孟繁卿，田康生

(1. 空軍預警學院研究生大隊， 武漢 430019； 2. 空軍預警學院四系， 武漢 430019)

0 引 言

隨著各國反導預警體系的構建與完善，傳統(tǒng)彈道導彈的威脅有下降的趨勢。臨近空間高超聲速飛行器的出現(xiàn)，使得針對彈道導彈構建的反導體系面臨新的挑戰(zhàn)[1]。臨近空間高超聲速飛行器，既具有彈道導彈高速、遠距離打擊的特點，又具有航空飛行器可靈活機動的特點。臨近空間高超聲速飛行器的獨特優(yōu)勢使其逐漸成為各國研究的熱點。

臨近空間高超聲速滑翔飛行器作為當前高超聲速飛行器研究的重點，在飛行過程中依靠空氣動力實現(xiàn)滑翔飛行，其飛行速度大于Ma5，飛行高度大于20 km。高超聲速滑翔飛行器滑翔段的飛行控制參數(shù)主要是攻角和傾側角[2]，所以飛行器滑翔段的彈道特性也主要受攻角和傾側角影響。文獻[3]在縱向平面內分析了平衡滑翔條件下，飛行器狀態(tài)變量與狀態(tài)變量、狀態(tài)變量與過程變量之間的關系，分析了跳躍滑翔條件下，初始狀態(tài)對彈道特性的影響。文獻[4]利用平衡滑翔條件，構建了高超聲速飛行器航程與飛行時間的解析式，定量分析了升阻比對滑翔射程的影響規(guī)律。文獻[5]在最大升阻比平衡滑翔條件下，利用數(shù)值積分的方法求得了飛行速度、航程等狀態(tài)變量的解析式，提出并證明了最大升阻比平衡滑翔是航程最優(yōu)的彈道的觀點。文獻[6]從工程應用的角度分析了再入攻角優(yōu)化問題的多種約束，得到了再入攻角的上下限及攻角設計空間，提出了再入攻角剖面的設計方案，所提方案在覆蓋區(qū)優(yōu)化問題上有較高的應用價值。文獻[7]將熱流密度、動壓和過載等過程約束轉化為攻角約束，將過程約束邊界轉化為攻角的上下限，減少了彈道規(guī)劃中約束變量的個數(shù)，降低了彈道規(guī)劃的復雜度和計算量。文獻[8]針對高超聲速飛行器受空氣擾動后攻角易發(fā)生變化的問題，分析了攻角動態(tài)變化時對高超聲速飛行器氣動特性的影響，指出其性能參數(shù)的變化規(guī)律雖然沒有顯著改變，但存在遲滯現(xiàn)象。文獻[9]對高超聲速飛行器在大攻角情況下的氣動特性進行了分析，指出大攻角時飛行器的氣動參數(shù)呈現(xiàn)非線性的特點，飛行器的縱向靜不穩(wěn)定性隨攻角增大而增大。文獻[10]通過對高超聲速飛行器的軌跡仿真得到了飛行器升阻比的變化規(guī)律，給出了升阻比的解析表達式，由升阻比解析式可知升阻比本質還是受飛行器攻角控制。

以上文獻的研究成果豐富，為我們明晰高超聲速飛行器的彈道特性、進行軌跡規(guī)劃和優(yōu)化提供了很好的借鑒。但不管是彈道特性分析還是彈道規(guī)劃設計，多是集中在縱向平面，以攻角的設計、優(yōu)化或攻角對飛行狀態(tài)和過程約束的影響分析為主，而忽略了傾側角對飛行器飛行速度、飛行高度和過程約束的影響[2]。為了將已有文獻研究成果的適用范圍進一步擴展，需要研究傾側角對飛行器飛行速度、飛行高度和過程約束的影響。通過分析傾側角對高超聲速滑翔飛行器滑翔段飛行速度、飛行高度、過程約束的影響，可為彈道特性分析、彈道設計、彈道優(yōu)化和軌跡預測等提供借鑒。

1 高超聲速滑翔飛行器滑翔段運動方程

(1)

其中升力、阻力的計算可由式(2)求得。ρ是空氣密度，S是飛行器的參考面積，CL是飛行器的升力系數(shù)，CD是飛行器的阻力系數(shù)[4,12]。

(2)

(3)

2 飛行彈道控制參數(shù)模型及飛行約束條件

2.1 飛行彈道及彈道控制參數(shù)模型

臨近空間高超聲速滑翔飛行器的典型彈道按照運動平面可分為：縱向平衡滑翔彈道、縱向跳躍滑翔彈道、橫向無機動彈道、橫向弱機動彈道、橫向強機動彈道。

(4)

