范三妞 秦玉鵬

【摘要】在利用極坐標計算二重積分時，現(xiàn)行教材的極點通常選定為坐標原點，本文將極點從坐標原點推廣到任意點，應(yīng)用極點在任意點處的極坐標變換公式，給出了此極坐標系下二重積分化為二次積分的公式.結(jié)合具體算例將原公式和推廣的公式進行對比，發(fā)現(xiàn)后者對某些關(guān)于非原點對稱的積分區(qū)域情形更易計算，并討論了兩類極坐標系的選擇標準.

【關(guān)鍵詞】極坐標;二重積分計算;極點位置;積分區(qū)域?qū)ΨQ性

一、引 言

二重積分是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的不同可選擇不同的計算方法和技巧[1-3]，其中應(yīng)用極坐標計算二重積分更是教學(xué)中的重點和難點.現(xiàn)行教材中往往選擇坐標原點作為極坐標系的極點，而對關(guān)于非原點對稱的積分區(qū)域，選用該極點就不能充分利用對稱性來簡化做題過程.為了克服上述問題，本文的主要目標就是將極點從坐標原點推廣到任意點，給出對應(yīng)的極坐標計算公式.

二、極點在坐標原點的情形

本部分將簡要回憶并給出極點在坐標原點時，利用極坐標計算二重積分的若干定理和公式，以便后文的推廣和對比.

通過比較例3的兩種解法，不難發(fā)現(xiàn)：雖然方法2的累次積分中關(guān)于ρ的積分限與θ無關(guān)，但是鑒于被積函數(shù)的形式，使得關(guān)于ρ的積分很難計算，即使筆者借助符號計算軟件Maple也很難計算出結(jié)果.

那么對關(guān)于非原點對稱的積分區(qū)域情形，究竟選用何種極坐標系進行計算更為簡單呢？綜合上述三個例子，不難總結(jié)出計算時應(yīng)綜合考慮如下兩點：

（1）經(jīng)過極坐標變換后的累次積分中，關(guān)于ρ的積分限是否與θ有關(guān);

（2）經(jīng)過極坐標變換后的累次積分中，被積函數(shù)對ρ是否容易積分.

據(jù)此可給出如下標準：

（1）若經(jīng)過極坐標變換后，關(guān)于ρ的積分限與θ無關(guān)，被積函數(shù)對ρ容易積分，則理論上選用積分區(qū)域?qū)ΨQ點作為極點的極坐標計算公式更為簡單，如例1、例2;

（2）對其他情形，則應(yīng)綜合考慮計算量和計算難度后再做選擇，如例3.

五、結(jié) 論

針對應(yīng)用極坐標計算二重積分的公式，本文將極點從坐標原點推廣到了任意點處，并給出了對應(yīng)的極坐標計算二重積分的公式.通過與原公式對比，給出了應(yīng)用極坐標計算需要考慮的兩點因素，并指出推廣的公式對某些關(guān)于非原點對稱的積分區(qū)域情形更易計算.

【參考文獻】

[1]潘志.分部積分法在二重積分中的應(yīng)用[J].工科數(shù)學(xué)，1993（4）：192-193.

[2]汪秀羌.二重積分的對稱性問題[J].工科數(shù)學(xué)，1996（4）：181-184.

[3]劉繼成，王湘君.反常二重積分收斂性的判定[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2015（3）：53-59.

[4]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014：147-160.

[5]黃冶文.二重積分的計算與應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2017（7）：4-7，9.