李惠萍 徐盛 劉雙艷

提到復(fù)習(xí)課，老師們總覺得難上，為什么呢？通過對學(xué)生及教師的調(diào)查發(fā)現(xiàn)以下幾個(gè)原因：枯燥乏味沒興趣;題太多，作業(yè)多;學(xué)生已經(jīng)會了，教師還在翻來覆去地講;學(xué)困生在復(fù)習(xí)課前后沒有太大的變化;題目外在的情境、形式不吸引孩子，內(nèi)在的思維對學(xué)生沒有挑戰(zhàn)等。如何上好復(fù)習(xí)課？如何通過復(fù)習(xí)既對學(xué)過的知識進(jìn)行查缺補(bǔ)漏，又能通過復(fù)習(xí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，讓數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)落地呢？下面將從筆者指導(dǎo)并展示的6節(jié)復(fù)習(xí)課中，從“復(fù)習(xí)與關(guān)聯(lián)”的角度來談一談怎樣上好復(fù)習(xí)課。

一、在整理中將知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，在關(guān)聯(lián)中建立知識網(wǎng)絡(luò)

整理與復(fù)習(xí)的教學(xué)應(yīng)該是以整理所學(xué)知識、梳理知識脈絡(luò)、構(gòu)建知識體系和提高運(yùn)用知識解決實(shí)際問題能力為主要任務(wù)的一種課型。其基本含義有兩點(diǎn)：一是整理，指把學(xué)過的知識進(jìn)行系統(tǒng)歸類、對比梳理，將零散的知識系統(tǒng)化，將容易模糊的知識清晰化;二是復(fù)習(xí)，指深入學(xué)習(xí)，不是簡單的重復(fù)，而是在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)上對原先學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容進(jìn)行深層次上的再學(xué)習(xí)。它更多的是一個(gè)加深數(shù)學(xué)知識理解，理清數(shù)學(xué)知識間聯(lián)系，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)知識掌握水平，提高數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力和技能的過程。數(shù)學(xué)教師能通過整理與復(fù)習(xí)，將數(shù)學(xué)知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，形成知識網(wǎng)絡(luò)，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)才能很好建立在學(xué)生的頭腦中。

人民教育出版社出版發(fā)行的小學(xué)生數(shù)學(xué)讀本《生本學(xué)材》從一年級上冊開始，在每個(gè)單元結(jié)束后，增加了“復(fù)習(xí)與關(guān)聯(lián)”板塊，希望通過對單元知識的整理，特別是知識間的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生用自己的方法構(gòu)建本單元的知識結(jié)構(gòu)圖，將所學(xué)知識結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化，加深了學(xué)生對知識間的理解。

二、在整理中將知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，在關(guān)聯(lián)中建立數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在復(fù)習(xí)課中，教師首先要具備數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的思想和意識，然后想辦法將這些知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，力求體現(xiàn)一節(jié)復(fù)習(xí)課能解決一類問題，提高復(fù)習(xí)課的效率。例如，昆明市盤龍區(qū)云波小學(xué)徐盛老師在進(jìn)行五年級“長方體與正方體表面積和體積的復(fù)習(xí)”時(shí)，設(shè)計(jì)出了為一個(gè)長方體木塊（如圖1）“刷”“截”“切”“拼”“挖”五種類型的數(shù)學(xué)活動進(jìn)行關(guān)聯(lián)，建立起了關(guān)于長（正）方體表面積和體積的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的建立中，結(jié)合轉(zhuǎn)化、遷移、想象等數(shù)學(xué)思想和方法，幫助學(xué)生重新建立了關(guān)于“長（正）方體表面積和體積”這一類問題的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高了復(fù)習(xí)課的效率。

