趙春雨， 侯森林， 李朕均

(東北大學 機械工程與自動化學院， 遼寧 沈陽 110819)

隨著國內(nèi)制造業(yè)的發(fā)展越來越迅速，對加工精度的要求越來越高，因此提高機床的加工精度以及工作穩(wěn)定性是促進機床發(fā)展的關鍵.滾珠絲杠廣泛用于機床等各類精密設備中，通常加工精度在很大程度上會受到系統(tǒng)溫升的影響，而軸承溫升占很大一部分，所以，對絲杠軸承進行溫度分析具有重要意義.而機床進給系統(tǒng)的幾個主要熱源中軸承發(fā)熱量最大，也就是對滾珠絲杠等關鍵進給部件的影響最大，所以對絲杠軸承進行熱分析在研究機床進給系統(tǒng)熱誤差中具有重要意義.

Palmgren[1]采用試驗方法推導出計算軸承摩擦力矩的經(jīng)驗公式.Bossmanns等[2]建立了高速電主軸的有限差分熱分析模型.Lin等[3]研究了軸承預緊力對軸承剛度的影響，分析高速旋轉效應下離心力和陀螺力矩對主軸的影響.Xu等[4]基于有限元方法對機床主軸系統(tǒng)進行溫度分析，考慮接觸熱阻和熱功率隨著溫度變化帶來的影響，并對機床殼體系統(tǒng)的熱膨脹進行分析.Pouly等[5]建立了油-氣潤滑推力球軸承的熱網(wǎng)絡模型，預測了推力球軸承的功率損失和溫度分布.Ma等[6]運用熱網(wǎng)絡法研究脂潤滑圓柱滾子軸承瞬態(tài)溫度場，并分析不同轉速及潤滑脂填充量的溫度變化.Zheng等[7]分析軸承熱特性時充分考慮了潤滑劑、徑向和軸向結構約束和裝配約束，提出了一種新的角接觸球軸承多節(jié)點熱網(wǎng)絡模型.

本文建立了進給系統(tǒng)軸承的瞬態(tài)熱網(wǎng)絡模型，基于隱格式差分法，推導出網(wǎng)絡各節(jié)點溫度計算的遞推算法，并通過試驗進行了驗證.

1 軸承系統(tǒng)的熱源發(fā)熱率計算

1.1 軸承運動分析

外圈滾道曲率中心B及軸承運行前后內(nèi)圈滾道曲率中心C和C′位置如圖1所示.O與O′分別為軸承運行前后滾珠中心；δr，δa分別為軸承內(nèi)外圈中心徑向和軸向位移，αij，αoj分別為滾珠與內(nèi)外圈的接觸角.

由圖可知：

A1j=Asinα+δa+θRicosψj，

(1)

A2j=Acosα+δrcosψj.

(2)

其中：α是軸承的初始接觸角；ψj為滾珠角位置；θ為角位移；Ri為內(nèi)圈滾道曲率中心相對于軸承軸線的距離.

幾何協(xié)調(diào)方程為

(3)

滾珠所受載荷如圖2所示，滾珠的法向載荷與法向接觸變形的關系為

(4)

(5)

其中，Kij和Koj是內(nèi)外圈的彈性變形系數(shù)，與相互接觸的材料屬性和幾何形狀有關，由赫茲接觸理論求出.

對圖建立水平和垂直方向上力的平衡方程:

(6)

(7)

在只受軸向力作用時，整個軸承的受力平衡方程：

(8)

聯(lián)立式(3),式(6)～式(8)五個非線性方程對未知量δa，δij，δoj，X1j，X2j進行求解，求解采用牛頓-拉弗遜法.根據(jù)求解得到的變形量可求解軸承在工作期間滾珠與內(nèi)外圈的接觸角.

1.2 發(fā)熱率計算

軸承引起的功率損失為摩擦力矩與軸承轉速的乘積.軸承總的摩擦力矩由接觸區(qū)域的軸承摩擦力矩M和滾珠與溝道接觸的自旋摩擦力矩Ms組成[1]，即軸承的發(fā)熱量為

(9)

其中:H為單位時間發(fā)熱量；n為軸承轉速；Ms為滾珠與滾道之間的自旋摩擦力矩；ωs為滾珠的自旋角速度.

摩擦力矩M是由兩部分組成：

M=M1+M2.

(10)

M1為與軸承負荷有關的項:

M1=f1P1dm.

(11)

其中:f1為與軸承類型和所受負荷有關的系數(shù)；P1為確定軸承負荷；dm為軸承節(jié)圓.

M2為黏性摩擦力矩：

(12)

其中:fo為與軸承類型和潤滑方式有關的系數(shù)；vo為工作溫度下潤滑劑的運動黏度.

