梁喜珠， 薛 紅， 王 瑞

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048)

期權(quán)定價(jià)一直是金融數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)問題之一。1973年Black和Scholes創(chuàng)立了第一個(gè)完整的期權(quán)定價(jià)模型[1]，之后隨著期權(quán)市場(chǎng)的迅速發(fā)展，期權(quán)定價(jià)理論的研究取得了突破性進(jìn)展。最值期權(quán)作為一種新型期權(quán)，最初是由Stulz[2]研究的。文獻(xiàn)[3-4]討論了兩種以上資產(chǎn)在幾何Brown運(yùn)動(dòng)環(huán)境下的最值期權(quán)定價(jià)公式。研究表明，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格不能被簡(jiǎn)單地看成服從幾何Brown運(yùn)動(dòng)，于是引入了分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)。Hu和?ksendal[5]證明了分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)能夠更合理地描述標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格。文獻(xiàn)[6-7]利用保險(xiǎn)精算方法給出了分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)環(huán)境下最值期權(quán)的定價(jià)公式；文獻(xiàn)[8-9]分別利用擬鞅定價(jià)和擬條件數(shù)學(xué)期望理論，求得了多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)在分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)環(huán)境下最大值期權(quán)的定價(jià)公式。

隨著深入研究，人們開始使用修正的分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)，例如次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)來描述標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變化[10-11]。Tudor指出次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)是較為一般的高斯過程[12]，其性質(zhì)類似于分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)，不同之處是其增量非平穩(wěn)[13-14]。Yan[15]等給出了次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分，并指出金融資產(chǎn)的隨機(jī)波動(dòng)性可以用它來刻畫。文獻(xiàn)[16-17]分別利用偏微分方程和Wick-Ito積分研究了次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)下帶交易費(fèi)用的備兌權(quán)證定價(jià)問題和支付紅利的歐式看漲期權(quán)定價(jià)問題。本文在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的環(huán)境下，運(yùn)用保險(xiǎn)精算的方法，推導(dǎo)最值期權(quán)的定價(jià)公式。

1 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下金融市場(chǎng)模型

假設(shè)金融市場(chǎng)有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其價(jià)格Si(t)滿足方程

(1)

引理1[14]隨機(jī)微分方程(1)的解為

(2)

定義2[19]資產(chǎn)價(jià)格{Si(t),t≥0}在[t,T]上的期望回報(bào)率βi(u),u∈[t,T]定義為

引理2[20]資產(chǎn)價(jià)格{Si(t),t≥0}在[t,T]上的期望回報(bào)率βi(u),u∈[t,T]滿足

(3)

2 兩種資產(chǎn)的最大值期權(quán)定價(jià)

定義3[2]到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為X，資產(chǎn)Si(T),Sj(T)的最大值歐式看漲、看跌期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格定義為

其中無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)X以無風(fēng)險(xiǎn)利率r折現(xiàn)，資產(chǎn)價(jià)格Si(T),Sj(T)按其期望回報(bào)率βi(u),βj(u)折現(xiàn)。

定理1到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為X，資產(chǎn)價(jià)格Si(T),Sj(T)的最大值歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格

cmax=Si(t)N(ci,di;ρi)+Sj(t)N(cj,-dj;-ρj)-Xe-r(T-t)[1-N(-bi,-bj;ρij)]。

(4)

其中

ci=bi+σi, di=aij+ρiσi,

cj=bj+σj, dj=aij+ρjσj,

證明令

于是

=E[e-μi(T-t)Si(T)I{-ηij

?E1+E2-E3,

其中

E1=E[e-μi(T-t)Si(T)I{-ηij

=Si(t)N(ci,di;ρi)。

同理E2=Sj(t)N(cj,-dj;-ρj),E3=Xe-r(T-t)[1-N(-bi,-bj;ρij)]。

因此cmax=Si(t)N(ci,di;ρi)+Sj(t)N(cj,-dj;-ρj)-Xe-r(T-t)[1-N(-bi,-bj;ρij)]。

定理2到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為X，資產(chǎn)價(jià)格Si(T),Sj(T)的最大值歐式看跌期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格

pmax=Xe-r(T-t)N(-bi,-bj;ρij)-Si(t)N(-ci,di;-ρi)-Sj(t)N(-cj,-dj;ρj),

(5)