活動一：解決“刷”的數(shù)學(xué)問題

課件出示：一個(gè)長方體木塊，長6cm、寬2cm、高3cm。

師：這個(gè)長方體的木塊，我們干一件什么事情的時(shí)候，才要求它的表面積？

生1：刷油漆。

師：求刷油漆的面積就是求這個(gè)長方體木塊的表面積。

生2：包裝彩紙。

師：求彩紙的面積就是求這個(gè)長方體木塊的表面積。

師：剛剛有孩子提到了刷油漆，一個(gè)字表示“刷”。

師：可以刷幾個(gè)面？

生：6個(gè)面。

師：6個(gè)面的表面積會“刷”嗎？會列式計(jì)算嗎？（學(xué)生只列式不計(jì)算）

學(xué)生反饋交流：

生：（6×2+6×3+2×3）×2。

師：既然可以“刷”6個(gè)面，還可以“刷”幾個(gè)面？

生：5個(gè)面。

師：日常生活中哪些物體是“刷”5個(gè)面的？

生：無蓋魚缸、游泳池、教室。

師：刷5個(gè)面木塊表面積列出式子。

學(xué)生反饋交流：

生：6×2+（6×3+2×3）×2。

師：這個(gè)算式中的6×2表示什么？

生：要么刷上面要么刷下面，只刷1個(gè)面。

師：除了可以刷6個(gè)面、5個(gè)面還可以刷幾個(gè)面？

生：4個(gè)面。

師：生活中哪些物體刷4個(gè)面？

生：貼商標(biāo)紙、石柱、通風(fēng)管道。

師：刷4個(gè)面的表面積怎樣列式？

學(xué)生反饋交流：

生：（6×3+2×3）×2。

師：剛才我們一直在干一件事情就是“刷”，有的時(shí)候是刷6個(gè)面、5個(gè)面，還有的時(shí)候是刷4個(gè)面。在日常生活中我們要具體問題具體分析，看看到底要刷幾個(gè)面。

關(guān)于“刷”的數(shù)學(xué)活動的開展，教師先引導(dǎo)學(xué)生思考：“刷”和表面積建立的是什么樣的關(guān)系，以及怎樣“刷”，回憶生活中哪些物體是刷6個(gè)面、5個(gè)面（無蓋魚缸、游泳池、教室）、4個(gè)面（通風(fēng)管道、石柱）的，并分別總結(jié)出刷6個(gè)面、5個(gè)面、4個(gè)面的表面積的計(jì)算方法，由此建立了“刷”的數(shù)學(xué)模型，從而讓學(xué)生明白不同的物體求表面積時(shí)計(jì)算的面的個(gè)數(shù)是不一樣的。

活動二：解決“截”的數(shù)學(xué)問題

課件出示：把這個(gè)長方體木塊截成一個(gè)最大的正方體（如圖2），這個(gè)正方體木塊的體積是多少立方厘米？

師：我們從問題入手，要求這個(gè)截下最大正方體木塊的體積，必須要知道什么條件？

生：最短的那條邊2厘米。

師：理由呢？如果截成3厘米的話，2厘米就不夠了。如果截成6厘米，2厘米和3厘米就不夠了。

師：這個(gè)最大的正方體的棱長應(yīng)該是幾厘米？

生：2厘米。

師：不能為3厘米和6厘米?，F(xiàn)在這個(gè)最大正方體的體積能求出來嗎？直接口答列式。

生：2×2×2。

師：表面積怎么求？

生：2×2×6。

在探究“截”的數(shù)學(xué)問題的活動中，怎樣在長方體木塊中截一個(gè)最大的正方體木塊。讓學(xué)生理解最大正方體的棱長只能是原來長方體木塊長、寬、高里面最短的一條，從而建立關(guān)于“截”的數(shù)學(xué)模型。

活動三：解決“切”的數(shù)學(xué)問題

師：把一個(gè)長方體木塊切成兩個(gè)長方體，可以怎樣切？

學(xué)生上臺展示三種切法。

師：一共有幾種切法？

生：3種。

師：切成兩個(gè)長方體后，表面積增加了多少平方厘米？（課件演示第一種切法）

師：第一種切法，表面積增加了多少平方厘米？

生：3×2×2。

師：為什么乘2。

生：切開之后增加了2個(gè)面的面積。

師：你能上臺指一指增加的是哪2個(gè)面嗎？

師：相當(dāng)于增加的是原來長方體左、右兩個(gè)面的面積。

（課件演示第二種切法）

師：第二種切法，表面積增加了多少平方厘米？

生：6×3×2。

師：相當(dāng)于增加的是原來長方體前、后兩個(gè)面的面積。

（課件演示第三種切法）

師：第三種切法，表面積增加了多少平方厘米？

生：6×2×2。

師：相當(dāng)于增加的是原來長方體上、下兩個(gè)面的面積。

（課件出示這三種切法和算式）

師：仔細(xì)觀察圖和算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：算式都乘了2。

師：為什么都乘了2？

生：因?yàn)楸砻娣e都增加了2個(gè)面的面積。

師：還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：切一次增加2個(gè)面。

師：還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：不管是豎著切、橫著切還是攔腰切，表面積都是增加了2個(gè)面的面積。

