黃 濤，熊 練

(沈陽航空航天大學 a.經濟與管理學院 b.民用航空學院，沈陽 110136)

在過去的十年里，隨著全球貿易的成熟，國際航空貨運在全球供應鏈的緊密聯(lián)系下經歷了巨大的發(fā)展。自2014年以來，航空貨運量以每年4.5%-5.0%的速度持續(xù)增長。隨著航空運輸自由化[1]、未來的長途低成本航空公司[2]以及開放天空協(xié)議的實施[3]，航空貨運業(yè)將繼續(xù)蓬勃發(fā)展。

與客機中乘客的容量不同，貨機貨艙在需求和分配方面具有較大的不確定性[4]。貨運費用是以貨物的毛重或體積中兩者較大的一項為計算單位。根據(jù)國際航空運輸協(xié)會的空運費率表，每批貨物的計費重量越大單價越低。航空貨運承運人在計算航空貨運量時，既要考慮重量又要考慮體積。因此，在貨機貨物裝載及集裝箱位置擺放問題中考慮待裝貨物重量和體積之間的關系顯得尤為重要。航空公司如何有效地將不同類型的航空貨物進行組合裝載運輸，以提高裝載率和收入，是運營管理的一個重要問題。

MONGEAU[5]等和LIMBOURG[6]等都考慮標準化容器(Unit Load Device，下文簡稱ULD)的放置對飛機重心的影響。MONGEAU等設計了一種整數(shù)線性規(guī)劃模型，可以使飛機上的總載貨量最大化，并確保實際重心在目標重心值范圍內。此外，還考慮了飛機的結構完整性約束，如最大載荷和體積容量約束等。而LIMBOURG等假設已經選擇了最適宜的容器，其主要目的是最小化貨物的慣性矩以提高整體穩(wěn)定性，減少了對飛機的結構壓力并降低油耗。在過去的幾年里，通過考慮如何在ULDs內優(yōu)化貨物裝載，VANCROONENBURG[7]等試圖確定如何選擇要裝載在飛機上的ULD或貨物，而其他人則假設所有ULDs都能夠裝載到飛機中。HUANG[8]提出了一種基于動態(tài)規(guī)劃模型中期望收益函數(shù)近似的求解算法，同時考慮隨機體積和貨物重量。HAN[9]等假設每個貨物都具有隨機的權重和體積，提出了馬爾可夫模型，為航空公司分配飛機貨運能力提供參考。FENG B[10]等總結了前人關于航空貨運問題的模型研究，找出了理論和實際的差距。正如這些研究一樣，研究重點是將標準化集裝箱ULD裝載到一組離散的艙位上，忽略了非標準化貨物問題。趙鵬[11]等根據(jù)實際物流情況，建立了以重心約束為主的車輛利用率最大化的三維單車裝載模型。那日撒[12]針對七種現(xiàn)實約束的集裝箱三維多箱異構貨物裝載優(yōu)化問題，提出了一種基于“塊”和“空間”的啟發(fā)式搜索算法。鄭煒[13]等基于三維貨物裝載問題構建了一種自動生成裝載方案的算法。崔會芬[14]等針對三維單箱裝載問題提出了改進遺傳算法優(yōu)化模型。谷潤平[15]等綜合考慮現(xiàn)實約束，建立了雙目標混合整數(shù)規(guī)劃模型，提出一種改進遺傳算法。

本文主要研究了航空貨物裝載的特點，燃油對貨機的總載重量和載貨空間的影響。裝載所使用的ULDs根據(jù)飛機類型要求選擇，不同的ULD具有各自比重量和體積限制。航空公司根據(jù)待裝貨物信息以及相應機型的ULDs確定使用的托盤和集裝箱數(shù)量。本方法結合利潤最大化的目標和最小化裝載重心CG與目標重心值CGOPT的偏差使模型更加靈活，總能得到最優(yōu)的集裝箱選擇方案，并根據(jù)CG偏離最優(yōu)重心值找到ULDs擺放的最佳位置。此外，該模型在前人的研究基礎上進行了改進，增加了與飛機安全和結構穩(wěn)定性相關的現(xiàn)實約束，如重疊裝載配置和超大集裝箱。本研究的目標函數(shù)加入了收益系數(shù)，具有商業(yè)價值，對我國航空貨運業(yè)有著一定的指導意義。

