(廣西民族師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，崇左，532200)

1 引言

在經(jīng)典風(fēng)險模型[1-2]中總假設(shè)保險公司在單位時間內(nèi)收到的保費(fèi)是固定不變的，發(fā)生索賠的次數(shù){N(t),t≥0}服從齊次Poisson過程，索賠額是非負(fù)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量.基于此，文獻(xiàn)[3-7]對其進(jìn)行推廣，考慮隨機(jī)保費(fèi)收入、退保因素、分紅、利率等干擾因素的影響，建立相應(yīng)的風(fēng)險模型，得到了相關(guān)的性質(zhì)、破產(chǎn)概率的上界與最終破產(chǎn)概率等結(jié)論.在這些模型中都假設(shè)保費(fèi)到達(dá)數(shù){M(t),t≥0}與索賠發(fā)生次數(shù){N(t),t≥0}相互獨(dú)立，但在實(shí)際問題中，這兩者通常是相依的，收到的保單數(shù)越多，發(fā)生索賠的次數(shù)就會越多.因此文獻(xiàn)[8-10]討論了理賠次數(shù){N(t),t≥0}是保單到達(dá)數(shù){M(t),t≥0}的p-稀疏過程，運(yùn)用破產(chǎn)論的方法討論模型盈余過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，給出了最終破產(chǎn)概率的表達(dá)式和Lundberg上界.本文在文獻(xiàn)[7，10]的基礎(chǔ)上引入干擾因素，假設(shè)索賠次數(shù){N1(t),t≥0}，退保次數(shù){N2(t),t≥0}和支付紅利的保單數(shù){N3(t),t≥0}分別是保單到達(dá)數(shù){M(t),t≥0}的p1,p2,p3-稀疏過程，建立帶有退保和分紅策略的相依風(fēng)險模型，并運(yùn)用鞅方法討論該模型盈余過程的性質(zhì)，給出最終破產(chǎn)概率的表達(dá)式和破產(chǎn)概率的Lundberg上界.

2 模型的建立

本文考慮如下風(fēng)險模型：保險公司在t≥0時刻的盈余

(1)

其中：u為保險公司的初始資本；{M(t),t≥0}和{Ni(t),t≥0}(i=1,2,3)分別表示在時間區(qū)間(t-1,t]內(nèi)保險公司收到的保單數(shù)、發(fā)生的理賠次數(shù)、退保的保單數(shù)和支付紅利的保單數(shù)；Xk表示第k次的索賠額；Yk表示第k張保單收取的保費(fèi)；Zk表示第k張退保保單的給付額；Ik表示第k次支付的紅利額,且當(dāng)盈余大于或等于給定的非負(fù)整數(shù)紅利界時，保險公司才支付紅利；σ表示干擾系數(shù)；W(t)是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動，代表公司不確定的收益或損失.本文假設(shè)保險公司收取保費(fèi)、進(jìn)行賠付、退保及支付紅利均在時間區(qū)間(t-1,t]的始端進(jìn)行.

對上述模型(1)，做如下假設(shè)：

2) {M(t),t≥0}是強(qiáng)度為λ的Poisson過程，{Ni(t),t≥0}是{M(t),t≥0}的pi(i=1,2,3)-稀疏過程，即{Ni(t),t≥0}服從參數(shù)為λpi(i=1,2,3)的Poisson過程，其中0

3) 假設(shè){Xk,k≥0},{Yk,k≥0},{Zk,k≥0},{Ik,k≥0}之間是相互獨(dú)立的，且由文獻(xiàn)[11]知{M(t),t≥0},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0},{N3(t),t≥0}之間也是相互獨(dú)立的.

記盈利為：

(2)

為了保證公司的正常運(yùn)行，須要求E[S(t)]>0,即μy-p1μx-p2μz-p3μi>0,因此定義相對安全負(fù)荷系數(shù)

定義T=inf{t:t≥0,U(t)<0}(infφ=∞)稱為破產(chǎn)時刻，ψ(u)=Pr(T<∞|U(0)=u)稱為最終破產(chǎn)概率.

3 主要結(jié)論

引理1[13 ]盈利過程{S(t),t≥0}有如下的性質(zhì)：

(1)具有平穩(wěn)獨(dú)立增量；

(2)E[S(t)]=(μy-p1μx-p2μz-p3μi)λt>0；

(3)存在正數(shù)r,使得E[e-rS(t)]<∞.