依據(jù)瓊斯的溝道控制理論[8]：滾珠在與軸承內(nèi)、外圈接觸過程中，在一個滾道上同時存在滾動和自旋，而在另一個滾道上作純滾動.對于高速球軸承，由于離心力的作用，軸承為外滾道控制，滾珠在外滾道上運動為純滾動，即自旋分量Mso=0.在此僅考慮球體與內(nèi)滾道之間的自旋摩擦力矩Msi:

(13)

其中:Qi為滾珠與滾道之間的法向載荷；μi為摩擦系數(shù)；a為接觸橢圓的長軸長度；ε為第二類橢圓積分.

球與內(nèi)圈接觸的自旋角速度為

ωsi=-ωbsin(β-αi)+(ω-ωc)sinαi.

(14)

其中:ω為軸的角速度；ωb為滾珠的自轉角速度；ωc為滾珠的公轉角速度；αi為球與內(nèi)滾道的接觸角；β為姿態(tài)角[9].

(15)

(16)

(17)

其中:γ′=Dw/dm;Dw為滾珠直徑.

在工作過程中，軸承摩擦力矩產(chǎn)生的熱一半進入滾動體，另一半進入軸承內(nèi)外圈；而滾珠與溝道的自旋摩擦力矩產(chǎn)生的熱平均分配到滾動體和軸承內(nèi)圈中[10].

2 軸系熱網(wǎng)絡分析模型

2.1 熱節(jié)點布置

依據(jù)軸承系統(tǒng)結構，選擇典型的溫度節(jié)點建立其熱網(wǎng)絡.節(jié)點之間阻礙熱量交換的阻力設為熱阻，依據(jù)軸系結構和材料參數(shù)確定各熱阻值，計算軸承瞬態(tài)溫度場.本文建立具有9個溫度節(jié)點的數(shù)控機床進給系統(tǒng)絲杠軸承熱網(wǎng)絡，軸承系統(tǒng)的結構及溫度節(jié)點的布置如圖3所示.“①”代表節(jié)點1位置，其余類推.熱溫度節(jié)點定義和連接方式如表1和表2所示.

表1 軸承系統(tǒng)溫度節(jié)點定義

2.2 熱傳遞分析

熱傳導、熱對流和熱輻射是軸承熱傳遞主要

表2 溫度節(jié)點間的熱傳導關系

形式.熱輻射對軸承元件之間的熱傳遞影響很小，可以忽略熱輻射影響[11].在工作過程中，軸承座、軸承內(nèi)外圈、滾珠、絲杠階梯軸之間發(fā)生熱傳導.在此，將軸承內(nèi)外圈和軸承座簡化為圓筒，絲杠階梯軸簡化為圓柱.若僅考慮其徑向熱傳遞，可處理為一維熱傳導模型，其熱阻值為

(18)

其中:λ為物體的導熱系數(shù)；Ls為物體的特征長度；A為物體導熱面積.

軸承座的外表面與空氣之間產(chǎn)生自然對流換熱，旋轉的絲杠軸與空氣之間發(fā)生強制對流換熱,在軸承內(nèi)部，熱量也在軸承零件和潤滑脂之間傳遞.

熱對流阻值計算模型為

(19)

其中:hv為對流換熱系數(shù)；Nu為無量綱的Nusselt數(shù)；K為流體的導熱系數(shù)；A為物體壁面面積；L為物體對流換熱特征長度.

以上傳導熱阻及對流換熱熱阻經(jīng)過多年試驗及理論研究總結出大量經(jīng)驗公式，根據(jù)換熱的具體情況，通過查表得到零件材料及尺寸參數(shù)，選取相應的經(jīng)驗公式進行計算[8,11].

2.3 結合面接觸熱阻

結合面的接觸阻力表示[12]為

(20)

其中:A為接觸區(qū)域的表觀接觸面積;hc為接觸導熱系數(shù).

軸承外圈與軸承座孔的結合一般采用間隙配合，其接觸導熱系數(shù)為

(21)

其中:λring和λair分別為軸承外圈和空氣的導熱系數(shù)；hring，hgap分別為軸承外圈和周向空氣厚度[2].

軸承內(nèi)圈與絲杠軸表面的接觸導熱系數(shù)為

(22)

其中:Lg是兩個接觸面的空隙厚度；Ac是接觸處的真實接觸面積；Av為接觸處的空氣面積；k1，k2，kf分別是兩部分接觸材料及空氣的導熱系數(shù).接觸導熱系數(shù)的具體數(shù)值見表3.

表3 結合面接觸導熱系數(shù)[11]

2.4 瞬態(tài)平衡方程建立

節(jié)點的能量變化滿足熱流平衡原理，在熱平衡之前，每個節(jié)點流入的熱流量等于流出的熱流量.圖4為一個節(jié)點上的對流與傳導熱流示意圖.

根據(jù)熱通量平衡原理，節(jié)點i的瞬態(tài)溫度平衡方程可以表示為

(23)

其中:qi為節(jié)點i熱流量;ρi為節(jié)點i材料密度;cpi為材料的比熱容;Vi為節(jié)點i相關材料體積;Ti為節(jié)點i的溫度;dTi/dt為節(jié)點i處的溫升率.

