吳淑梅 劉宏博

普通紙帶具有兩個(gè)面（即雙側(cè)曲面）：一個(gè)正面，一個(gè)反面.有沒有一個(gè)紙帶只有一個(gè)面（即單側(cè)曲面），一只小蟲可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過它的邊緣？對(duì)于這樣一個(gè)看來十分簡單的問題，數(shù)百年間，曾有許多科學(xué)家進(jìn)行了認(rèn)真研究，結(jié)果都沒有成功.

1858年德國的數(shù)學(xué)家莫比烏斯發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯帶（莫比烏斯圈）：把紙條的一端扭轉(zhuǎn)180°，與另一端粘在一起，就做成了莫比烏斯帶.它不同于普通紙帶具有兩個(gè)面，莫比烏斯帶只有一個(gè)面（即單側(cè)曲面）.

宋朝詩人蘇軾曾寫過一首回形詩：賞花歸去馬如飛，去馬如飛酒力微，酒力微醒時(shí)已暮，醒時(shí)已暮賞花歸.如果在紙條正面寫上“賞花歸去馬如飛”，在背面等距寫上“酒力微醒時(shí)已暮”，然后把紙條做成“莫比烏斯帶”狀，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：順著這個(gè)圈，你就可以反復(fù)無窮地讀出這首詩，這很好地反映出“莫比烏斯帶”的特點(diǎn).

在長方形紙帶沿長邊的方向上畫一中線，做成莫比烏斯帶，然后沿中線剪開，所得是一個(gè)長度為原來莫比烏斯帶長度的兩倍、寬度為原來莫比烏斯帶寬度的二分之一的一條帶子.但這個(gè)帶子不是莫比烏斯帶，并且是雙側(cè)曲面.

若把原來長方形紙帶沿帶長方向畫兩條三等分線后，粘合成莫比烏斯帶.沿著三等分線把帶子用剪刀剪開，結(jié)果是一大一小兩個(gè)環(huán)帶套在一起.較長的那個(gè)帶子，是前面描述過的，雙側(cè)曲面，另一個(gè)則是一個(gè)莫比烏斯帶.

以曲面上邊緣外的每一點(diǎn)為圓心各畫一個(gè)小圓，對(duì)每個(gè)小圓周指定一個(gè)方向，稱為相伴莫比烏斯圈單側(cè)曲面圓心點(diǎn)的指向.若能使相鄰兩點(diǎn)相伴的指向相同，則稱曲面可定向，否則稱為不可定向.莫比烏斯圈是不可定向的.比如，拿一個(gè)球體，在北極點(diǎn)處可以宣稱此點(diǎn)方向“向外”，指向?yàn)樨Q直向上.當(dāng)在球面上移動(dòng)該點(diǎn)時(shí)，“向外”的方向仍然指向球體外部.相比之下，試著在莫比烏斯帶上任意選擇具有“向上”或“向下”的點(diǎn).當(dāng)沿著莫比烏斯帶滑動(dòng)時(shí)，最終回到最開始所選擇的點(diǎn)，方向已經(jīng)由“向上”變成“向下”了.

莫比烏斯帶還有著更為奇異的特性.一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯圈上獲得了解決.比如在普通空間無法實(shí)現(xiàn)的“手套易位問題”：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質(zhì)的不同.我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去，也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來.無論你怎么扭來轉(zhuǎn)去，左手套永遠(yuǎn)是左手套，右手套也永遠(yuǎn)是右手套.不過，倘若你把它搬到莫比烏斯圈上來，那么解決起來就易如反掌了.讓我們展開想象的翅膀，設(shè)想我們的空間在宇宙的某個(gè)邊緣，呈現(xiàn)出莫比烏斯圈式的彎曲，那么，有朝一日，我們的星際宇航員會(huì)帶著左胸腔的心臟出發(fā)，卻帶著右胸腔的心臟返回地球！

但是，莫比烏斯圈具有一條非常明顯的邊界.這似乎是一種美中不足.1882年，另一位德國數(shù)學(xué)家費(fèi)力克斯·克萊茵，終于找到了一種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，后來以他的名字命名為“克萊茵瓶”.這種怪瓶實(shí)際上可以看作是由一對(duì)莫比烏斯圈沿邊界粘合而成.

莫比烏斯帶是一種拓展圖形，它們?cè)趫D形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形，只要在變形過程中不使原來不同的點(diǎn)重合為同一個(gè)點(diǎn)，又不產(chǎn)生新點(diǎn)，也就是說，在原來圖形的點(diǎn)與變換了圖形的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，并且鄰近的點(diǎn)還是鄰近的點(diǎn).這樣的變換叫做拓?fù)渥儞Q.拓?fù)溆幸粋€(gè)形象說法——橡皮幾何學(xué).因?yàn)槿绻麍D形都是用橡皮做成的，就能把許多圖形進(jìn)行拓?fù)渥儞Q.例如一個(gè)橡皮圈能變形成一個(gè)圓圈或一個(gè)方圈.但是一個(gè)橡皮圈不能由拓?fù)渥儞Q成為一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字8.因?yàn)椴话讶ι系膬蓚€(gè)點(diǎn)重合在一起，圈就不會(huì)變成8，“莫比烏斯帶”正好滿足了上述要求.

用皮帶傳送的動(dòng)力機(jī)械的皮帶、打印機(jī)上的色帶，做成“莫比烏斯帶”狀，這樣增大了磨損面積，壽命也就延長了.

運(yùn)用莫比烏斯帶原理的建筑，如北京鳳凰國際傳媒中心和湖南長沙梅溪湖“中國結(jié)”步行橋.該橋源于傳統(tǒng)的中國結(jié)，同時(shí)加入了西方無限循環(huán)——莫比烏斯環(huán)結(jié)構(gòu)特征.

中國科技館的三葉紐結(jié)，是由莫比烏斯帶演變而成的，它表示著科學(xué)沒有國界，各種科學(xué)之間沒有邊界，科學(xué)是相互連通的，科學(xué)和藝術(shù)也是相互連通的.

注：本文系2019年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目《數(shù)學(xué)文化在高中課堂教學(xué)中的滲透案例研究》（JCJYC19030548）研究成果.