師：還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：切的次數(shù)×2=增加的面數(shù)。

師：切開之后體積變不變？

生：不變。

師：因此我們可以得出：表面積都增加了原來2個(gè)面的面積，體積不變。

課件出示：

切的次數(shù) 1 2 3 4 5 … n

切開后表面積增加原來幾個(gè)面的面積 2 4 6 8 10 … 2n

師：切1次、2次、3次、4次、5次分別增加幾個(gè)面的面積？

生：2個(gè)、4個(gè)、6個(gè)、8個(gè)、10個(gè)。

師：10次呢？

生：20個(gè)面。

師：20次呢？

生：40個(gè)面。

師：100次呢？

生：200個(gè)面。

師：n次呢？

生：2n個(gè)面。

師：說一說你的理由，好嗎？

生：切1次增加2個(gè)面，切2次增加4個(gè)面，所以依次乘2。

師：也就是說增加幾個(gè)面的面數(shù)=切的次數(shù)×2。

關(guān)于“切”的數(shù)學(xué)活動的開展，教師先引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣“切”，借助課件讓學(xué)生探究每種切法的表面積和體積各有什么變化。通過“切”的數(shù)學(xué)問題的解決過程讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：不管怎么切，長方體的表面積增加，體積不變。切1次會增加2個(gè)面，切口越多，增加的面的個(gè)數(shù)越多。增加的面的個(gè)數(shù)是切數(shù)的2倍，由此建立了切數(shù)和面的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)模型。

接下來用同樣的教學(xué)策略幫助學(xué)生解決關(guān)于“拼”和“挖”的數(shù)學(xué)問題，從而建立起這兩種方法的數(shù)學(xué)模型。通過有關(guān)“挖”的數(shù)學(xué)問題的解決，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：體積會減少1個(gè)小正方體的體積，在不同的位置“挖”表面積增減的情況是不一樣的。在頂點(diǎn)上“挖”表面積不變，在棱的中間上“挖”表面積會增加2個(gè)面的面積，在面的中間“挖”表面積會增加4個(gè)面的面積，通過解決“挖”的數(shù)學(xué)問題，建立了“挖”的數(shù)學(xué)模型。

本節(jié)課通過關(guān)于“刷”“截”“切”“拼”“挖”的一系列問題的解決，在解決問題的應(yīng)用環(huán)節(jié)，隨著開放性問題的提出，教師引導(dǎo)學(xué)生展開想象，使學(xué)生的思維從抽象走向具體，學(xué)生在整理、討論、觀察、比較、分析、歸納等學(xué)習(xí)活動中獲得了“長方體與正方體的表面積和體積”完整的知識結(jié)構(gòu)，達(dá)到了鞏固相關(guān)的知識，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象、建模的能力，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。

三、在整理中將知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，在關(guān)聯(lián)中凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)

教材是知識的載體，是教學(xué)的重要資源。通過復(fù)習(xí)，一方面對知識的關(guān)聯(lián)形成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，而更為重要的是關(guān)注知識的深層次問題，即知識的本質(zhì)，比如：知識的性質(zhì)、思想、方法、作用、能力、轉(zhuǎn)化等方面。怎樣在復(fù)習(xí)課中體現(xiàn)這一思想？昆明市官渡區(qū)東華二小劉雙艷老師在一年級下冊“20以內(nèi)退位減法復(fù)習(xí)”中，很好地通過復(fù)習(xí)，溝通知識，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，很好地培養(yǎng)了一年級學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力。

（一）呈現(xiàn)了36道凌亂的退位減法算式，通過找到分類標(biāo)準(zhǔn)后進(jìn)行分類整理

師：同學(xué)們，你們看著有什么感覺？

生：擺得太亂了。

師：怎樣才能讓它不亂呢？

生：我們可以擺整齊些。

師：也就是我們要把這些算式整理一下。怎樣整理，使它更有序呢？

引導(dǎo)學(xué)生找到分類整理的標(biāo)準(zhǔn)，即按被減數(shù)、減數(shù)、差來分類后，開展小組活動。

這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是為了讓學(xué)生經(jīng)歷從“無序”到“有序”的過程，從而體會有序思考的重要性。

接著設(shè)計(jì)了4人小組活動，讓學(xué)生按照自己小組選擇的分類標(biāo)準(zhǔn)自行整理36道20以內(nèi)退位減法的算式，小組組員之間明確自己的分工，合作整理卡片。

4人小組活動要求：

①和②找。

③擺。

④監(jiān)督。

（二）通過展示學(xué)生作品，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

圖4 組1：被減數(shù)相同? ? ? ? ? ? 圖5 組2：減數(shù)相同

師：你能說一說你們是怎樣整理的嗎？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)都是11、12、13、14、15、16、17、18。

師：你能說清楚你是怎么看的嗎？11、12、13……這些數(shù)叫作什么？

生：我是橫著看的，我發(fā)現(xiàn)被減數(shù)一個(gè)比一個(gè)大1。

圖6 組3：差相同

師：說得真清楚。這個(gè)小朋友用“一個(gè)比一個(gè)”描述了橫著看，被減數(shù)發(fā)生的變化。橫著看，你還能有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：橫著看，我發(fā)現(xiàn)減數(shù)不變。

