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【內(nèi)容摘要】運(yùn)用排序解題，其思想是將某些對象按照一定的規(guī)則進(jìn)行升序或降序排列，然后通過對這種順序關(guān)系的研究，從而獲得解題方法。運(yùn)用排序解題的時(shí)候，切忌與極端原理相混淆。排序主要是運(yùn)用排列得到的順序，再結(jié)合其它的數(shù)學(xué)技巧進(jìn)行解題，其關(guān)鍵是要找準(zhǔn)排序?qū)ο蟆?/p>

【關(guān)鍵詞】有序性 排序方法 極端原理 反證法

本文結(jié)合一些典型的例題介紹幾種常見的排序方法。

一、以實(shí)數(shù)的大小進(jìn)行排序

當(dāng)條件中出現(xiàn)，z個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性進(jìn)行排序。然后結(jié)合條件，觀察是否對解題有幫助。

【例1】給定7個(gè)不同的正整數(shù)，它們之和為100。求證：在這7個(gè)數(shù)中，一定存在三個(gè)數(shù)，它們的和至少是50。

【解析】該題可將7個(gè)正整數(shù)進(jìn)行排序：a

【例2】（1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）現(xiàn)有2n×2n的正方形方格棋盤，在其中任意的3n個(gè)方格中各放一枚棋子，求證：可以選出n行n列，使得3n枚棋子都在這n行和n列中。

【解析】可設(shè)備行棋子數(shù)為P1，P2，…，P2n，對這些棋子數(shù)進(jìn)行一個(gè)排序：

Pl≥P2≥…≥P?！軵。+l≥…≥P2n

由題設(shè)：

P1+P2+-+Pn+Pn1+1+-+P2n=3n

取棋子數(shù)為p1，p2，…，P2n的這n行，則必有P.+P：+-+P。≥2n。

下面運(yùn)用反證法，假設(shè)：

P1+P2+-+P。≤2n-l。

運(yùn)用最初的排序可得：

P._1+P.+2+-+P2n≥n+1==》

（P.+.+P.+2+…+P2n）≥I+T1

根據(jù)平均值原理可知：

Pn+1.，Pn-2，…，P2n中至少有一個(gè)不小于2，則：

Pl≥P2≥…≥P?！?

于是：

P1+P2+-+P.+P._1+…+P2Z≥2n+（，z+1）=3n+1

這與假設(shè)矛盾。

故選出來的n行已經(jīng)含有不少于2n枚棋子，再選出n列包含其余的棋子（至多n枚），這樣選出的n行n列就包含了全部的3n枚棋子。

二、以線段長度進(jìn)行排序

由于平面上的點(diǎn)，任意兩點(diǎn)連接而成的線段的個(gè)數(shù)是有限的。如果它們長度均不相等，則通過對它們進(jìn)行排序，從中選出需要的線段;或者經(jīng)過某種操作使得與平面上的點(diǎn)對應(yīng)的線段長度不一，以達(dá)到排序的目的。

【例3】平面上任意奇數(shù)個(gè)點(diǎn)，如果任意三點(diǎn)組成的三角形的周長均不相等，那么必定存在一個(gè)橢圓，使得該橢圓內(nèi)與橢圓外的點(diǎn)數(shù)相同。

【解析】設(shè)平面上有2n+l個(gè)點(diǎn)，首先，對于平面上有一個(gè)點(diǎn)和三個(gè)點(diǎn)的情況，結(jié)論是顯然成立的。當(dāng)n≥2時(shí)，從中任意選出兩點(diǎn)A，B作為橢圓的焦點(diǎn)，它們與其余2n-l個(gè)點(diǎn)中的每一個(gè)都可以確定一個(gè)橢圓。因?yàn)槿我馊c(diǎn)組成的三角形的周長均不相等，所以可以得到2n-l個(gè)不同的橢圓。按照橢圓長軸的大小順序?qū)@些橢圓進(jìn)行排序：

以a1< a2<…

其中a1表示第i個(gè)橢圓的長軸。那么第n-2個(gè)橢圓即滿足要求。

【評注】例3中通過對橢圓長軸排序達(dá)到了解題目的。在運(yùn)用以線段長度進(jìn)行排序的時(shí)候請注意，如果解題用到的只是這些線段中的最長或最短的那一條，用極端原理即可，勿須考慮如何排序，如：

（第24屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克試題）在平面上有100個(gè)點(diǎn)，其中任何兩點(diǎn)的距離都不超過1，并且任三點(diǎn)為頂點(diǎn)都構(gòu)成鈍角三角形。試證能夠作出一個(gè)半徑為的圓，使得所有的點(diǎn)都在圓內(nèi)或圓周上。

提示：運(yùn)用極端原理，從任意兩點(diǎn)連接得到的所有線段中選出距離最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)A，B（必定是存在的）。以AB為直徑作圓S，圓S或其同心圓滿足要求。

三、以點(diǎn)到直線的距離大小進(jìn)行排序

平面上的點(diǎn)，它們確定的直線條數(shù)是有限的。平面上必定存在一條直線與這些直線都相交，從而使得點(diǎn)到該直線的距離都不相等，通過對這些距離的排序達(dá)到解題目的。

【例4】平面上有2n個(gè)點(diǎn)，任三點(diǎn)不共線。求證：存在一條直線，使得該直線兩側(cè)均有，2個(gè)點(diǎn)。

【解析】平面上必存在一條直線，，它與2n個(gè)點(diǎn)中任兩點(diǎn)確定的直線都相交，且全部的點(diǎn)都在，的上方，這些點(diǎn)到，的距離均不相等，將它們按照從小到大排列：

