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        基于差分進(jìn)化算法的再入可達(dá)域快速計(jì)算

        2020-12-01 02:35:12藺君何英姿黃盤(pán)興
        關(guān)鍵詞:優(yōu)化

        藺君,何英姿,黃盤(pán)興

        1. 北京控制工程研究所,北京 100190 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190

        高超聲速飛行器再入可達(dá)域又稱作再入覆蓋域,是指飛行器以給定的初始條件返回地球,到達(dá)著陸或者交班狀態(tài),飛行器所能允許的區(qū)域范圍[1]。再入可達(dá)域是評(píng)估航程覆蓋能力的指標(biāo),體現(xiàn)了飛行器的潛在飛行范圍,可為飛行器任務(wù)規(guī)劃和軌跡規(guī)劃提供依據(jù)。

        Vinh等在忽略了軌跡約束和哥氏力等理想情況下,計(jì)算最優(yōu)落點(diǎn)方法,在此基礎(chǔ)上,Doman和Ngo提出了次優(yōu)落點(diǎn)區(qū)域的方法[2]。雍恩米等將再入可達(dá)域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為極限約束條件下的軌跡優(yōu)化問(wèn)題,并采用Gauss偽譜法進(jìn)行求解,將得到的外邊界組成的多邊形作為近似可達(dá)域[3]。文獻(xiàn)[4]將再入可達(dá)域問(wèn)題利用直接打靶法轉(zhuǎn)化為四類情形的彈道優(yōu)化問(wèn)題,采用序列二次規(guī)劃求解滿足約束的再入可達(dá)域,文獻(xiàn)[5]利用梯度修復(fù)算法求解軌跡優(yōu)化問(wèn)題,得到再入可達(dá)域。文獻(xiàn)[6]在擬平衡滑翔條件下,將再入可達(dá)域計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解次優(yōu)傾側(cè)角控制律問(wèn)題,進(jìn)一步將其等價(jià)為虛擬目標(biāo)逼近問(wèn)題,并將過(guò)程約束轉(zhuǎn)化為傾側(cè)角約束,得到再入可達(dá)域。根據(jù)文獻(xiàn)[7]在分析攻角優(yōu)化問(wèn)題的基礎(chǔ)上,基于擬平衡滑翔條件結(jié)合飛行器再入多種約束,得到再入攻角的設(shè)計(jì)空間,給出再入攻角剖面設(shè)計(jì)方法,并應(yīng)用于再入可達(dá)域優(yōu)化。文獻(xiàn)[8]利用擬平衡滑翔條件,通過(guò)零值傾側(cè)角和最大橫向航程生成虛擬目標(biāo)集,將再入強(qiáng)約束條件轉(zhuǎn)化為攻角下邊界約束條件,得到飛行器再入可達(dá)域。文獻(xiàn)[9]將可重復(fù)使用飛行器再入可達(dá)域轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,針對(duì)該參數(shù)求解問(wèn)題,結(jié)合全局和局部?jī)?yōu)化算法的特點(diǎn),設(shè)計(jì)了遺傳算法和模式搜索相結(jié)合的優(yōu)化算法,獲得滿足過(guò)程約束和控制約束的再入可達(dá)域。文獻(xiàn)[10]在加速度再入制導(dǎo)基礎(chǔ)上,利用阻力加速度插值和傾側(cè)角反轉(zhuǎn),快速估算再入可達(dá)域。文獻(xiàn)[11]在能量-阻力空間里,將飛行器再入約束條件描述為阻力加速度邊界曲線,在得到實(shí)際可用的上下邊界后,利用插值計(jì)算得到阻力方案,從而生成再入可達(dá)區(qū)域。文獻(xiàn)[12]在r-V空間通過(guò)設(shè)計(jì)“初始下降段、外邊界跟蹤段和終端調(diào)整段”三段設(shè)計(jì)的軌跡優(yōu)化方法,沿走廊上沿獲得最大縱向航程,而后通過(guò)平移邊界跟蹤段獲得固定縱向航程下的最大橫向航程,得到外邊界,并沿走廊下邊界獲得內(nèi)邊界。文獻(xiàn)[13]利用粒子群優(yōu)化和傾側(cè)角反轉(zhuǎn)相結(jié)合的方法,設(shè)計(jì)參數(shù)化傾側(cè)角剖面,實(shí)現(xiàn)可達(dá)域快速計(jì)算。文獻(xiàn)[14]利用粒子群優(yōu)化算法,結(jié)合傾側(cè)角插值模型,實(shí)現(xiàn)再入可達(dá)域快速計(jì)算。

