周青春, 劉夢(mèng)濤,張?jiān)姺f,劉翔宇

(江蘇科技大學(xué) 理學(xué)院,鎮(zhèn)江 212003)

激光操縱的囚禁離子系統(tǒng)因在量子信息處理、量子計(jì)算以及量子態(tài)制備方面具有應(yīng)用前景而受到廣泛關(guān)注[1-11],實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)離子的Fock態(tài)、相干態(tài)、熱態(tài)和壓縮態(tài)[6]. 近年來(lái),超出Lamb-Dicke極限的囚禁離子模型引起了人們的研究興趣[3-4,9-10]. Lamb-Dicke極限下,離子運(yùn)動(dòng)空間尺寸遠(yuǎn)小于施加的激光波長(zhǎng),實(shí)驗(yàn)中囚禁離子需要極端冷卻,超出Lamb-Dicke極限條件更易實(shí)現(xiàn),而且超出Lamb-Dicke極限條件有利于降低囚禁勢(shì)阱的噪聲及改進(jìn)冷卻速率[9],故研究囚禁離子運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)考慮超出Lamb-Dicke極限情況具有現(xiàn)實(shí)意義. 文獻(xiàn)[11]中研究了行波激光場(chǎng)中囚禁離子的偶極壓縮性質(zhì),但沒(méi)有考慮離子振動(dòng)態(tài)的壓縮. 鑒于光的壓縮態(tài)在光通信和計(jì)量學(xué)方面已經(jīng)獲得應(yīng)用[12-13],文中研究駐波激光場(chǎng)中振動(dòng)離子正交相壓縮的演化特性.

1 模型及態(tài)矢量

考慮一個(gè)囚禁在諧振勢(shì)中的二能級(jí)離子,它與經(jīng)典駐波激光場(chǎng)發(fā)生相互作用,忽略離子衰變效應(yīng),在旋波近似下系統(tǒng)Hamiltonian(?=1)為：

φ] (eiωL tσ-+e-iωL tσ+)

(1)

式中：ν為離子諧振頻率；ω為離子能級(jí)躍遷頻率；ωL為激光頻率；σz,σ±為離子贗自旋算符；a+(a)為離子振動(dòng)模產(chǎn)生(湮滅)算符；η表示Lamb-Dicke參量;g為場(chǎng)-離子耦合系數(shù)；φ為離子振動(dòng)中心相對(duì)于駐波的位置，φ=π/2對(duì)應(yīng)于離子振動(dòng)中心在波節(jié)處,φ=0對(duì)應(yīng)于離子振動(dòng)中心在波腹處.

調(diào)節(jié)激光頻率使之與諧振子發(fā)生p量子共振紅激發(fā):

ωL=ω-pν

(2)

在相互作用繪景中,旋波近似下的Hamiltonian成為：

HI=g[a+pf(a+a)σ-+σ+f(a+a)ap]

(3)

式中

(4)

設(shè)初始時(shí)刻離子處于基態(tài)|g〉,離子振動(dòng)態(tài)為相干態(tài),系統(tǒng)初態(tài)為：

(5)

α=|α|eiβ,為方便起見(jiàn),以下取相干態(tài)相位β=0.

由薛定諤方程解出任意時(shí)刻系統(tǒng)態(tài)矢量:

(6)

Cn,e(t)=-iqnsinλnt

(7)

(8)

(9)

式中，締合Laguerre多項(xiàng)式

式(6)表示基態(tài)離子可以通過(guò)吸收光子躍遷到激發(fā)態(tài)，通過(guò)發(fā)射光子躍遷到基態(tài)．

2 離子振動(dòng)壓縮特性

引入正交相算符

(10)

則有對(duì)易關(guān)系[X1,X2]=i/2,方差滿足不確定關(guān)系〈(ΔX1)2〉〈(ΔX2)2〉≥1/16. 若〈(ΔXj)2〉<1/4 (j=1, 2),則稱Xj分量被壓縮. 任一分量被壓縮都稱態(tài)是壓縮的. 為了度量壓縮度,引進(jìn)壓縮參量

(11)

當(dāng)Sj<0時(shí)表示正交相算符第j分量被壓縮,當(dāng)Sj=-1時(shí)壓縮度達(dá)最大值100%. 對(duì)式(6),

(12)

將式(7,8)及(12)代入式(11)即可計(jì)算壓縮參量.

因X2無(wú)明顯壓縮,下面只考慮壓縮參量S1時(shí)間演化特性.φ=0時(shí),對(duì)奇數(shù)p不存在壓縮,圖1、2分別給出了p=0, 2對(duì)不同Lamb-Dicke參量的S1時(shí)間演化曲線.

