安徽省阜陽第五中學(236500) 高文啟

1 問題提出

近幾年來,含參函數(shù)的零點問題在高考題中常常出現(xiàn),并且一般出現(xiàn)在壓軸題的位置.如2015年高考新課標卷Ⅰ文科第21題,命題組給出的標準答案如下:

引例1(2015年高考新課標卷Ⅰ文科第21題(節(jié)選))已知函數(shù)f(x)=e2x?alnx,討論f(x)的導函數(shù)f′(x)零點的個數(shù).

解f(x)的定義域為當a≤ 0時,f′(x)＞0,f′(x)沒有零點;當a＞0時,因為e2x單調(diào)遞增單調(diào)遞增,所以f′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.又f′(a)＞0,當b滿足故當a＞0時,f′(x)存在唯一零點.

特別在所給的“答案”中,區(qū)間端點b是怎么來的,為什么要滿足就像“魔術(shù)師帽子里跑出來的兔子”讓人摸不著頭腦.顯然,在規(guī)范答題時利用零點定理找到相應的區(qū)間端點是束縛學生解題的一個頸瓶.筆者翻閱了一些文獻如文[1-2],查其究竟,大多是利用放縮,把超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為可解的多項式函數(shù),但是有時候放縮可能會比題目本身都困難,學生也難以把握.

筆者發(fā)現(xiàn)一種新的方法通過構(gòu)造不定方程,若能給出其一組特殊解,就可以確定零點所在區(qū)間端點或者其中一側(cè)端點的取值,僅供大家參考.由于本文主要研究利用零點存在性定理處理問題,故默認所研究的函數(shù)均是連續(xù)函數(shù).

2 思路來源

引例2求函數(shù)f(x)=lnx+2x?6的零點個數(shù)[3].

這是人教A版必修一第三章“函數(shù)的應用”第一節(jié)“函數(shù)與方程”中的一個例題.由于該函數(shù)是單調(diào)遞增的,故零點至多有一個.該函數(shù)的零點問題本質(zhì)上方程lnx+2x?6=0的解,若把該方程看作如下的不定二元方程lnx1+2x2?6=0,求出一組解x1=a,x2=b,滿足a?=b且a,b∈(0,+∞).如令x1=1,x2=3,則不難發(fā)現(xiàn)f(1)f(3)＜0.筆者猜想滿足上述條件的情況下,函數(shù)的零點x0必在a,b之間.原因如下:

不妨令a＜b,并且lna+2b?6=0.由于函數(shù)φ(x)=lnx和函數(shù)ψ(x)=2x?6都是增函數(shù),故f(a)=lna+2a?6=2(a?b)＜0,f(b)=lnb+2b?6=lnb?lna＞0.由此可得x0∈(a,b).

因此,筆者發(fā)現(xiàn)有如下命題:

結(jié)論1函數(shù)F(x)=φ(x)+ψ(x)是單調(diào)增函數(shù),且滿足φ(x),ψ(x)均為單調(diào)遞增函數(shù),φ(x1)+ψ(x2)=0,x12,則F(x)必有一個零點x0,且x0在x1,x2之間.

證明當x1＜x2時,由于ψ(x2)=?φ(x1)且φ(x)單調(diào)遞增,則F(x2)=φ(x2)+ψ(x2)=φ(x2)? φ(x1)＞0;同理,F(x1)=φ(x1)+ψ(x1)=?ψ(x2)+ψ(x1)＜0.故知F(x)必有一個零點x0,且x0在x1,x2之間.

注該命題中單調(diào)增函數(shù)都變?yōu)閱握{(diào)減函數(shù),結(jié)論依然成立.

事實上,利用零點存在性定理處理零點問題時,許多場合,函數(shù)會在零點附近是單調(diào)的.因此,如果函數(shù)能表示成兩個單調(diào)函數(shù)之和時,利用結(jié)論1很容易找到零點所在區(qū)間的端點.

