關 威，邊天奇，任 艷

(沈陽航空航天大學自動化學院，沈陽 110136)

近年來，隨著控制理論的快速發(fā)展，人們對單個系統(tǒng)的控制研究越來越成熟，自適應控制、神經(jīng)網(wǎng)絡技術、事件觸發(fā)控制技術、切換控制技術以及最優(yōu)控制等許多高效先進的控制技術越來越成熟。但是近20年來，人工智能技術、計算機科學和控制算法等高科技飛速發(fā)展，人們對多智能體系統(tǒng)的研究越來越重視，相對于單系統(tǒng)，多智能體系統(tǒng)在目標維度比較高且比較復雜時，其優(yōu)勢就逐漸得以體現(xiàn)，其應用也非常廣泛，多智能體系統(tǒng)在無人機編隊、高空衛(wèi)星編隊技術及移動智能汽車群體控制等方面都有不可或缺的重要性。

多智能體系統(tǒng)中的核心問題之一就是一致性問題。上世紀七十年代Degroot等人首次提出一致性的定義[1]，并應用在管理統(tǒng)計領域。在科學高速發(fā)展的今天，人們將一致性應用到對智能體系統(tǒng)的研究中，2004年OlfatiSaber等人正式提出了多智能體系統(tǒng)一致性問題的理論框架，所謂的一致性就是要求多智能體系統(tǒng)中每一個跟隨者都達到跟領航者相同的狀態(tài)。基于一致性問題的研究，人們對多智能體系統(tǒng)有了更深入的研究，文獻[2]給出了多智能體系統(tǒng)在一階積分環(huán)節(jié)中和固定拓撲結(jié)構(gòu)下達到一致性的條件；文獻[3]針對各個系統(tǒng)之間信息交換時存在的時延和丟包問題，給出了一致性協(xié)調(diào)控制算法;文獻[4]提出了通過非線性控制協(xié)議的方法來解決有限時間一致性問題，從而加快系統(tǒng)的收斂速度；文獻[5]利用當今比較熱門的神經(jīng)網(wǎng)絡技術解決了存在非線性因素和未知擾動的多智能體系統(tǒng)一致性問題。

在一個已經(jīng)達到穩(wěn)定的系統(tǒng)中執(zhí)行器有時會發(fā)生飽和現(xiàn)象。對于一個原本已經(jīng)穩(wěn)定的系統(tǒng)，當執(zhí)行器發(fā)生飽和現(xiàn)象時，其穩(wěn)定性將被打破，如果在多智能體系統(tǒng)中執(zhí)行器發(fā)生飽和現(xiàn)象，那么多智能體系統(tǒng)是否能夠達到一致性將成為一個問題。針對執(zhí)行器發(fā)生的飽和現(xiàn)象，文獻[6]提出了在執(zhí)行器飽和條件下的系統(tǒng)吸引域估計問題，基于這一理論知識，本文將其推廣到多智能體系統(tǒng)中，研究多智能體系統(tǒng)的飽和問題。在控制器的設計過程中，考慮到跟隨者的狀態(tài)信息很難得到，所以本文根據(jù)每一個跟隨者的相對輸出信息進行設計，并運用線性不等式技術，來解決執(zhí)行器飽和下的多智能體系統(tǒng)一致性問題。

1 問題描述及預備知識

1.1 問題描述

考慮多智能體系統(tǒng)由1個領航者和N個跟隨者組成，考慮領航者的控制輸入為0，其中領航者的狀態(tài)方程為

y0(t)=Cx0(t)

(1)

跟隨者的動態(tài)方程為

yi(t)=Cxi(t)

(2)

式中，x0∈Rn，y0∈Rp代表領航者的狀態(tài)向量和輸出向量；xi∈Rn，yi∈Rp,σ(ui(t))∈Rm(i=1,…,N),分別代表每一個跟隨者的狀態(tài)向量、輸出向量和帶飽和的控制輸入。A,B,C為具有適當?shù)臄?shù)的矩陣。

1.2 預備知識

Kronecker積的性質(zhì)如下：

(1)(αA)?B=A?(αA), 其中α為常數(shù)；

(2)(A+B)?C=A?C+B?C;

(3)(A?B)(C?D)=(AC?BC)；

(4)(A?B)T=AT?BT。

假設1：領航者的信息可以被至少一個跟隨者獲取，而領航者無法獲取跟隨者的信息,也即圖G包含一個生成樹，且領航者是其中的根節(jié)點;另一方面,假設G是無向連通圖。

引理1[7]：滿足假設1的圖G對應的拉普拉斯矩陣L可以分解為

(3)

其中L2∈R(N-1)×1，L1∈R(N-1)×(N-1)，且矩陣L1是正定矩陣，同時存在一個正交陣U，滿足UTL1U=diadλ1,…,λN,其中0≤λ1,≤…,≤λN為矩陣L1的特征值。