其中N(x,y；ρ),bi,bj,ci,cj,di,dj,ρi,ρj,ρij見定理1。

證明類似于定理1的證明，有

=Xe-r(T-t)P{ηi<-bi,ηj<-bj}-E[e-μi(T-t)Si(T)I{-ηij

=Xe-r(T-t)N(-bi,-bj;ρij)-Si(t)N(-ci,di;-ρi)-Sj(t)N(-cj,-dj;ρj)。

推論2關(guān)于資產(chǎn)Si(T),Sj(T)的最大值歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系

cmax-pmax=Si(t)N(di)+Sj(t)N(-dj)-Xe-r(T-t)。

證明由定理1與定理2以及正態(tài)分布性質(zhì)可得。

4 數(shù)值計(jì)算與分析

當(dāng)H1=H2=H3=H=0.3,0.5,0.7時(shí)，運(yùn)用MATLAB軟件計(jì)算兩資產(chǎn)最大值看漲期權(quán)在0時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格，如表1所示。

表1 不同H參數(shù)下最大值看漲期權(quán)價(jià)格

由此可看出，當(dāng)H1=H2=H3=H取不同值時(shí)，兩種資產(chǎn)的最大值期權(quán)價(jià)格有顯著性差異；當(dāng)H1=H2=H3=H=0.5時(shí)，即為幾何Brown運(yùn)動(dòng)下最大值期權(quán)價(jià)格，而當(dāng)H1=H2=H3=H≠0.5時(shí)，即為一般次分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)下最大值期權(quán)價(jià)格；從而可知，市場(chǎng)不同的分形結(jié)構(gòu)對(duì)期權(quán)價(jià)格有顯著性影響。

5 多種資產(chǎn)的最大值期權(quán)定價(jià)

定理3到期日為T，執(zhí)行價(jià)格為X，多種資產(chǎn)S1(T),S2(T),…,Sn(T)的最大值歐式看漲期權(quán)在t時(shí)刻的保險(xiǎn)精算價(jià)格

(6)

其中

ci=bi+σi,i=1,…n,dij=aij+ρij,iσi,i,j=1,…n,

證明令

由于

X?(η1,η2,…,ηn)～N(0,Σ),

Xi?(ηi,ηi1,…,ηi(i-1),ηi(i+1),…,ηn)～N(0,Σi),i=1,2,…,n,

其中0=(0,0,…,0)為n維零向量，協(xié)方差矩陣Σ,Σi為n×n階正定對(duì)稱矩陣。

因此

=E[e-μ1(T-t)S1(T)I{-η1j

+E[e-μn(T-t)Sn(T)I{-ηnj

-Xe-r(T-t)[1-N(-b1,-b2,…,-bn)]

-Xe-r(T-t)[1-N(-b1,-b2,…,-bn;Σ)]

=S1(t)N(c1,d12,d13,…,d1n;Σ1)+S2(t)N(c2,d21,d23,…,d2n;Σ2)+…

+Sn(t)N(cn,dn1,dn2,…,dn(n-1);Σn)-Xe-r(T-t)[1-N(-b1,-b2,…,-bn;Σ)]

-Xe-r(T-t)[1-N(-b1,-b2,…,-bn;Σ)]。

同理可討論多種資產(chǎn)的最大值看跌期權(quán)以及多種資產(chǎn)的最小值看漲和看跌期權(quán)的保險(xiǎn)精算價(jià)格。

6 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，利用保險(xiǎn)精算方法，探討了次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下兩種資產(chǎn)的最大值期權(quán)定價(jià)公式，并對(duì)其進(jìn)行了推廣，得到了相同條件下多種資產(chǎn)的最大值定價(jià)公式.對(duì)于兩種資產(chǎn)和多種資產(chǎn)在次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下的最值期權(quán)定價(jià)，還有待于進(jìn)一步討論研究。