生2：橫著看，我發(fā)現(xiàn)差一個(gè)比一個(gè)大1。

師：誰能來完整地說一說在這個(gè)作品里，橫著看，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生3：橫著看，減數(shù)不變，被減數(shù)一個(gè)比一個(gè)大1，差一個(gè)比一個(gè)大1。

師：我們還可以怎么看？你又能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律呢？

生4：豎著看，被減數(shù)不變，減數(shù)一個(gè)比一個(gè)小1，差一個(gè)比一個(gè)大1。

......

學(xué)生通過親身經(jīng)歷擺的過程，并且在擺的過程中漸漸發(fā)現(xiàn)被減數(shù)、減數(shù)、差存在一定的規(guī)律，因此在分享規(guī)律的時(shí)候，讓學(xué)生的認(rèn)知從“你發(fā)現(xiàn)了什么”到“規(guī)律是什么”，這樣一個(gè)從表象到抽象的過程，更好培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)建模。

（三）運(yùn)用規(guī)律，解決問題

圖7這個(gè)練習(xí)的編排，是為了讓學(xué)生找到規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律，使學(xué)生深刻地感受到有序地梳理能夠找到規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律能夠很快地解決問題，所以有序地整理，按規(guī)律整理是有價(jià)值的。

四、在整理中將知識進(jìn)行關(guān)聯(lián)，在關(guān)聯(lián)中落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，也是一門研究“關(guān)系”的學(xué)問?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的課程目標(biāo)提出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！彼?， 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生尋找知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識體系，對于幫助建構(gòu)學(xué)生認(rèn)知體系、發(fā)展思維能力有著積極的促進(jìn)作用。

數(shù)學(xué)的學(xué)科知識本身是存在著千絲萬縷的聯(lián)系的，所以數(shù)學(xué)又稱為“關(guān)系學(xué)”。比如：因?yàn)槠揭婆c旋轉(zhuǎn)是圖形運(yùn)動方式，所以“點(diǎn)動成線”“線動成面”“面動成體”的圖形變化規(guī)律就成為銜接平面圖形和立體圖形之間的橋梁。通過這座橋梁，可以把平面圖形和立體圖形的知識相同之處關(guān)聯(lián)起來，從而形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。昆明市呈貢區(qū)斗南學(xué)校楊文水老師進(jìn)行的六年級下冊的復(fù)習(xí)課“從平面到立體”就是以尋找圓柱和圓、長方形（圓柱經(jīng)過圓平移和長方形旋轉(zhuǎn)形成的）之間的聯(lián)系，從而形成了圖形之間的知識體系。

聯(lián)系一：圓和圓柱的關(guān)聯(lián)

開課之初，教師引導(dǎo)學(xué)生找出圓的半徑、直徑、周長、面積之間的關(guān)系，建立圓的知識體系（如圖8）。

然后，讓學(xué)生觀察討論圓疊加（平移）之后，圓和圓柱有什么關(guān)系。通過小組合作，學(xué)生找到了圓的半徑是圓柱的底面半徑、圓的直徑是圓柱的底面直徑、圓的周長是圓柱的底面周長、圓的面積是圓柱的底面面積、圓疊加的個(gè)數(shù)就是圓柱的高，進(jìn)而理解了為什么圓柱的橫截面是圓（如圖9）。

聯(lián)系二：長方形和圓柱的關(guān)聯(lián)

通過讓學(xué)生觀察討論：圓柱是長方形旋轉(zhuǎn)而成的，圓柱和長方形之間有什么聯(lián)系？小組合作，利用長方形分別以長和寬為軸旋轉(zhuǎn)360度形成圓柱，將長方形各部分與圓柱各部分進(jìn)行關(guān)聯(lián)，不僅理解了圓柱的縱截面為什么是長方形，更好發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，為今后進(jìn)行幾何的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，真正讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地。

總之，在本節(jié)課中，通過尋找圓和圓柱、圓柱和長方形之間的關(guān)系，就把與圓柱相關(guān)的所有知識點(diǎn)搭為知識鏈，繼而把這種“回顧舊知，找到聯(lián)系，形成體系，解決問題”的學(xué)習(xí)方法，運(yùn)用到整個(gè)平面圖形和立體圖形的復(fù)習(xí)中，更好地構(gòu)建了數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，提高了復(fù)習(xí)效率，真正實(shí)現(xiàn)知識在建構(gòu)中增值、思維在交流中碰撞、情感在活動中融通。