(dāng)時間t→0時，我們有：

這說明隨機(jī)雙曲折現(xiàn)函數(shù)對于時間t的平穩(wěn)性假設(shè)是滿足的.

2.2 消費投資模型

假設(shè)金融市場在時間區(qū)間[0,T]內(nèi)是一個有借貸限制的完備市場，其中包含有風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)，投資Zp(t)和消費Zc(t)是兩個在完備的概率空間(Ω,F,P)上相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.假設(shè)在t時刻一個固定回報率為r的無風(fēng)險資產(chǎn)的價格St滿足如下微分方程:

dSt=rStdt.

同時，對于有風(fēng)險資產(chǎn)，假設(shè)在t時刻的價格Pt服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，即滿足微分方程：

dPt=Ptμpdt+PtσtdZp，

其中，μp,σt分別是有風(fēng)險資產(chǎn)回報的均值和方差.

假設(shè)投資者在終止時刻T之前退休，在任意t∈[0,T]時刻隨機(jī)地進(jìn)行消費，且隨機(jī)消費Ct滿足下列微分方程：

(1)

其中，μc和σc分別是消費額的均值與方差，|ρ|<1是投資者消費額與其擁有的風(fēng)險資產(chǎn)價值間的相關(guān)系數(shù)，是一個常數(shù).在t時刻，我們記投資者用于投資風(fēng)險資產(chǎn)的財富數(shù)量為θt.為了便于計算，假設(shè)投資者僅擁有初始財富W0>0，沒有工資收入.那么在無限生命周期內(nèi)，其所有資產(chǎn)價值的變化過程滿足如下方程：

dWt=(rWt+(μp-r)θt-Ct)dt+σpθtdZp，

其中，Wt表示投資者在t時刻擁有的財富.

這時投資者的目標(biāo)是選取最優(yōu)的資產(chǎn)配置組合來得到期望效用函數(shù)的最大值，即：

(2)

其中，u(c)為效用函數(shù)，τ是一個參數(shù)為λ的指數(shù)分布隨機(jī)變量，W0=w,C0=c.

3 雙曲折現(xiàn)下的隨機(jī)消費模型的策略求解

定理假設(shè)投資者具有常數(shù)絕對風(fēng)險厭惡效用函數(shù)：

其中，絕對風(fēng)險厭惡系數(shù)η>0，則投資者用于投資風(fēng)險資產(chǎn)的財富的最優(yōu)值為：

證明基于Palacios和Perez提出的雙曲折現(xiàn)模型，使得期望效用函數(shù)最大的解θ*需要滿足如下HJB方程[18]：

(3)

對上式右邊方括號中的函數(shù)關(guān)于變量θ求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)記為f(θ)，得：

f(θ)=(μp-r)Vw+σp2θVww+σpσcρVcw.

令f(θ)=0，即可得到(3)式右邊函數(shù)的一個極值點：

(4)

由于投資者具有常數(shù)絕對風(fēng)險厭惡效用函數(shù)：

不妨假設(shè)值函數(shù)V(w,c)具有如下形式：

(5)

分別計算其各階偏導(dǎo)數(shù)，得：

Vt=0，

Vw=e-ηr(w+bc+a)，

Vw=-ηre-ηr(w+bc+a)，

Vc=be-ηr(w+bc+a)，

Vcc=-ηrb2e-ηr(w+bc+a)，

Vcw=-ηrbe-ηr(w+bc+a).

將它們代入(4)式中，得到：

(6)

現(xiàn)在將(1)式使用差分進(jìn)行近似，得到：

(7)

再將(3)，(6)，(7)式代入K(c)的表達(dá)式中，得：

(8)

整理(5),(6),(8)式并代入(3)式的HJB方程中，得到：

(9)

整理可得：

(10)

(11)

令(10)式等于0，即可得到：

類似地，令(11)式等于0，可得到：

其中

于是，得到最優(yōu)的用于投資有風(fēng)險資產(chǎn)的財富數(shù)量為：

定理證畢.

以下我們給出該最優(yōu)值θ*的幾個性質(zhì).

性質(zhì)1θ*與隨機(jī)雙曲折現(xiàn)模型中的參數(shù)δ和β無關(guān)，僅由μC,μp,σp,σc,ρ,r以及風(fēng)險厭惡系數(shù)η決定.因此，在隨機(jī)消費模型下，用于投資風(fēng)險資產(chǎn)的資產(chǎn)總額與投資人的時間偏好無關(guān).

性質(zhì)2 當(dāng)投資過程與投資者的消費行為無關(guān)，即ρ=0時，最優(yōu)的投資策略為：

此時，用于投資有風(fēng)險資產(chǎn)的財富數(shù)量與風(fēng)險資產(chǎn)的方差σp，風(fēng)險資產(chǎn)的超額收益率μp，風(fēng)險厭惡系數(shù)η以及無風(fēng)險利率r有關(guān).用于投資有風(fēng)險資產(chǎn)的比例為：

性質(zhì)3 當(dāng)ρ=0時，用于投資風(fēng)險資產(chǎn)的財富與無風(fēng)險利率r成反比，隨著無風(fēng)險利率的增高，投資人會將更多的資產(chǎn)用于購買無風(fēng)險資產(chǎn)，這也與實際生活中人們普遍的投資心理吻合.

4 總結(jié)與展望

本文研究了隨機(jī)雙曲折現(xiàn)下的消費行為與風(fēng)險資產(chǎn)投資組合配置的問題.在前人的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步假設(shè)消費過程是一個服從Wiener過程的隨機(jī)行為，在消費的效用函數(shù)為常數(shù)絕對風(fēng)險厭惡函數(shù)的情形下，求得了最優(yōu)資產(chǎn)配置策略的近似解.同時，我們對得到的近似解進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)用于投資有風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)財富量是一個與雙曲折現(xiàn)函數(shù)無關(guān)的常數(shù)，且與隨機(jī)消費行為以及風(fēng)險資產(chǎn)自身的性質(zhì)密切相關(guān).特別地，當(dāng)隨機(jī)消費行為與風(fēng)險資產(chǎn)相互獨立時，用于投資有風(fēng)險資產(chǎn)的最優(yōu)資產(chǎn)量與其他研究者的結(jié)果吻合.在未來的工作中，我們還可以進(jìn)一步將個人的無限生命周期改為有限時間段，并且考慮投資者的勞動收入等.