引理2對于模型(1)的盈利過程{S(t),t≥0},存在一個函數(shù)g(r),使得E[e-rS(t)]=eg(r)t,其中

(3)

LY(r)=E[e-rY]，MX(r)=E[erX].

證明根據(jù)Laplace變換和矩母函數(shù)的定義知：

故

·E[exp{-rσW(t)}]=expt{λ[LY(-r)-1]+λp1[MX(r)-1]

再令

即得E[e-rS(t)]=eg(r)t.

引理3方程g(r)=0存在唯一正解R,稱其為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明∵g(0)=0,

=λ(μy-p1μx-p2μz-p3μi)<0，

證明?v≤t,根據(jù)引理2有

引理4[12]T是ξs停時.

定理2模型(1)的最終破產(chǎn)概率滿足Lundberg不等式：

ψ(u)≤e-Ru,

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明因?yàn)門是ξs停時，任取t0≤∞,易知t0∧T仍是ξs停時，且有

e-ru=Mv(0)=E[Mv(t0∧T)]=E[Mv(t0∧T)|T≤t0]Pr{T≤t0}

+E[Mv(t0∧T)|T>t0]Pr{T>t0}≥E[Mv(t0∧T)|T≤t0]Pr{T≤t0}

=E[Mu(T)|T≤t0]Pr{T≤t0}.

(4)

因?yàn)楫?dāng)T<∞時，有u+S(t)≤0,故

(5)

定理3模型(1)的最終破產(chǎn)概率為

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明在(4)式中取r=R得

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]Pr{T≤t0}+E[e-RU(t0)|T>t0]Pr{T>t0}.

(6)

以I{U(t0)≥0}表示集合{U(t0)≥0}的示性函數(shù)，則有

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]Pr{T>t0}=E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}].

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1,依據(jù)強(qiáng)大數(shù)定理可知，當(dāng)t0→∞時，U(t0)→∞.a.s.所以由控制收斂定理可得

因此在(6)式兩端令t0→∞，即可得證結(jié)論.

推論1在模型(1)中，設(shè)收取的保費(fèi)Yk，理賠額Xk，退保保單的給付額Zk，支付的紅利額Ik分別服從參數(shù)為α1,α2,α3,α4的指數(shù)分布，則調(diào)節(jié)系數(shù)R滿足的方程為：

(7)

4 幾個例子

表1 不同初始準(zhǔn)備金u對應(yīng)的破產(chǎn)概率上界

由表1可以看出初始資本金越多，破產(chǎn)概率就越小，這說明保險公司在條件允許時應(yīng)盡量增加初始準(zhǔn)備金.

例2設(shè)λ=20張/天，σ=1,p1=0.5%,p2=0.05%,p3=0.005%，收取的保費(fèi)Yk,理賠額Xk,退保保單的給付額Zk,支付的紅利額Ik分別服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，針對不同的μx,μz,取不同的初始準(zhǔn)備金u，利用(7)式得到其調(diào)節(jié)系數(shù)R與對應(yīng)的破產(chǎn)概率上界e-Ru如表2.

表2 調(diào)節(jié)系數(shù)R與破產(chǎn)概率上界e-Ru的模擬結(jié)果

由表2可以看出:當(dāng)初始準(zhǔn)備金和退保額一樣時，理賠額越大，破產(chǎn)概率上界就越大，調(diào)節(jié)系數(shù)越小;當(dāng)理賠額與退保額固定時，破產(chǎn)概率上界隨著初始準(zhǔn)備金的增加而減低，這與保險公司的實(shí)際經(jīng)營狀況完全符合.

例3設(shè)保單到達(dá)速率為λ=20張/天，σ=1,p3=0.005%，收取的保費(fèi)Yk，理賠額Xk，退保保單的給付額Zk，支付的紅利額Ik分別服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，初始準(zhǔn)備金u=10000,取不同的p1,p2得到的破產(chǎn)概率上界如表3.

表3 不同的p1, p2對應(yīng)的破產(chǎn)概率上界

由表3可以看出當(dāng)p2一樣時，p1越大，即平均索賠比例越大，破產(chǎn)概率就越大；當(dāng)p1一樣時，p2越大，即退保比例越大，破產(chǎn)概率上界就越大.因此，當(dāng)理賠和退保發(fā)生時，保險公司要合理做好相應(yīng)的工作，減低理賠和退保比例，使公司穩(wěn)定發(fā)展.