        綜上所述,現(xiàn)有的再入可達(dá)域計(jì)算問(wèn)題本質(zhì)上是復(fù)雜軌跡優(yōu)化問(wèn)題,并利用參數(shù)搜索方法求解。本文在此基礎(chǔ)上,通過(guò)分析傾側(cè)角剖面對(duì)航程的影響,將傾側(cè)角剖面設(shè)計(jì)為3段或5段線性分段函數(shù),利用差分進(jìn)化算法,求解滿足航程的傾側(cè)角剖面。在得到對(duì)應(yīng)最大橫向航程傾側(cè)角剖面和最大縱向航程傾側(cè)角的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)傾側(cè)角插值模型,生成傾側(cè)角指令集,近似計(jì)算可達(dá)域。

        1 問(wèn)題描述

        1.1 再入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

        考慮地球自轉(zhuǎn)的影響,建立高超聲速飛行器的再入無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[15]為:

        (1)

        式中:r為無(wú)量綱地心距;V為飛行器無(wú)量綱飛行速度;θ和φ分別為經(jīng)度和緯度;γ和ψ分別為飛行航跡角和航向角;ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度;σ為飛行器傾側(cè)角;L和D分別為無(wú)量綱升力加速度和阻力加速度:

        L=ρR0V2SrefCL/(2m)

        D=ρR0V2SrefCD/(2m)

        式中:R0為地球半徑;Sref為飛行器參考面積;m為飛行器質(zhì)量;CL和CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù);ρ為大氣密度。

        1.2 再入過(guò)程約束

        Q=g0R0ρV2/2≤Qmax

        (2)

        (3)

        (4)

        1.3 再入終端約束

        為成功保證飛行任務(wù),飛行器接近任務(wù)終端時(shí),需要滿足終端約束條件,通常包括[17]:

        終端高度約束:

        |hf-h|≤Δh

        (5)

        終端速度約束:

        |Vf-V|≤ΔV

        (6)

        落點(diǎn)位置約束:

        |θf(wàn)-θ|≤Δθ,|φf(shuō)-φ|≤Δφ

        (7)

        再入可達(dá)域主要采用外邊界來(lái)表征,通常為扇形區(qū)域形式,如圖1所示,E點(diǎn)是飛行器再入初始位置對(duì)應(yīng)的星下點(diǎn),EC為最大縱程,EA和EB為最大橫程,外邊界AC和BC由再入終端約束構(gòu)成。

        圖1 再入可達(dá)區(qū)域示意Fig.1 Illustrations of reentry landing footprint

        2 軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)

        高超聲速飛行器再入軌跡一般由攻角和傾側(cè)角確定。在大多數(shù)情況下,飛行器的攻角剖面根據(jù)飛行器過(guò)程的強(qiáng)約束條件,給定為速度的分段二次函數(shù)形式,如式(8)所示,飛行器再入航跡通過(guò)控制傾側(cè)角實(shí)現(xiàn)。

        (8)

        式中:α0為初始再入攻角;VT為確定攻角曲線開(kāi)始減小的臨界速度;kα為常值系數(shù),確定攻角下降速率。

        2.1 傾側(cè)角參數(shù)化再入軌跡設(shè)計(jì)

        傾側(cè)角剖面的幅值直接影響再入縱向航程,符號(hào)影響再入側(cè)向航程。將傾側(cè)角參數(shù)化為:

        (9)

        根據(jù)式(9)中σ1、σ2以及臨界速度V2、V3取值不同,再入傾側(cè)角剖面會(huì)具有不同的形式。當(dāng)σ1和σ2同號(hào)時(shí),傾側(cè)角保持相同極性;當(dāng)σ1和σ2符號(hào)相反時(shí),傾側(cè)角在[V4,V3]完成極性過(guò)渡。特別地,當(dāng)V2=V3=(V1+V4)/2,σ1= (σ0+σ2)/2時(shí),傾側(cè)角5段分段函數(shù)則退化為3段,即:

        在初始下降段,飛行器氣動(dòng)特性較弱,選取常值傾側(cè)角σ0作為控制變量。接近終端區(qū)域能量管理時(shí),為了保證飛行器平穩(wěn)飛行,選取常值傾側(cè)角σ2作為控制變量。在度過(guò)初始下降段后,傾側(cè)角保持線性遞增或遞減規(guī)律飛行一段時(shí)間,而后保持常值傾側(cè)角σ1,調(diào)整飛行器的再入橫縱向飛行偏差,而后保持傾側(cè)角以線性遞增或遞減規(guī)律飛行。采取這樣的傾側(cè)角剖面,可以實(shí)現(xiàn)航向角的精準(zhǔn)調(diào)節(jié)。參數(shù)化傾側(cè)角剖面如圖2所示。

