廣東省廣州市華南師范大學(xué) 王嘉樂(lè) 何小亞

一、教材分析

基于“不同的學(xué)生學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)”這一理念,對(duì)于重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生,可以把人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)(A版)》必修五第二章第四節(jié)兩節(jié)課的內(nèi)容壓縮為第一節(jié)課,第二節(jié)課的內(nèi)容改為“等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用”這一深化拓展的內(nèi)容,通過(guò)漢諾塔游戲問(wèn)題來(lái)引入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.

作為繼等差數(shù)列后又一特殊的數(shù)列,等比數(shù)列是研究復(fù)雜數(shù)列的重要數(shù)學(xué)模型,與實(shí)際生活有密切的聯(lián)系,如細(xì)胞分裂、銀行貸款等問(wèn)題都要用等比數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決.本節(jié)課的安排可使學(xué)生充分參與探索過(guò)程,體會(huì)等比數(shù)列在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用;作為高中階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的重要載體之一,等比數(shù)列的應(yīng)用對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性以及數(shù)學(xué)思想的滲透起著重要的作用.

二、學(xué)情分析

1.授課對(duì)象重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生.

2.認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)掌握了等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí),并通過(guò)課前預(yù)習(xí)具備了理解等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用的基礎(chǔ),以及接受理解一般化和化歸思想的能力.

3.認(rèn)知障礙(1)將問(wèn)題a64=?一般化為問(wèn)題an=?;

(2)遞推關(guān)系an=2an?1+1的發(fā)現(xiàn);

(3)由遞推關(guān)系得出等比數(shù)列bn.

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

掌握利用待定系數(shù)法求一階齊次線性遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法.

2.過(guò)程與方法

(1)讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)際問(wèn)題——數(shù)學(xué)問(wèn)題——數(shù)學(xué)模型——遞推關(guān)系——解決問(wèn)題”的過(guò)程,積累水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力;

(2)通過(guò)把特殊問(wèn)題a64=?一般化為問(wèn)題an=?及其探究過(guò)程,學(xué)習(xí)一般化和特殊化的思想;

(3)通過(guò)遞推關(guān)系an=2an?1+1的發(fā)現(xiàn)及等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化過(guò)程,學(xué)習(xí)化歸的數(shù)學(xué)思想.

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

(1)通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作探索數(shù)學(xué)模型,激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神,感受數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣;

(2)通過(guò)漢諾塔問(wèn)題解決的學(xué)習(xí),體會(huì)到追求簡(jiǎn)單化是數(shù)學(xué)的靈魂,并領(lǐng)悟到“數(shù)學(xué)源于實(shí)際,應(yīng)用于實(shí)際,并高于實(shí)際”這一真諦!

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和關(guān)鍵

1.教學(xué)重點(diǎn)(1)“漢諾塔問(wèn)題”的解決;(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用.

2.教學(xué)難點(diǎn)(1)遞推關(guān)系an=2an?1+1的發(fā)現(xiàn);(2)由遞推關(guān)系an=2an?1+1求解通項(xiàng)公式.

3.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵(1)暫時(shí)將第n個(gè)盤子忽略,從而將問(wèn)題化為個(gè)盤子的問(wèn)題;(2)根據(jù)等比數(shù)列核心結(jié)構(gòu)——乘法結(jié)構(gòu),考慮將遞推關(guān)系an=2an?1+1的等式右邊轉(zhuǎn)化為乘積的形式.

五、教學(xué)方法與手段

1.教學(xué)方法本節(jié)課并不是按照一般的“先講知識(shí),再講知識(shí)的高考應(yīng)用”這種方式進(jìn)行教學(xué),而是采用問(wèn)題解決教學(xué)法,即:“實(shí)際問(wèn)題——數(shù)學(xué)問(wèn)題——數(shù)學(xué)模型——遞推關(guān)系——解決問(wèn)題”,充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用,學(xué)生不再是被動(dòng)的知識(shí)接受者,而是問(wèn)題解決的主人.

2.教學(xué)手段問(wèn)題驅(qū)動(dòng),動(dòng)手實(shí)驗(yàn),分析思考,板書、多媒體手段相結(jié)合.