定義1：執(zhí)行器飽和的非線性以如下形式給出

(4)

(5)

引理3：對于有適當維數(shù)的矩陣X,Y和任意的實數(shù)μ>0,有式(6)成立

xTY+YTX≤μ-XTX+μYTY

(6)

定義2：定義XR為一個有界凸集XR=∈(R,1)={x∈Rn×n:xTRx≤1},R>0orXR=cox1,…,xL。對于一個集合S∈Rn,αR(S)=supα>0:αXR?S。

(1)S<0；

定義3：對于矩陣Ccl∈Rn×n,標記矩陣Ccl的第k行為Cclk，定義

g(Ccl)={x∈Rn:|Cclk|≤1,k∈I[1,L]}

(7)

定義4：橢球集合：P∈Rn×n為一正定矩陣，標記

ε(P,p)={x∈Rn:xTPx≤p}

(8)

令V(x)=xTPx。如果對于所有的x∈(Pp){0},有那么橢球ε(P,p)為壓縮不變集。顯然如果ε(P,p)為壓縮不變集，那么其必在吸引區(qū)域內(nèi)。

2 主要結(jié)論

(9)

其中KC=BTP

將(9)式代入(2)式可得

(10)

定義新變量ξi(t)=xi(t)-x0(t),i=1,…,N,并記ξ0=0，所以由(1)和(10)可得

(11)

定義ξ=[ξ1,…,ξN]。

由圖論的知識和Kronecker積的性質(zhì)

(12)

利用引理2式(12)可以寫成

(13)

可以看出，如果式(13)是漸進穩(wěn)定的，那么多智能體系統(tǒng)就是漸進穩(wěn)定的，多智能體系統(tǒng)也能夠達到一致。

定理5：如果滿足KC=BTP，給定一個橢球ε(P,p)，P∈Rn×n，如果對于所有的DD∈D與ε(P,p)?g(H)，存在矩陣H∈Rn×n滿足

(14)

那么集合ε(P,p)為一個壓縮不變集，原多智能體系統(tǒng)可以實現(xiàn)一致性。

證明：考慮如下Lyapunov函數(shù)

V=ξT(L1?P)ξ

(15)

則

(16)

由引理3有

(L1?PB)DD(L1?BTP)

(17)

綜合式(17)可得

(18)

由引理4可得多智能體系統(tǒng)一致性條件(14)轉(zhuǎn)化為

(19)

通過式(19)，我們可以得到無數(shù)個滿足條件的橢球，所以如何從這些橢球中選出最大的成為一個非常有趣的問題，這一問題可以用如下最優(yōu)化過程來解決

maxα

s.t.(a)αXR?ε(L1?P,p)

(b)(9)

(c)ε(L1?P,p)?g(H)

若參考集xR是橢球，那么限制條件(a)等價于

(20)

限制條件(c)等價于

(21)

所以優(yōu)化條件轉(zhuǎn)化為

maxα

(b)(9)

(22)

以上可以用LMI進行求解。

3 數(shù)值仿真

考慮式(1)和式(2)描述的多智能體系統(tǒng)，由1個領航者和4個跟隨者組成。參數(shù)分別為

μ1=1,μ2=2,多智能體系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)如圖(1)所示。

圖1 多智能體系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)

由拓撲結(jié)構(gòu)可知只有跟隨者1能夠獲得領導者的信息，則對應的L1矩陣為

然后利用Matlab進行數(shù)據(jù)仿真，選定領航者的初始值為(8,8),圖2和圖3分別是多智能體系統(tǒng)第一狀態(tài)和第二狀態(tài)下領航者和跟隨者的狀態(tài)差曲線。其中實線代表領航者的狀態(tài)曲線，虛線代表跟隨者的狀態(tài)曲線。分析仿真圖像可知，在執(zhí)行器存在飽和的情況下，通過設計合適的控制器，多智能體系統(tǒng)能夠達到一致性。

圖2 第一個狀態(tài)下領航者和跟隨者的狀態(tài)差曲線

圖3 第二個狀態(tài)下領航者和跟隨者的狀態(tài)差曲線

4 結(jié)論

本文研究了執(zhí)行器飽和下的多智能體系統(tǒng)的一致性問題，為了解決多智能體系統(tǒng)執(zhí)行器飽和的問題，首先設計合適的控制器，然后通過分析每一個跟隨者和領航者之間的狀態(tài)差所構(gòu)成的新的閉環(huán)系統(tǒng)，再通過吸引區(qū)域的優(yōu)化，給出在執(zhí)行器飽和下多智能體系統(tǒng)實現(xiàn)一致性的條件，最后通過運用Matlab進行數(shù)據(jù)仿真,驗證了結(jié)果的正確性,從而實現(xiàn)了在執(zhí)行器飽和的情況下多智能體系統(tǒng)的一致性。