        通過(guò)對(duì)傾側(cè)角剖面的參數(shù)化設(shè)計(jì),再入軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,從而可用含有多約束的非線性優(yōu)化方法直接求解,且待求解的未知參數(shù)僅包括(σ0,σ1,σ2,V1,V2,V3,V4),從而減小參數(shù)優(yōu)化搜索空間,提高計(jì)算效率。

        圖2 參數(shù)化傾側(cè)角剖面Fig.2 Profile illustrations of parameterized bank angles

        2.2 差分進(jìn)化算法

        差分進(jìn)化算法于1997年由Storn和Price在遺傳算法等進(jìn)化思想的基礎(chǔ)上提出,本質(zhì)是一種多目標(biāo)(連續(xù)變量)優(yōu)化算法,用于求解多維空間中整體最優(yōu)解。差分進(jìn)化思想的來(lái)源是遺傳算法,模擬遺傳學(xué)中的雜交、變異、復(fù)制來(lái)設(shè)計(jì)遺傳算子。不同之處在于遺傳算法是根據(jù)適應(yīng)度值來(lái)控制父代雜交,變異后產(chǎn)生的子代被選擇的概率值,在最大化問(wèn)題中適應(yīng)值大的個(gè)體被選擇的概率相應(yīng)也會(huì)大一些。而差分進(jìn)化算法變異向量是由父代差分向量生成,并與父代個(gè)體向量交叉生成新個(gè)體向量,直接與其父代個(gè)體進(jìn)行選擇。這種選擇更接近實(shí)際且逼近效果也更好。

        定義{x1,x2,…,xD}為待優(yōu)化的D個(gè)未知參數(shù),且滿足:

        基于差分進(jìn)化算法,實(shí)現(xiàn)參數(shù)優(yōu)化的流程為:

        1)初始化種群。隨機(jī)產(chǎn)生初始種群滿足

        (10)

        2)變異操作。通過(guò)差分策略實(shí)現(xiàn)種群個(gè)體變異,生成中間體,即:

        vi(k+1)=xr1(k)+λ(xr2(k)-xr3(k))

        (11)

        式中:vi為變異操作生產(chǎn)的隨機(jī)個(gè)體;r1,r2,r3為從第k代種群中隨機(jī)選擇的三個(gè)個(gè)體,i≠r1≠r2≠r3;λ為變異因子。

        3)交叉操作。對(duì)第k代種群{xi(k)}及其隨機(jī)個(gè)體{vi(k)}進(jìn)行交叉操作:

        (12)

        式中:uj,i為通過(guò)概率方式生產(chǎn)的隨機(jī)個(gè)體;cr為交叉概率;jrand為[1,2,…,D]的隨機(jī)整數(shù)。

        4)選擇操作。通過(guò)貪婪算法選擇進(jìn)入下一代的種群個(gè)體:

        xi(k+1)=

        (13)

        軌跡優(yōu)化問(wèn)題包含復(fù)雜的終端約束和過(guò)程約束,有效處理再入過(guò)程的等式和不等式約束是保證再入優(yōu)化軌跡可行的關(guān)鍵。本文將這些約束條件以罰函數(shù)形式,添加到適應(yīng)度函數(shù)中,為:

        (14)

        式中:ωm≥0(m=1,2,…,p)為罰函數(shù)權(quán)重;?m(x)為與優(yōu)化參數(shù)x相關(guān)的等式約束。

        對(duì)于不等式約束,包括動(dòng)壓約束式(2)、熱流密度約束式(3)或過(guò)載約束式(4),當(dāng)這些強(qiáng)約束條件中的任一個(gè)超出給定的最大范圍時(shí),則將該個(gè)體對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)J進(jìn)行極大化,從而保證通過(guò)父本得到的新個(gè)體能夠滿足硬約束條件。

        2.3 傾側(cè)角插值模型

        基于傾側(cè)角插值模型的再入可達(dá)區(qū)域計(jì)算可歸結(jié)為:1)求解兩條具有最大橫向航程的再入滑翔軌跡;2)將最大橫向航程軌跡對(duì)應(yīng)的傾側(cè)角剖面指定為線性插值模型的基準(zhǔn)剖面,并選取合適的插值模型系數(shù),計(jì)算傾側(cè)角插值剖面集合;3)將傾側(cè)角剖面集合中的控制指令代入三自由度再入運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,生成具有不同機(jī)動(dòng)能力的再入軌跡集合,完成再入可達(dá)區(qū)域的近似計(jì)算。

        設(shè)計(jì)傾側(cè)角線性插值模型為:

        σ(V)=σup(V)+η(σdown(V)-σup(V))

        (15)

