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        利用極坐標計算二重積分的一個簡單推廣

        2020-06-01 18:41:55范三妞秦玉鵬
        數(shù)學學習與研究 2020年8期
        關鍵詞:極坐標

        范三妞 秦玉鵬

        【摘要】在利用極坐標計算二重積分時,現(xiàn)行教材的極點通常選定為坐標原點,本文將極點從坐標原點推廣到任意點,應用極點在任意點處的極坐標變換公式,給出了此極坐標系下二重積分化為二次積分的公式.結合具體算例將原公式和推廣的公式進行對比,發(fā)現(xiàn)后者對某些關于非原點對稱的積分區(qū)域情形更易計算,并討論了兩類極坐標系的選擇標準.

        【關鍵詞】極坐標;二重積分計算;極點位置;積分區(qū)域對稱性

        一、引 言

        二重積分是高等數(shù)學的重要內(nèi)容之一,根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的不同可選擇不同的計算方法和技巧[1-3],其中應用極坐標計算二重積分更是教學中的重點和難點.現(xiàn)行教材中往往選擇坐標原點作為極坐標系的極點,而對關于非原點對稱的積分區(qū)域,選用該極點就不能充分利用對稱性來簡化做題過程.為了克服上述問題,本文的主要目標就是將極點從坐標原點推廣到任意點,給出對應的極坐標計算公式.

        二、極點在坐標原點的情形

        本部分將簡要回憶并給出極點在坐標原點時,利用極坐標計算二重積分的若干定理和公式,以便后文的推廣和對比.

        通過比較例3的兩種解法,不難發(fā)現(xiàn):雖然方法2的累次積分中關于ρ的積分限與θ無關,但是鑒于被積函數(shù)的形式,使得關于ρ的積分很難計算,即使筆者借助符號計算軟件Maple也很難計算出結果.

        那么對關于非原點對稱的積分區(qū)域情形,究竟選用何種極坐標系進行計算更為簡單呢?綜合上述三個例子,不難總結出計算時應綜合考慮如下兩點:

        (1)經(jīng)過極坐標變換后的累次積分中,關于ρ的積分限是否與θ有關;

        (2)經(jīng)過極坐標變換后的累次積分中,被積函數(shù)對ρ是否容易積分.

        據(jù)此可給出如下標準:

        (1)若經(jīng)過極坐標變換后,關于ρ的積分限與θ無關,被積函數(shù)對ρ容易積分,則理論上選用積分區(qū)域對稱點作為極點的極坐標計算公式更為簡單,如例1、例2;

        (2)對其他情形,則應綜合考慮計算量和計算難度后再做選擇,如例3.

        五、結 論

        針對應用極坐標計算二重積分的公式,本文將極點從坐標原點推廣到了任意點處,并給出了對應的極坐標計算二重積分的公式.通過與原公式對比,給出了應用極坐標計算需要考慮的兩點因素,并指出推廣的公式對某些關于非原點對稱的積分區(qū)域情形更易計算.

        【參考文獻】

        [1]潘志.分部積分法在二重積分中的應用[J].工科數(shù)學,1993(4):192-193.

        [2]汪秀羌.二重積分的對稱性問題[J].工科數(shù)學,1996(4):181-184.

        [3]劉繼成,王湘君.反常二重積分收斂性的判定[J].大學數(shù)學,2015(3):53-59.

        [4]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(下冊):第7版[M].北京:高等教育出版社,2014:147-160.

        [5]黃冶文.二重積分的計算與應用[J].數(shù)學學習與研究,2017(7):4-7,9.

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