六、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

七、教學(xué)過(guò)程

_教學(xué)環(huán)____________________________________________節(jié)教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程__________________________________________設(shè)計(jì)意圖_______(一)動(dòng)手操作提出問(wèn)題(15 min)問(wèn)題1我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)等差數(shù)列和等比數(shù)列?師 因?yàn)榈炔顢?shù)列和等比數(shù)列是數(shù)列家族中最簡(jiǎn)單的數(shù)列,而且我們以后碰到的許多問(wèn)題最終歸結(jié)于復(fù)雜的、困難的數(shù)列問(wèn)題.追求簡(jiǎn)單化是數(shù)學(xué)的靈魂,面臨難的數(shù)列問(wèn)題,我們總是想方設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的等差、等比數(shù)列問(wèn)題,從而實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn),化難為易的目的.下面我們來(lái)看一道有趣的難題.問(wèn)題2(漢諾塔問(wèn)題)在世界中心貝拿勒斯(在印度北部)的圣廟里有三根寶石針,其中一根針上自上而下穿好了由小到大的64個(gè)金片,每一個(gè)金片都可以在三根針之間移動(dòng),移動(dòng)的法則為:一次只能移動(dòng)一片,任何時(shí)候小片必須在大片上面.據(jù)說(shuō),當(dāng)所有的金片都從第一根寶石針按照規(guī)則轉(zhuǎn)移到第三根針上時(shí),世界就會(huì)毀滅.那么世界何時(shí)就毀滅呢?教師引導(dǎo)學(xué)生按照游戲規(guī)則動(dòng)手操作并記錄下當(dāng)n從1至4時(shí)的最少移動(dòng)次數(shù)a1、a2、a3與a4.問(wèn)題3如果傳說(shuō)是真的,那么要知道世界何時(shí)毀滅,也就是要知道當(dāng)n=64時(shí),a64=?師 遇到難算的特殊問(wèn)題,有一種化難為易的數(shù)學(xué)思想:一般化!只要求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式后,將代入即可知道答案.問(wèn)題4如何求出an=?它是等差數(shù)列嗎?它能轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的等差數(shù)列求解嗎?師 經(jīng)過(guò)探索,不行!那么它是等比數(shù)列嗎?也不是!它能轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的等比、等比數(shù)列問(wèn)題求解嗎?下面我們一起來(lái)探究這個(gè)難題.借助豐富有趣的游戲傳說(shuō)引入課題,在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)也提高了學(xué)生的動(dòng)手能力.帶著問(wèn)題學(xué)習(xí)新知識(shí),更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力.(二)舊知回顧引發(fā)思考(3 min)問(wèn)題5 觀察以下數(shù)列,如何求出其通項(xiàng)公式?images/BZ_36_960_2747_1412_2972.png復(fù)習(xí)等差、等比數(shù)列相關(guān)知識(shí),引導(dǎo)學(xué)生思考,為問(wèn)題解決做鋪墊.師 此數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列.

師 我們先來(lái)研究第5項(xiàng)和第4項(xiàng)之間的關(guān)系,希望由特殊獲得啟發(fā),得到求解一般通項(xiàng)公式an的方法.(三)合作交流數(shù)學(xué)探究(15 min)對(duì)于n個(gè)盤子的情況,要把n個(gè)盤子移動(dòng)到第三根柱子上,可類比上述5個(gè)盤子的移動(dòng)過(guò)程來(lái)解決.步驟一 先把上面n?1個(gè)盤子移動(dòng)到第二根柱子上,就相當(dāng)于轉(zhuǎn)移n?1個(gè)圓盤,所移動(dòng)的次數(shù)是an?1次;培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際操作中尋求答案的能力的同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力,觀察能力以及抽象概括能力.步驟二 將第n個(gè)盤子移動(dòng)到第三根柱子上(1次);步驟三 將第二根柱子的n?1個(gè)盤子移動(dòng)到第三根柱子上,這里也相當(dāng)于移轉(zhuǎn)了n?1個(gè)圓盤,移動(dòng)的次數(shù)是an?1.于是,由此可得遞推關(guān)系:{a1=1,an=2an?1+1(n≥2).問(wèn)題6如何由此遞推關(guān)系求解出通項(xiàng)公式an=?師 注意到等比數(shù)列的核心結(jié)構(gòu)是乘法結(jié)構(gòu),考慮將遞推關(guān)系an=2an?1+1的等式右邊轉(zhuǎn)化為乘積的形式.左右兩邊加1,轉(zhuǎn)化為an+1=2(an?1+1).令bn=an+1,則有bn=2bn?1且b1=2.這是首項(xiàng)為b1=2,公比為2的等比數(shù)列,于是有bn=2n,將bn=an+1代入即得an=2n?1.(四)問(wèn)題解決鞏固提升(8 min)漢諾塔傳說(shuō)問(wèn)題的答案如果我們要把貝拿勒斯圣廟里的第一根寶石針中的64個(gè)金片按規(guī)則移到第三根寶石針上,那么至少要移動(dòng)多少次?將n=64代入到an=2n?1有a64=264?1.假設(shè)每一秒挪動(dòng)一片,那么移動(dòng)這64個(gè)金片大概需要多長(zhǎng)時(shí)間呢?平均每年31556952秒,計(jì)算一下:a64=264?1=18446744073709551615秒≈5845.54億年問(wèn)題7已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1,求{an}的通項(xiàng)公式.解析:設(shè)an+1+x=3(an+x),x=1 2,則有bn+1=3bn且b1=a1+1 2,所以an+1+12=3(an+12)令bn=an+1 an=3n?1 2=32,這是首項(xiàng)為b1=32,公比為3的等比數(shù)列,有bn=32·3n?1,將bn=an+12代入即得2.教師要強(qiáng)調(diào)總結(jié)利用待定系數(shù)法求一階齊次線性遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法.呼應(yīng)了第一階段的情景引入環(huán)節(jié),直觀驗(yàn)證傳說(shuō)的正確性引導(dǎo)學(xué)生拓展思維,發(fā)現(xiàn)新目標(biāo);強(qiáng)調(diào)待定系數(shù)法的應(yīng)用,鞏固知識(shí)并能學(xué)以致用.