        式中:σup(V)和σdown(V)分別為給定的基準(zhǔn)傾側(cè)角剖面;η∈[0, 1]表示傾側(cè)角插值模型系數(shù)。

        通過(guò)選取一定間隔的插值模型系數(shù)η(如η=0.2, 0.4, …, 0.8),能夠直接生成一組具有不同幅值和不同臨界速度的傾側(cè)角剖面集合,如圖4所示,當(dāng)傾側(cè)角系數(shù)分別取η= 0和η= 1時(shí),對(duì)應(yīng)的傾側(cè)角剖面即為插值模型式(15)的上邊界σup(V)和下邊界σdown(V)。

        3 仿真分析

        飛行器氣動(dòng)參數(shù)[19]可近似為:

        CL=-0.234 2+0.051 36α+0.294 3e-0.100 7Ma

        CD=0.024 67+0.000 714 3α2+0.325 2e-0.279 0Ma

        給定再入攻角剖面為再入初始攻角α0= 30°,臨界速度VT=4 500 m/s,kα=1.429 837 9×10-6,傾側(cè)角取值范圍約束為-60° ~ 60°,初始下降段選取常值傾側(cè)角為σ0= 0°。

        3.1 差分進(jìn)化算法再入軌跡求解方案

        給定5組不同的高超聲速飛行器再入初始條件,如表1所示,并指定期望再入終端約束為hf=24 km,Vf=1 400 m/s,θf(wàn)= 45°,φf(shuō)= 30°。

        表1 飛行器再入初始條件

        利用差分進(jìn)化算法,針對(duì)表1中給出的初始條件,可求解滿足終端約束、過(guò)程約束的傾側(cè)角剖面,即參數(shù):(σ0,σ1,σ2,V1,V2,V3,V4)。

        圖5給出了不同再入條件下飛行器的經(jīng)緯度軌跡,5組仿真結(jié)果都滿足預(yù)定的經(jīng)緯度精度要求。圖6給出了求解得到的傾側(cè)角剖面。

        由圖6可見(jiàn),組4和組5相較于組1~組3多進(jìn)行了一次傾側(cè)角反轉(zhuǎn),用于調(diào)整飛行器航向角。參數(shù)化的傾側(cè)角剖面求解結(jié)果如表2所示。

        圖5 再入經(jīng)緯度軌跡Fig.5 Reentry longitude and latitude trajectory

        圖6 再入傾側(cè)角剖面Fig.6 Reentry bank angle profile

        表2 參數(shù)化傾側(cè)角剖面求解結(jié)果

        3.2 再入可達(dá)域計(jì)算

        考慮最大航向航程再入軌跡,選取性能指標(biāo)為:

        minJ=

        并選取飛行器再入初始條件如表3所示,給定終端約束為hf= 24 km,Vf= 1 500 m/s。

        表3 飛行器再入初始條件

        線性插值模型參數(shù)η在區(qū)間[0, 1]上以0.1間隔依次取值,在得到飛行器最大橫向航程的基礎(chǔ)上,生成再入傾側(cè)角指令集,如圖7所示。

        如圖8所示,ηr= 1和ηl= 1分別對(duì)應(yīng)了高超聲速飛行器最大橫向航程時(shí)的軌跡,且對(duì)應(yīng)于圖7中的ηr= 1和ηl= 1表示的傾側(cè)角剖面。以η= 0和ηr= 1以及η= 0和ηl= 1分別構(gòu)建出式(15)中的下邊界σdown(V)和上邊界σup(V),根據(jù)η取值生成傾側(cè)角插值剖面,將其代入飛行器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,可計(jì)算得到飛行器的再入可達(dá)域。

        圖7 傾側(cè)角插值剖面Fig.7 Bank angle interpolation profile

        圖8 再入可達(dá)域Fig.8 Reentry landing footprint

        圖9給出了本文方法與Gauss偽譜法求解再入可達(dá)域的對(duì)比。由圖9可見(jiàn),本文方法和偽譜法得到的再入可達(dá)域的外邊界形狀基本保持一致,但略小于偽譜法得到的優(yōu)化結(jié)果。偽譜法需要逐條計(jì)算和優(yōu)化再入軌跡,插值法僅需要一條最大橫向航程軌跡則可近似計(jì)算。

        圖9 可達(dá)域?qū)Ρ菷ig.9 Comparisons of landing footprints

        4 結(jié)束語(yǔ)

        本文針對(duì)升力式高超聲速飛行器再入可達(dá)域問(wèn)題,提出帶有罰函數(shù)的差分進(jìn)化算法和傾側(cè)角插值相結(jié)合的求解方案,研究分析和仿真結(jié)果表明:

        1)帶有罰函數(shù)的差分進(jìn)化算法可簡(jiǎn)化傾側(cè)角剖面,從而減小搜索空間,提高求解效率;

        2)傾側(cè)角插值模型直接生成指令集,快速計(jì)算得到再入可達(dá)域具有保守型,在需要快速估計(jì)飛行器能力時(shí),給出的可達(dá)域具有參考性。

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