圖1p=0時(shí)壓縮參量S1時(shí)間演化曲線 (φ=0,|α|2=10)
Fig.1Time evolution of the squeezing parameterS1forp=0(φ=0，|α|2=10)

圖2 p=2時(shí)壓縮參量S1時(shí)間演化曲線 (φ=0,|α|2=10)Fig.2 Time evolution of the squeezing parameter S1 for p=2(φ=0，|α|2=10)

對(duì)p=0情況,由圖2(a)看出,當(dāng)η較小時(shí),離子振動(dòng)正交相算符X1出現(xiàn)多次壓縮,壓縮近似有周期性. 隨著Lamb-Dicke參量η增大,壓縮次數(shù)逐漸減少,每個(gè)壓縮區(qū)持續(xù)時(shí)間變短,最大壓縮度向第一壓縮區(qū)移動(dòng),最大壓縮度在圖1(a～c)中沒(méi)有明顯變化. 圖1(d)表明,當(dāng)η足夠大時(shí),壓縮現(xiàn)象將徹底消失. 圖2展示了p=2時(shí)壓縮參量S1時(shí)間演化規(guī)律,其主要特征與p=0情況相似,不同之處是總存在一個(gè)壓縮度很小的淺壓縮區(qū),其壓縮度對(duì)η不敏感. 當(dāng)η增大時(shí),第二壓縮區(qū)變?yōu)樽钌顗嚎s區(qū),最后第二壓縮區(qū)消失. 圖2中壓縮區(qū)寬度大于圖1的.

為了考察參量p對(duì)離子振動(dòng)壓縮的影響,在圖3中繪出了φ=0,|α|2=10，η=0.3條件下不同p值對(duì)應(yīng)的壓縮參量與標(biāo)度時(shí)間gt之間的關(guān)系. 雖然圖1(d)表明p=0時(shí)不存在離子振動(dòng)的壓縮,但圖3中的曲線都顯示了壓縮區(qū)的存在,壓縮區(qū)深度和寬度都隨p增大,說(shuō)明增大p有助于獲得離子振動(dòng)的正交相壓縮.

圖3 不同參量p下的S1時(shí)間演化曲線(φ=0,|α|2=10)Fig.3 Time evolution of the squeezing parameter S1 for different p (φ=0, |α|2=10)

對(duì)p為奇數(shù)情況,離子振動(dòng)中心在波腹處(φ=0)時(shí),S1=0,不存在壓縮現(xiàn)象. 離子振動(dòng)中心在波節(jié)處(φ=π/2)時(shí)的S1演化曲線如圖4，5. 由圖可見(jiàn),與p為偶數(shù)情況類似,增大Lamb-Dicke參數(shù)使得壓縮區(qū)向前移動(dòng),最后消失;增大p使得壓縮區(qū)深度和寬度增加,增強(qiáng)了壓縮效應(yīng).

圖4 p=3時(shí)S1時(shí)間演化曲線Fig.4 Time evolution of S1 for p=30

圖5 S1時(shí)間演化曲線與奇數(shù)p的關(guān)系Fig.5 Time evolution of S1 for p=1, 3, 5

振動(dòng)離子在駐波場(chǎng)中位置對(duì)壓縮特性的影響見(jiàn)圖6,計(jì)算中所取參數(shù)值見(jiàn)圖. 隨著離子中心從駐波激光場(chǎng)的波腹向波節(jié)移動(dòng)(φ=0→φ=π/2),圖6(a)中的壓縮區(qū)向后推遲并變寬,這是p為偶數(shù)時(shí)S1演化的共同特征；而圖6(b)中p=3的S1演化受到的影響正好相反,這也是p為奇數(shù)時(shí)S1演化共同特征. 無(wú)論p是奇數(shù)還是偶數(shù),離子中心位置的改變都不影響壓縮區(qū)的深度. 上述結(jié)論也可以從式(6、11)和(12)直接得出,對(duì)偶數(shù)(奇數(shù))p,只要做變換tcosφ→t(tsinφ→t)就回到了φ=0 (φ=π/2)的S1演化曲線.

圖6 S1時(shí)間演化曲線與參數(shù)φ的關(guān)系Fig.6 Time evolution of S1 for various φ

3 結(jié)論

(1) 在振動(dòng)相干態(tài)和離子基態(tài)的初始條件下,文中研究了激光駐波場(chǎng)中與其發(fā)生p量子共振紅激發(fā)相互作用的諧振二能級(jí)離子振動(dòng)正交相壓縮時(shí)間演化特性,考察了p和Lamb-Dicke參量η以及離子在駐波場(chǎng)中位置對(duì)壓縮參量的影響.

(2) 數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,η由小變大使得達(dá)到最大振動(dòng)壓縮度需要的激光-離子相互作用時(shí)間變短,但η過(guò)大會(huì)降低壓縮度甚至使壓縮消失,不利于壓縮;增大p有助于提高壓縮度和壓縮區(qū)時(shí)間寬度;離子中心從駐波激光場(chǎng)的波腹向波節(jié)移動(dòng)時(shí),對(duì)偶數(shù)p,壓縮區(qū)向后推遲并變寬,而對(duì)奇數(shù)p,壓縮區(qū)向前移并變窄.