教師進(jìn)行課堂小結(jié),并歸納強(qiáng)化其中的數(shù)學(xué)思想和方法:(五)課堂小結(jié)總結(jié)歸納(2 min)歸納總結(jié)所學(xué)的內(nèi)容,讓學(xué)生感受化歸思想的力量,認(rèn)識(shí)到追求簡(jiǎn)單化是數(shù)學(xué)的靈魂.(六)布置作業(yè)(2 min)1.數(shù)列{an}中,a1=3且an+1=a2n(n是正整數(shù))則數(shù)列的通項(xiàng)公式an=?2.在等比數(shù)列{an}中,an＞0,且an+2=an+an+1,求公比q3.數(shù)列{an}滿足an+1=pan+q,(p,q∈R),試研究此數(shù)列的通項(xiàng)公式4.斐波那契兔子問(wèn)題:已知一對(duì)兔子每一個(gè)月可以生一對(duì)小兔子,而一對(duì)兔子出生后.第三個(gè)月開(kāi)始生小兔子,假如一年內(nèi)沒(méi)有發(fā)生死亡,則一對(duì)兔子一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)?1、2小題用于鞏固強(qiáng)化本節(jié)課所學(xué)的待定系數(shù)法;3、4小題分別是一階、二階齊次線性遞歸數(shù)列,用于培養(yǎng)數(shù)____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________學(xué)探究能力.

八、本教學(xué)設(shè)計(jì)的特色

1.因材施教上的特色

教材中并沒(méi)有設(shè)置本節(jié)課的內(nèi)容,本教案突破了教材的限制,為重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生而設(shè)計(jì),體現(xiàn)了不同學(xué)生學(xué)不同的數(shù)學(xué)和接受不同的數(shù)學(xué)教育的新課程理念.

2.教法上的特色

本節(jié)課并不是按照一般的“先講知識(shí),再講知識(shí)的高考應(yīng)用”這種方式進(jìn)行教學(xué),而是基于問(wèn)題解決的需要而引入數(shù)學(xué)新模型,即遞推關(guān)系,體現(xiàn)了追求問(wèn)題解決的國(guó)際數(shù)學(xué)教育價(jià)值取向.

3.落實(shí)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的特色

通過(guò)漢諾塔問(wèn)題解決過(guò)程,使學(xué)生積累了數(shù)學(xué)化(mathematiczation)的經(jīng)驗(yàn),提高其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);通過(guò)把特殊問(wèn)題a64=?一般化為問(wèn)題an=?,通過(guò)遞推關(guān)系an=2an?1+1的發(fā)現(xiàn)及等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化等過(guò)程,滲透特殊化、一般化和化歸的數(shù)學(xué)思想,并將“追求簡(jiǎn)單化”這一數(shù)學(xué)靈魂貫穿始終,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教育的要求.

致謝感謝華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院馮偉貞教授對(duì)本文的指導(dǎo).