姚珩煜，楊 波，劉子龍，張 波

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院物理系，武漢 430070)

1 引 言

自1995年，科學(xué)家基于激光冷卻的技術(shù)在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了玻色和愛(ài)因斯坦預(yù)言的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚體(BEC)起[1-3]，冷原子系統(tǒng)為模擬物質(zhì)在超低溫情況下的量子效應(yīng)和研究光與物質(zhì)相互作用提供了一個(gè)理想的純凈平臺(tái)[4,5].在光學(xué)微腔與超冷原子的組合系統(tǒng)中，腔場(chǎng)的光學(xué)模式和原子的自由度相耦合，產(chǎn)生了周期性的依賴(lài)于原子密度和腔中位置的量子化光晶格，出現(xiàn)了豐富的物理性質(zhì)[6-9].此時(shí)，通過(guò)腔參數(shù)的調(diào)節(jié)，能有效地改變光晶格的阱深，冷原子的運(yùn)動(dòng)就類(lèi)似于固體理論中布洛赫電子的運(yùn)動(dòng)，就能有效地在BEC中實(shí)現(xiàn)擴(kuò)展Bose-Hubbard模型[10,11].而且，由于腔損耗的存在，使系統(tǒng)能處于動(dòng)力學(xué)穩(wěn)態(tài)，也為非破壞性測(cè)量提供了的可能性.另一方面，2005年非阿貝爾人工規(guī)范場(chǎng)理論[12,13]的出現(xiàn)為中性超冷原子系統(tǒng)中自旋軌道耦合(SOC)的實(shí)現(xiàn)提供了理論解決方案.而此后，大多數(shù)在超冷原子系統(tǒng)中產(chǎn)生SOC的實(shí)驗(yàn)[14-19]是通過(guò)用一對(duì)Raman激光作用于中性冷原子的兩個(gè)不同贗自旋態(tài)[20,21]，引入具有空間依賴(lài)的光學(xué)耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)一個(gè)維度上的SOC.近年來(lái)在光學(xué)微腔與超冷原子的組合系統(tǒng)中考慮SOC的情況開(kāi)始在理論上被討論，為研究非平庸拓?fù)湮锵郲22-24]提供了很好的平臺(tái).本文考慮在外加經(jīng)典激光相干驅(qū)動(dòng)的單模Fabry-Pérot(F-P)腔內(nèi)的BEC上引入SOC作用，SOC為冷原子系統(tǒng)提供了一個(gè)人工規(guī)范勢(shì)，光學(xué)腔則提供了周期性的量子化光晶格，使用緊束縛近似進(jìn)行二次量子化，在合適的腔參數(shù)調(diào)節(jié)下得到了單原子綴飾態(tài)能級(jí)的具體表達(dá)式，討論了外加Raman光和磁場(chǎng)對(duì)原子色散的影響，證明在BEC中產(chǎn)生了可調(diào)節(jié)的一維狄拉克點(diǎn).

2 理論模型

考慮一個(gè)光軸沿x方向的單模F-P腔，腔模g0cos(Kx)，腔光場(chǎng)固有頻率為ωc，耗散為κ，并沿腔軸的方向加入一個(gè)頻率為ωp，泵浦率為η的經(jīng)典強(qiáng)泵浦場(chǎng)，即腔驅(qū)動(dòng)場(chǎng).考慮N0個(gè)處于|F=1,mF=-1〉態(tài)87Rb原子制備的BEC放置于F-P腔內(nèi)，在外加沿z方向的磁場(chǎng)作用下，由于二次型Zeeman劈裂較大，超精細(xì)能級(jí)中的|F=1,mF=1〉態(tài)被有效地抑制.當(dāng)沿x軸成45°射入兩束弱的頻率分別為ωL和ωL+ΔωL相互垂直的Raman光作用于|F=1,mF=0〉和|F=1,mF=-1〉兩個(gè)磁子能級(jí)和一個(gè)激發(fā)態(tài)|e〉時(shí)，能形成有效的Rashba型和Dresselhaus型等權(quán)疊加的SOC[14,15].SOC作用于冷原子提供一個(gè)x方向人工規(guī)范勢(shì)，人工合成了贗自旋為1/2的BEC，兩個(gè)磁子能級(jí)就相當(dāng)于贗自旋態(tài)|↑〉和|↓〉，如圖1所示.此時(shí)，用偶極近似和旋波近似可以給出單原子的哈密頓量(取自然單位?=1)

圖1 模型及能級(jí)示意圖Fig.1 Model and energy levels diagram

(1)

(2)

(3)

由方程(2)利用海森堡運(yùn)動(dòng)方程可得到光子算符和處于不同能級(jí)的原子算符的動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程

(4)

其中，σ=↑,↓代表原子的兩個(gè)贗自旋態(tài).當(dāng)原子躍遷頻率與泵浦光的失諧量遠(yuǎn)大于原子線(xiàn)寬γ，即Δa?γ時(shí)，進(jìn)行絕熱近似，取?tΨe(r)=0得到

(5)

將方程(5)代入(4)，則消除激發(fā)態(tài)可以改寫(xiě)系統(tǒng)的哈密頓量為

(6)

W(r-ri)=e-imφijω(r-ri)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

圖2 三個(gè)高階項(xiàng)系數(shù)隨有效失諧量的變化Fig.2 Variation of the three high-order terms' coefficients with the effective detuning

(12)

(13)

利用歐拉公式就可以得到單原子的哈密頓量

(14)

將方程(14)對(duì)角化，得到綴飾態(tài)能級(jí)的表達(dá)式為

(15)

3 結(jié)果與討論

圖3 原子色散隨單Raman光子反沖動(dòng)量的變化Fig.3 Variation of the atom's dispersion with the recoil momentum of single Raman photon

圖4 原子色散隨Zeeman磁場(chǎng)的變化Fig.4 Variation of the atom's dispersion with the Zeeman magnetic field

4 結(jié) 論