周群益，莫云飛，侯兆陽，周麗麗

（1.廣州理工學(xué)院，廣東 廣州 510540；2.長沙學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，湖南 長沙 410022；3.長安大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710064；4.贛南醫(yī)學(xué)院 信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000）

均勻帶電環(huán)電荷的電場用手工計(jì)算是一個(gè)比較復(fù)雜的問題，電磁學(xué)教材通常只計(jì)算中垂線上的電勢和電場強(qiáng)度。一些研究報(bào)道了環(huán)平面上的電場[1-3]，以及全部空間的電場[4-9]。由于環(huán)電荷的電場涉及兩類完全橢圓積分的計(jì)算[10-11]，目前許多研究工作一般采用無窮級數(shù)計(jì)算，導(dǎo)致計(jì)算十分繁雜，且精度較低。某些研究工作雖用MATLAB 模擬電場[12-13]，二維等勢線和三維等值面都十分標(biāo)準(zhǔn)，但等值面色彩不太鮮艷；程序還需改進(jìn)，例如在等勢線的圖中增加電場線就更形象反映電勢的分布規(guī)律。

本文推導(dǎo)了環(huán)電荷的電勢和電場強(qiáng)度的直角坐標(biāo)公式，直接得到中垂線和環(huán)平面的電勢和場強(qiáng)公式。為了便于計(jì)算和作圖，將公式進(jìn)行無量綱化處理。本文巧妙地利用了MATLAB 兩個(gè)完全橢圓積分函數(shù)，簡單地計(jì)算出電勢和場強(qiáng)，并畫出彩色曲面和曲線，對電勢和場強(qiáng)的分布規(guī)律進(jìn)行了分析。

1 環(huán)電荷的電勢

如圖1 所示，建立直角坐標(biāo)系Oxyz，柱坐標(biāo)系Oρθz和球坐標(biāo)系Orθφ。設(shè)圓環(huán)的半徑為a，帶電量為Q＞0，則環(huán)電荷的線密度為

由于電荷分布具有軸對稱性，因而場強(qiáng)的分布也具有軸對稱性，不妨將場點(diǎn)P取在Oxz平面上。矢量a的單位矢量為

其中，φ是柱坐標(biāo)系中的極角或球坐標(biāo)系中的方位角。矢量r的單位矢量為

其中，θ是傾角。兩矢量之間的夾角的余弦為

圖1 環(huán)上點(diǎn)電荷的電勢

在圓環(huán)取一電荷元dq=λadφ，電荷元到場點(diǎn)P的距離為

其中，r 是場點(diǎn)P 到原點(diǎn)的距離。電荷元dq 在點(diǎn)P產(chǎn)生的電勢為

在 平 面Oxz 中， r2= x2+ z2。當(dāng)x ＞0 時(shí)，rsinθ=x；當(dāng)x ＜0時(shí)，rsinθ=-x。故rsinθ=|x|。式(7)中的模數(shù)變?yōu)?/p>

MATLAB有專門計(jì)算兩類完全橢圓積分的指令，調(diào)用格式是

根據(jù)簡約坐標(biāo)即可計(jì)算簡約電勢。

MATLAB 的plot 指令可以畫出電勢曲線，如圖2 之上圖所示，當(dāng)x =0 時(shí)，環(huán)電荷在中垂線上的電勢U(0,z) 是z 的偶函數(shù)，電勢在環(huán)心處有極大值，U(0,z)隨距離|z|的增加而減小，當(dāng)|z|很大時(shí)，其電勢接近于點(diǎn)電荷的電勢。如圖2 之下圖所示，當(dāng)z =0時(shí)，環(huán)電荷在環(huán)平面內(nèi)的電勢U(x,0)是x 的偶函數(shù)，電勢在環(huán)心處有極小值；環(huán)內(nèi)電勢隨距離|x|的增加而增加，環(huán)外的電勢隨距離|x|的增加而減??；當(dāng)|x|→a 時(shí)，U(x,0)→+∞；當(dāng)|x|很大時(shí)，其電勢接近于點(diǎn)電荷的電勢。

圖2 均勻帶電圓環(huán)在中垂線和環(huán)平面上的電勢

MATLAB的surf指令可以畫出電勢曲面，contour3指令可以畫出三維等勢線。如圖3 所示，電勢U(x,z)是關(guān)于x 的偶函數(shù)，也是關(guān)于z 的偶函數(shù)。環(huán)內(nèi)電勢的曲面呈 “馬鞍” 形，曲面上的曲線是等勢線，環(huán)外的電勢隨著距離的增加而減小；場點(diǎn)離環(huán)越近，電勢就越大，因而形成兩個(gè)尖銳的 “峰” ，(±a,0)是電勢的奇點(diǎn)，曲面上的一條曲線是中垂線上的電勢U(0,z)，點(diǎn)(0,0)是電勢的極大值；曲面上的另一條曲線是環(huán)平面上的電勢U(x,0)，點(diǎn)(0,0)是電勢的極小值，點(diǎn)(0,0)是曲面的鞍點(diǎn)。