縱向跳躍滑翔彈道控制參數(shù)模型即攻角α的參數(shù)模型[13]，如式(5)所示。αmax為最大飛行攻角，α(L/D)max為最大升阻比攻角。V1和V2分別為攻角參數(shù)變化的兩個臨界速度。

α(V)=

(5)

臨近空間高超聲速滑翔飛行器橫向機動的主要控制參數(shù)是傾側角ε，如果橫向無機動，則可令傾側角為零，即ε=0°。

橫向弱機動彈道軌跡平滑，傾側角通常只翻轉一次，飛行器橫向只機動一次。橫向弱機動彈道控制參數(shù)模型如式(6)所示。εd為初始傾側角。A是飛行器飛行過程中在水平面上的投影點，O是飛行器初始位置在水平面上的投影點，F(xiàn)是目標點在水平面上的投影點，B是O和F連線上的一個參照點。

(6)

(7)

(8)

2.2 飛行約束條件

(9)

ρ(z)=ρ0ez/ξ

(10)

終端約束條件如式(11)所示，Ω是滿足終端約束的空間位置集合，(xf,yf,zf)是滑翔段結束時刻飛行器的位置坐標，hf是終端高度約束，df是滑翔段結束時刻飛行器與目標點的距離約束。

Ω={(xf,yf,zf)||zf|≥hf,

((xf-xt)2+(yf-yt)2)1/2≤df}

(11)

3 平衡滑翔傾側角影響分析

3.1 飛行速度和高度解析解

由平衡滑翔條件式(4)可得，

Lcosε=mg0cosγ

(12)

將式(2)代入式(12)可得，

(13)

所以可推導出飛行速度表達式為，

(14)

將式(10)代入式(14)可得，

(15)

將式(15)整理可得，

(16)

式(16)對z求微分可得，

(17)

將式(16)代入式(17)可得，

(18)

又因為，

(19)

將式(1)代入式(19)可得，

(20)

由式(18)和式(20)可得，

(21)

將式(2)、(13)代入式(21)可得，

(22)

由式(22)可得飛行速度-傾側角解析式，

(23)

所以飛行速度是關于傾側角ε的偶函數(shù)。為方便討論，參考文獻[15]中傾側角的取值。

式(23)兩邊對傾側角ε求微分可得，

(24)

文獻[16]已經(jīng)證明速度傾角為負的小量，所以在同一攻角、同一速度傾角條件下，傾側角越大，所需飛行速度越大。

V(ε)為關于ε的單調遞增函數(shù)，所以其反函數(shù)一定存在，且也為單調遞增函數(shù)，如式(25)所示。參考文獻[5]中的結論，以最大升阻比攻角平衡滑翔，參考文獻[16]中最大升阻比的取值，CL/CD=2.98,Vmin為Ma5，所以γ∈[-1.4717°,0°)。

(25)

由式(14)和式(23)可得，

(26)

對式(26)進行整理可得，

(27)

由式(10)和式(27)可得，

(28)

對式(28)整理可得高度-傾側角解析式，

(29)

式(29)兩邊對傾側角ε求微分可得，

(30)

將式(29)代入式(30)可得，

(31)

3.2 過程約束解析解

對式(9)中駐點熱流密度計算公式整理可得：

(32)

將式(14)代入式(32)整理可得，

(33)

將式(27)代入式(33)可得熱流密度-傾側角解析式，

(34)

(35)

將式(34)代入式(35)可得，

(36)

對式(36)整理可得，

(37)

因為γ∈[-1.4717°,0°)，sinγ∈[-2.57×10-3,0)，所以將sin γ近似為零[16-17]，式(37)可化為，

(38)

將式(2)、式(13)代入式(9)可得動壓-傾側角解析式，

(39)

式(39)兩邊對傾側角ε求微分可得，

(40)

因為γ∈[-1.4717°,0°)，cosγ∈[0.9996,1)，所以cosγ≈1，式(39)可化為[16-17]，

(41)

將式(2)代入式(9)可得，

(42)

將式(13)代入式(42)整理可得過載-傾側角關系式，

(43)

式(43)兩邊對傾側角ε求微分可得，

(44)

因為γ∈[-1.4717°,0°)，cosγ∈[0.9996,1)，所以cosγ≈1，式(43)可化為[16-17]，

(45)