只需作直線mP/，且兩平行線間的距離滿足：，不難看出直線m的兩側(cè)各有，n個(gè)點(diǎn)。

【評注】例4讓我們想起了英國著名數(shù)學(xué)家希爾維斯特（J.J.Sylvester）提出的一個(gè)有趣的問題：

平面上有n（n≥3）個(gè)不全共線的點(diǎn)。求證：存在一條直線，，它恰通過其中兩個(gè)點(diǎn)。

該題的證法有很多，其中凱里（LM.Kelly）給出的簡單證明中雖然也用到了點(diǎn)到直線的距離，但是僅用到其中的最小值（極端原理），然后結(jié)合反證法的出來的。

四、建立平面直角坐標(biāo)系，以橫（縱坐標(biāo)）的大小進(jìn)行排序

顧名思義，即建立合適的坐標(biāo)系，使得平面上的點(diǎn)在x軸（y軸）上的射影均不相同，根據(jù)橫（縱）坐標(biāo)的大小進(jìn)行排序。

【例5】（1990年中國浙江省數(shù)學(xué)夏令營試題）設(shè)平面上有1990個(gè)相異的點(diǎn)。是否可以做出一個(gè)正三角形，使其中995個(gè)點(diǎn)在內(nèi)部，其余995個(gè)點(diǎn)在外部？

【解析】該題可以用例4的方法來做。這里考慮建立直角坐標(biāo)系xy，其中y軸與1990個(gè)點(diǎn)中任兩點(diǎn)的連線都相交，并使得1990個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不相同，將它們進(jìn)行排序：

作直線1：

則，的兩側(cè)各有995個(gè)點(diǎn)?，F(xiàn)在，只需要作一個(gè)充分大的正三角形，使其一邊在，上即可。

【評注】該排序方法與第二類排序方法有異曲同工之妙，但是它們最大的不同在于該方法使得平面上的每一個(gè)點(diǎn)都有了坐標(biāo)，這對解某一類題會(huì)有很大的幫助，如：

（第32屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)選題）設(shè)S是由平面上的n（n≥3）個(gè)點(diǎn)組成的集合，其中，任三點(diǎn)都不共線。試證在平面上存在一個(gè)由2n-5個(gè)點(diǎn)組成的集合M，使得在以S中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部至少有一個(gè)M中的點(diǎn)。

五、以兩直線的夾角的大小進(jìn)行排序

在平面上如果確定一條直線的位置和該直線上的一點(diǎn)，根據(jù)該點(diǎn)與平面上的點(diǎn)所確定的直線與該直線的夾角大?。梢杂姓?fù)），可對它們進(jìn)行排序。

【例6】給定平面上2n+2個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線。求證：在2n+2個(gè)點(diǎn)中存在兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)確定的直線將其它點(diǎn)分為兩部分，每部分均有，z個(gè)點(diǎn)。

【解析】該題所求的直線要經(jīng)過其中的兩個(gè)點(diǎn)，以點(diǎn)到直線的距離大小進(jìn)行排序就顯得不適合了，現(xiàn)在考慮使用角度進(jìn)行分類。如圖1，設(shè)P.表示位于最西面的點(diǎn)（如果位于最西面的有兩個(gè)點(diǎn)，那么選其中的任意一個(gè)點(diǎn)作為P.）。以P.為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，其中x軸方向?yàn)槲饕粬|;y軸方向?yàn)槟弦槐?。按照P1P，與x軸正方向所成夾角的升序排列，將剩下的點(diǎn)依次標(biāo)記為P1，P3，…，P2n+2，因?yàn)槿稳齻€(gè)點(diǎn)不共線，所以直線P，P與x軸正方向所成角在-90。到90。之間，直線PIPn+2滿足要求。

六、以點(diǎn)到固定線段的視角大小進(jìn)行排序

因?yàn)樵谝粋€(gè)圓中，如果一條弦所對的圓周角均在它的一側(cè)，那么這些圓周角相等。該排序方式主要是根據(jù)這一}生質(zhì)進(jìn)行的。

【例7】（1963年中國北京數(shù)學(xué)競賽試題）已知平面上有2n+3（n≥1）個(gè)點(diǎn)，其中沒有三點(diǎn)共線，也沒有四點(diǎn)共圓。能否通過其中三點(diǎn)作一個(gè)圓，使得其余2n個(gè)點(diǎn)一半在圓內(nèi)，一半在圓外？證明你的結(jié)論。

【解析】如圖2，在2n+3個(gè)點(diǎn)中必定存在兩點(diǎn)A，B，使得其余2n+l個(gè)點(diǎn)都在直線AB的一側(cè)。因?yàn)槿我馑狞c(diǎn)不共圓，所以將2n+l個(gè)點(diǎn)分別與A，B連接，將得到的視角按照從小到大進(jìn)行排列：

從而VAPn+1B的外接圓即為所求。

【評注】該解法巧妙的運(yùn)用任意四點(diǎn)不共圓得到?jīng)]有兩點(diǎn)到線段AB的視角相等，從而通過排序得到滿足要求的圓。與該題相類似的題目有：

從以上例題中可以看出，對于某些數(shù)學(xué)題，如果我們在不改變原題性質(zhì)的前提下選準(zhǔn)排序?qū)ο?，再結(jié)合其它的數(shù)學(xué)技巧和方法，就能快速得到解答。其中，排序?qū)ο蟮倪x取方法有很多種，本文僅列出以上幾種情況，希望對讀者有所幫助。

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【本論文為廣州教育政策研究課題“利用少年科學(xué)院提高學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)科技創(chuàng)新人才的實(shí)踐研究”（課題批準(zhǔn)號：ZCYJ18023）的部分研究成果?！?/p>

（作者單位：廣州大學(xué)附屬中學(xué)）