3 推而廣之

3.1 單調(diào)函數(shù)可變形為兩個單調(diào)函數(shù)之和

我們遇到一些單調(diào)函數(shù),雖然不能表示成兩個單調(diào)函數(shù)之和,但是經(jīng)過變形仍可以轉(zhuǎn)化為兩個單調(diào)函數(shù)之和,如2016年高考全國新課標Ⅰ卷文科第21題:

例1已知函數(shù)f(x)=(x?2)ex+a(x?1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;

(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

3.2 單調(diào)函數(shù)可變形為一個單調(diào)函數(shù)與一個函數(shù)之和

事實上,很多單調(diào)函數(shù)未必可以表示為兩個單調(diào)函數(shù)之和或者不容易變形為兩個單調(diào)函數(shù)之和,如函數(shù)f(x)=x+sinx.雖然該函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),也能構(gòu)造成不定方程x1+sinx2=0,也可以給出一解如但是這不能保證在x1與x2之間有一個零點的.因此,結(jié)論1還有很多的局限.

對于很多含參函數(shù)問題來說,比如例1函數(shù)的極值可以判定正負,故零點所在區(qū)間端點有一端可以取極值點.但是另外一個端點不好確定.若能找到另一個端點函數(shù)值的正負,問題也能得到解決.筆者發(fā)現(xiàn)有如下命題:

結(jié)論2設(shè)函數(shù)F(x)=φ(x)+ψ(x),φ(x1)+ψ(x2)=0,則當x2＞x1時,

(1)若ψ(x)是單調(diào)遞增函數(shù),則F(x1)＜0;若ψ(x)是單調(diào)遞減函數(shù),則F(x1)＞0;

(2)若φ(x)是單調(diào)遞增函數(shù),則F(x2)＞0;若φ(x)是單調(diào)遞減函數(shù),則F(x2)＜0.

證明(1)由于φ(x1)=?ψ(x2),當ψ(x)是單調(diào)遞增函數(shù)時,則F(x1)=φ(x1)+ψ(x1)=ψ(x1)? ψ(x2)＜0;當ψ(x)是單調(diào)遞減函數(shù)時,則F(x1)=ψ(x1)?ψ(x2)＞0;同理可得(2)也成立.

注當x1＞x2時,也有類似的結(jié)論,在此不作贅述.這些不等式為我們提供了一個可以判斷函數(shù)在某點正負的一個依據(jù).

筆者嘗試利用這個結(jié)果解決2017年全國數(shù)學高考新課標Ⅰ卷理科第21題,如下:

例2(2017年高考新課標Ⅰ卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a?2)ex?x.(1)略;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.

解析限于篇幅,這里僅討論0＜a＜1情況.由于f′(x)=2ae2x+(a?2)ex?1=(aex?1)(2ex+1),不難得到f(x)在區(qū)間(?lna,+∞)上單調(diào)遞增;在區(qū)間(?∞,?lna)上單調(diào)遞減,且x=?lna為其極小值點.進一步得到

注若對該題解析所給的不定方程,不難也可給出另外一組解這組解不符合結(jié)論2的條件即不滿足x1,x2∈(?lna,+∞).雖然有但是2＞?lna(a∈(0,1))不一定成立,故此解不能作為我們判斷正負的依據(jù).經(jīng)過計算也不難發(fā)現(xiàn):由于不能確定其在a∈(0,1)上的正負.因此,在所在單調(diào)區(qū)間內(nèi)找到符合條的解是解決該問題的關(guān)鍵.

4 反思

由于含參函數(shù)零點問題一直是高考考查的熱點問題,對于零點所在區(qū)間端點的選取一直是學生難以跨越的鴻溝.文[1]中用到的放縮法是要以學生熟悉泰勒公式為基礎(chǔ),這超出了高中學生的范圍,并且對于放縮時“度”的選取還是比較難以把握的.而本文的想法是從函數(shù)本身入手,構(gòu)造出相應的不定方程,只要找到一組適合題意的解至少可以確定零點所在區(qū)間的一個端點.從上面的討論來看,也是通用通法.事實上,這也是困擾筆者多年的一個問題,總希望找到一個讓學生能夠解決問題的抓手,讓他們覺得零點端點的選取不再那么突兀.

在平時的教學或者學習中,難免會對很多問題的解決有自己的想法,而又轉(zhuǎn)瞬即逝,要是能把這些想法仔細的琢磨,會有“在你找到第一個蘑菇時,繼續(xù)觀察,你就能發(fā)現(xiàn)一堆蘑菇”(波利亞語).同時,格奧爾格·康托爾說過“數(shù)學的本質(zhì)在于自由”,尋找問題不同的解決方案,每個人總會有不同的見解,所謂的仁者見仁智者見智.因此,我們要做個“有心人”,并且對這些想法之上進行火熱的思考,必定會有所收獲!