所以由式(41)、式(45)可知，當傾側角及攻角確定時，飛行器的動壓和過載基本保持不變。

3.3 仿真校驗

以洛克希德-馬丁公司開發(fā)的高超聲速通用氣動飛行器CAV-H(Common Aero Vehicle)為例[18]。

圖1(a)為5個平衡滑翔彈道的三維彈道軌跡圖，圖1(b)為5個平衡滑翔彈道的橫向平面彈道軌跡圖。

圖1 平衡滑翔彈道軌跡仿真圖Fig.1 Simulation diagram of equilibrium glide trajectory

3.3.1飛行速度和高度分析

表1是平衡滑翔各彈道速度解析解與數(shù)值解、高度解析解與數(shù)值解之間的最大絕對誤差和最大相對誤差表。從表1可以看出，5個彈道的速度解析解與數(shù)值解的最大絕對誤差小于131 m/s、最大相對誤差小于2%。5個彈道的高度解析解與數(shù)值解的最大絕對誤差小于310 m、最大相對誤差小于0.6%。由表1可知，平衡滑翔速度和高度的解析解具有較高的精度，能夠作為飛行速度和高度的近似解。

圖2是平衡滑翔各彈道的速度解析解與數(shù)值解、高度解析解與數(shù)值解的誤差曲線圖。從圖2可以看出，隨著飛行過程的進行，速度解析解與數(shù)值解的誤差、高度解析解與數(shù)值解的誤差都震蕩收斂于0。飛行速度和高度的解析解作為一種近似解，圍繞數(shù)值解上下波動，隨著飛行過程的進行，解析解收斂于數(shù)值解。

表1 平衡滑翔速度和高度的解析解與數(shù)值解誤差Table 1 The error between analytic solution and numerical solution of equilibrium glide speed and altitude

圖3是平衡滑翔各彈道的速度和高度變化曲線圖。對比彈道2和彈道3、彈道4和彈道5可知，在相同機動樣式、不同傾側角情況下，初始速度相同時，傾側角越大，阻力越大，飛行速度下降越快，同一時刻相應彈道的飛行速度越小、高度越低。對比彈道2和彈道4、彈道3和彈道5可知，在相同傾側角、不同機動樣式情況下，初始速度相同時，飛行速度和高度的變化與機動樣式無關。

圖2 平衡滑翔速度和高度誤差曲線圖Fig.2 Error curve of equilibrium glide speed and altitude

圖3 平衡滑翔速度和高度變化曲線圖Fig.3 Curve of speed and altitude of equilibrium glide

3.3.2過程約束分析

表2是平衡滑翔各彈道過程約束解析解與數(shù)值解之間的最大絕對誤差和最大相對誤差表。從表2可以看出，5個彈道的熱流密度解析解與數(shù)值解的最大絕對誤差小于40 kW/m2、最大相對誤差小于5%。動壓解析解與數(shù)值解的最大絕對誤差小于280 Pa、最大相對誤差小于0.6%。過載解析解與數(shù)值解的最大絕對誤差小于8×10-3、最大相對誤差小于0.6%。由表2可知，平衡滑翔彈道過程約束的解析解精度較高，能夠用來估算飛行過程中過程約束的大小。

圖4是平衡滑翔各彈道的過程約束解析解與數(shù)值解的誤差曲線圖。圖4(a)是平衡滑翔各彈道的熱流密度解析解與數(shù)值解的誤差曲線圖。從圖4(a)可以看出，隨著飛行過程的進行，熱流密度解析解與數(shù)值解的誤差震蕩收斂于0，解析解作為一種近似解，圍繞數(shù)值解上下波動，逐漸收斂于數(shù)值解。

圖4(b)和圖4(c)分別是平衡滑翔各彈道的動壓解析解與數(shù)值解的誤差曲線圖、過載解析解與數(shù)值解的誤差曲線圖。從圖4(b)和圖4(c)可以看出，隨著飛行過程的進行，動壓解析解與數(shù)值解的誤差、過載解析解與數(shù)值解的誤差均呈現(xiàn)變大的趨勢。因為動壓和過載的解析解在計算過程中將cosγ近似為1，而實際飛行過程中速度傾角是緩慢變小的，所以動壓和過載的解析解與數(shù)值解之間存在一定誤差。但動壓解析解與數(shù)值解的相對誤差較小，小于0.6%；過載解析解與數(shù)值解的絕對誤差較小，在10-3量級

表2 平衡滑翔過程約束的解析解與數(shù)值解誤差Table 2 The error between analytic solution and numerical solution of equilibrium glide process constraints