圖3 均勻帶電圓環(huán)的電勢

2 環(huán)電荷的電場強(qiáng)度

如圖4 之上圖所示，當(dāng)x =0 時(shí)，環(huán)電荷在軸上的場強(qiáng)Ez(0,z)是z 的奇函數(shù)，環(huán)心處的場強(qiáng)為零，當(dāng)z ＞0時(shí)，場強(qiáng)隨著z的增加而先增后減，存在極大值，位于z= 2 a/2 處，極大值為Ez=2 3E0/9；當(dāng)|z|很大時(shí)，其場強(qiáng)接近于點(diǎn)電荷的場強(qiáng)。如圖4 之下圖所示，當(dāng)z=0時(shí)，環(huán)電荷在環(huán)平面內(nèi)的場強(qiáng)Ex(x,0)是x的奇函數(shù)，環(huán)心處的場強(qiáng)為零，環(huán)內(nèi)場強(qiáng)隨距離|x|的增加而增加；環(huán)外的場強(qiáng)隨距離|x|的增加而減小，當(dāng)|x|→a時(shí)，Ex(x,0)→∞；當(dāng)|x|很大時(shí)，其場強(qiáng)接近于點(diǎn)電荷的場強(qiáng)。

圖4 均勻帶電圓環(huán)在中垂線和環(huán)平面上的場強(qiáng)

如圖5 所示，環(huán)電荷在Oxz平面場強(qiáng)的x分量Ex(x,z)是關(guān)于x的奇函數(shù)，是關(guān)于z的偶函數(shù)，Ex有兩個(gè)無限深的 “谷” 和無限高的 “峰” ，在z=0 的直線上，當(dāng)x→±a+時(shí)，Ex→+∞；當(dāng)x→±a-時(shí)，Ex→-∞，說明在x=±a的兩側(cè)，Ex的方向相反。曲面上中垂線上的場強(qiáng)Ex(0,z) = 0，環(huán)平面上的場強(qiáng)Ex(x,0) 曲線是單調(diào)下降的，有兩個(gè) “峰” 和兩個(gè) “谷” ，也就是兩個(gè)奇點(diǎn)。

圖5 均勻帶電圓環(huán)的場強(qiáng)的x 分量

圖6 均勻帶電圓環(huán)的場強(qiáng)的z 分量

如圖6 所示，場強(qiáng)的z分量Ez(x,z)是關(guān)于x的偶函數(shù)，是關(guān)于z的奇函數(shù)。Ez也有兩個(gè)無限深的 “谷” 和無限高的 “峰” ，在x=±a的直線上，當(dāng)z→0+時(shí)，Ez→+∞；當(dāng)z→0-時(shí)，Ez→-∞，說明在z=0的兩側(cè)，Ez的方向相反。曲面在中垂線上的場強(qiáng)Ez(0,z)是先下降后上升再下降的，環(huán)平面上的場強(qiáng)Ez(x,0) =0。

如圖7 所示，合場強(qiáng)E的大小E(x,z)是關(guān)于x和z的偶函數(shù)，有兩個(gè)無限高的 “峰” ，出現(xiàn)在環(huán)電荷所在處。原點(diǎn)是一個(gè) “谷” ，曲線E(x,0)和E(0,z)相交于 “谷” 底，場強(qiáng)為零。

圖7 均勻帶電圓環(huán)的合場強(qiáng)

如圖8所示，合場強(qiáng)E的方向角α在環(huán)外隨著Oxz平面的極角θ(極軸是z軸，順時(shí)針方向?yàn)檎?的增加而減小，在θ=3π/2 處，α發(fā)生從-π 到π 的躍變；α在環(huán)內(nèi)隨著極角θ的增加而增加，在θ=π/2 處，α發(fā)生從-π 到π 的躍變。

圖8 均勻帶電圓環(huán)的場強(qiáng)方向

MATLAB的contour指令可以畫出二維等勢曲線，streamline指令可以畫出電場曲線[14]。如圖9所示，其等勢線就是圖2 在Oxz平面上的投影線。等勢線分為兩類：U＞U0的等勢線分別包圍著環(huán)的兩邊，電勢越高，等勢線離環(huán)越近；U＜U0的等勢線包圍著整個(gè)環(huán)，電勢越低，等勢線離環(huán)越遠(yuǎn)，而且越圓，因而越接近于點(diǎn)電荷的等勢；U=U0的等勢線相交在環(huán)心，是兩類等勢線的分隔線。圓環(huán)電荷的電場線與等勢線垂直，兩側(cè)的電場線互相排斥，因?yàn)槭峭N電荷。離環(huán)較近的電場線比較彎曲，離環(huán)較遠(yuǎn)的電場線接近于直線，這是因?yàn)檫h(yuǎn)處的電場接近于點(diǎn)電荷的電場。

圖9 均勻帶電圓環(huán)的等勢線和電場線

3 結(jié)束語

本文全面地解決了圓環(huán)電荷的電勢和電場強(qiáng)度的計(jì)算和可視化問題，因而具有一些新穎之處。

在直角坐標(biāo)系中推導(dǎo)了環(huán)電荷的電勢和電場強(qiáng)度的公式，將解析式無量綱化。利用MATLAB 兩類完全橢圓積分函數(shù)，大大提高了計(jì)算效率和精度，用最少的指令解決計(jì)算和可視化問題。將環(huán)電荷的電勢和場強(qiáng)與點(diǎn)電荷的電勢和場強(qiáng)進(jìn)行了比較。用曲面表示二元函數(shù)，繪制等勢線和電場線。本文的方法可用于計(jì)算環(huán)電流的矢勢和磁感應(yīng)強(qiáng)度等問題。