利用一階差分格式，則

(24)

其中，Δtk=tk+1-tk是計算的步長.

對于式(23)，右端傳熱項在[tk,tk+1]區(qū)間內(nèi)傳熱值取為兩時間點的均值，即

(25)

將式(24)、式(25)代入式(23)得

(26)

其中:Ci=cpiρiVi;Δhij=Δt/(2Rij).

利用表2，依據(jù)式(24)～式(26)，推導出系統(tǒng)溫度變化的計算方程組為

AXk+1=BXk+D.

(27)

依據(jù)表2，節(jié)點1和9無熱源，與環(huán)境熱交換，而變量X中含環(huán)境變量，將其并入D中，則

d1=TK/R1K，d9=TK/R9K.

節(jié)點2,3和7,8無熱源，其值皆為0，即

d2=d3=d7=d8=0.

節(jié)點5為滾珠，與內(nèi)外圈接觸摩擦生熱，存在兩個熱源，分別記為q5i和q5e；同時，與油膜間存在熱交換.若滾珠與內(nèi)外圈接觸生熱的50%傳入滾珠，則

d5=TL/R5-L+0.5q5i+0.5q5e.

內(nèi)外圈4和6也與油膜產(chǎn)生熱交換，即

d4=TL/R4-L+0.5q5i，d6=TL/R6-L+0.5q5e.

3 試驗及計算結果

試驗機床型號為HTC 2050i，具體試驗設備有： PC104總線工業(yè)控制計算機；鉑熱電阻溫度傳感器4個；紅外熱像儀1臺；激光干涉儀1臺；筆記本電腦2臺，1臺用于記錄溫度傳感器測量的溫度數(shù)據(jù)，1臺用于記錄激光干涉儀測量的誤差數(shù)據(jù).具體試驗設備如圖5所示[9].

Z軸進給系統(tǒng)軸承為NSK公司的25TAC62B滾珠絲杠專用軸承，軸向預緊力為1 kN.當電機轉速為500,1 000和1 500 r/min時，對進給系統(tǒng)工作過程遠離電機的軸承表面溫度進行了測試.測試溫度分為系統(tǒng)工作和自然冷卻兩個階段.

利用上述熱網(wǎng)絡算法對軸承溫度進行了計算，計算過程潤滑劑黏度隨溫度變化規(guī)律按表4數(shù)據(jù)線性插值處理.對應熱阻值根據(jù)圖紙結構和材料參數(shù)確定.圖6為計算與試驗結果的對比.由圖6可見，模型預測與試驗測試最大誤差值1.3 ℃，出現(xiàn)在進給速度1 500 r/min，機床工作40 min時，模型預測溫度為36.9 ℃，試驗測量溫度為35.6 ℃.此試驗結果證明了本文熱網(wǎng)絡算法的有效性.

表4 潤滑劑的黏溫特性[4]

圖7為進給電機轉速1 000 r/min時軸承各節(jié)點溫度隨工作時間的變化.由圖7可見，軸承各節(jié)點溫度隨時間推移呈指數(shù)上升，并在軸系達到熱平衡后趨于穩(wěn)定.模型預測最高溫度在軸承內(nèi)滾道，這與實際工況相吻合；停機后軸承內(nèi)滾道溫度冷卻速度最快，這是由于軸承密封方式為直通式迷宮密封，停機后軸承內(nèi)空氣與外界相通，潤滑劑冷卻速度較快導致.當機床停機之后，絲杠軸端溫度有小幅度的上升，這是由于停機初始階段高溫區(qū)的熱量傳過絲杠軸端，停機后絲杠軸與空氣為自然對流散熱，故符合軸承工作情況.圖8為不同進給速度時軸承節(jié)點溫升曲線比.由圖可見，軸承內(nèi)滾道溫升比外滾道迅速，溫度隨進給系統(tǒng)的轉速增加而升高.

4 結 論

1) 基于進給系統(tǒng)軸承特點，考慮接觸熱阻及潤滑劑黏溫效應的影響，建立成對安裝角接觸球軸承瞬態(tài)熱網(wǎng)絡模型，并給出考慮軸承自旋摩擦力矩的軸承生熱計算模型.

2) 基于熱網(wǎng)絡中單節(jié)點換熱過程的微分方程，推導出軸承系統(tǒng)溫度場的隱格式差分方程組的計算方法，描述軸承熱網(wǎng)絡節(jié)點溫度的時變規(guī)律.

3) 利用本文計算方法，計算出了進給系統(tǒng)工作過程軸承溫度隨時間的變化，并通過試驗驗證了其有效性；通過數(shù)值計算，分析了進給速度對軸承系統(tǒng)各節(jié)點時變特性的影響.