圖4 平衡滑翔過程約束誤差曲線圖Fig.4 Error curve of equilibrium glide process constraints

。

圖5是平衡滑翔各彈道的過程約束變化曲線圖。圖5(a)是熱流密度變化曲線圖，對比彈道2和彈道3、彈道4和彈道5可知，在相同機動樣式、不同傾側角情況下，初始速度相同時，傾側角越大，阻力越大，飛行速度下降越快，相應彈道的熱流密度下降越快。對比彈道2和彈道4、彈道3和彈道5可知，在相同傾側角、不同機動樣式情況下，熱流密度的變化與機動樣式無關。

圖5 平衡滑翔過程約束變化曲線圖Fig.5 Curve of equilibrium glide process constraints

圖5(b)和圖5(c)是動壓和過載變化曲線圖。對比彈道2和彈道3、彈道4和彈道5可知，在相同機動樣式、不同傾側角情況下，初始速度相同時，傾側角越大，為平衡重力，所需空氣密度越大、飛行高度越低，相應彈道的動壓、過載越大。對比彈道2和彈道4、彈道3和彈道5可知，在相同傾側角、不同機動樣式情況下，動壓和過載的變化均與機動樣式無關。

4 跳躍滑翔傾側角影響分析

跳躍滑翔彈道不滿足平衡滑翔條件，因此無法通過理論推導得出飛行速度、飛行高度、過程約束與傾側角之間的解析式。以CAV-H為例，采用數(shù)值仿真的方法分析傾側角對飛行速度、飛行高度、過程約束的影響。

圖6(a)為5個跳躍滑翔彈道的三維彈道軌跡圖，圖6(b)為5個跳躍滑翔彈道的橫向平面彈道軌跡圖。

圖6 跳躍滑翔彈道軌跡仿真圖Fig.6 Simulation diagram of skip glide trajectory

4.1 飛行速度和高度分析

跳躍滑翔彈道的飛行器速度、高度變化曲線如圖7所示。由圖7可知，彈道7和彈道9、彈道8和彈道10的速度、高度變化曲線基本重合，說明飛行速度、高度變化均與機動樣式無關。對比彈道7和彈道8、彈道9和彈道10可知，在相同初始速度情況下，傾側角越大，阻力越大，飛行速度下降越快，飛行高度波動變化幅度越小，同一時刻相應彈道的飛行速度越小、飛行高度越低。

圖7 跳躍滑翔速度和高度變化曲線圖Fig.7 Curve of skip glide speed and altitude

4.2 過程約束分析

跳躍滑翔彈道過程約束變化曲線如圖8所示。由圖8可知，彈道7和彈道9、彈道8和彈道10的熱流密度、動壓、過載變化曲線基本重合，說明熱流密度、動壓和過載等過程約束的變化與機動樣式無關。對比彈道7和彈道8、彈道9和彈道10的過程約束的變化曲線可知，在相同初始速度情況下，傾側角越大，阻力越大，飛行高度波動變化幅度越小，飛行高度對應的空氣密度波動變化幅度越小，相應彈道過程約束的波動變化幅度越小。

圖8 跳躍滑翔過程約束變化曲線圖Fig.8 Curve of skip glide process constraints

5 結 論

通過理論推導和數(shù)值仿真的方法分別對平衡滑翔和跳躍滑翔兩種情況下，傾側角對飛行速度、飛行高度、過程約束的影響進行了分析。

采用平衡滑翔彈道滑翔時，通過理論推導得出了飛行速度、飛行高度、過程約束與傾側角之間的解析式。數(shù)值仿真結果表明,理論推導得出的解析解具有較高的精度，可用于數(shù)值解的近似計算。解析解作為一種近似解，可用來分析飛行速度、飛行高度和過程約束的變化規(guī)律。在平衡滑翔條件下，飛行速度、飛行高度和過程約束的變化均與機動樣式無關。在相同初始速度情況下，傾側角越大，相應彈道飛行速度、飛行高度、熱流密度下降越快，動壓和過載越大。

采用跳躍滑翔彈道滑翔時，飛行速度、飛行高度和過程約束的變化均與機動樣式無關。在相同初始速度情況下，傾側角越大，飛行速度下降越快，同一時刻相應彈道的飛行速度越小、飛行高度越低，飛行高度和過程約束的波動變化幅度越小。

不管是平衡滑翔還是跳躍滑翔，飛行速度、飛行高度和過程約束都與機動樣式無關，而與傾側角有關。機動樣式主要對橫向機動距離和彈道變軌有影響，而傾側角對橫向機動距離和彈道變軌影響如何則有待于進一步研究。