1 問題描述

飛機裝載平衡優(yōu)化問題具有兩個不同且相互獨立的目標：既要使運輸貨物的總收益最大化，又要優(yōu)化飛機在橫向和縱向上的重心。減少實際重心與給定目標重心值之間的偏差，改善飛機的穩(wěn)定性，減少飛行期間的油耗。該問題可概括如下：在滿足大量線性和非線性約束的同時，從給定的貨物中選擇收益最大的貨運組合，將其裝載到托盤或集裝箱內再放置到飛機貨艙上，同時最小化與飛機目標重心的偏差。事實上，上文描述的復雜問題在飛機起飛前半小時左右才被處理，幾乎沒有時間或者根本沒有時間進行微調，配載人員可以使用圖表和軟件工具來協(xié)助重心計算和約束檢查。然而，這是一個耗時的手工過程，往往缺乏質量。因此，本文提出了一種用于求解飛機裝載平衡優(yōu)化問題的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，旨在提供將經過組合的待裝貨物裝載到一組可用的裝載設備ULDs中，并將ULDs合理地裝載到貨艙中的最佳選擇方案。

ULD是貨運的標準化單位，其容積決定了貨物運輸?shù)臐撛谑找?。飛機由一個或多個貨艙組成，其中ULD可以裝載到各種配置中，不同類型的ULD的不同配置可以在最終裝載計劃中“混合”。值得注意的是，大多數(shù)艙位與其他配置的艙位重疊。因此，將ULD分配到最終裝載計劃中的一個位置可能還會使用其他多個艙位。艙位由它的縱向和橫向坐標w.r.t確定(w.r.t是參考基準)，該參考數(shù)據(jù)通常被定義為飛機前端的一個虛擬點。本研究中，虛擬坐標是位置的平衡臂(Balance Arm，下文簡稱BA)，與均勻裝載的ULD在艙位施加重力的點對應。縱向BA是以BA=0為基準的縱向坐標，橫向BA是以飛機中心線為基準的橫向坐標。

飛機的重心CG在飛行中起著重要作用，由旋轉力學的基本原理確定。質量的旋轉力矩w.r.t.通過距離矢量到基準面的矢量積和重力矢量計算，如式(1)所示，CG表示重心，wi表示重量，g表示重力加速度，ri表示力矩。飛機飛行時重心的位置在很大程度上決定著飛機的穩(wěn)定性和機動性，它還間接影響著燃油消耗，飛機的基本重量和空載重心的BA由制造商提供。為了安全地進行飛行和操縱，飛機的重心和重量必須在制造商規(guī)定的允許范圍內。重心的縱向坐標(參考基準面)非常重要，它影響飛行員對飛機俯仰的控制：如果它太向前，機頭就會很重，如果它太遠了，機尾就會很重。當重心接近某個目標位置時，機翼產生的升力和阻力也能達到最佳平衡，從而實現(xiàn)水平穩(wěn)定器的最佳設置。為了給出一個關于撞擊的概念，Mongeau和Bes[6]研究發(fā)現(xiàn)遠程飛機的重心位移小于75厘米，飛行距離超過10 000公里，可以節(jié)省4 000公斤燃料。必須注意的是，一些飛機配備了通過在油箱之間轉移燃料來改變飛機重心的系統(tǒng)。然而，這些系統(tǒng)的有效性受限，接近目標值的重心仍然是可取的。因此，本文第二個目標是最小化重心與目標重心值的偏差，以達到最佳平衡。

(1)

為使模型具有實用價值，本文增加飛機制造商的安全參數(shù)和航空公司運營商商業(yè)參數(shù)進行約束。本模型的主要貢獻是嚴格遵循現(xiàn)實約束和物理條件，使其能夠在幾乎沒有配載人員交互的情況下仍可以使用。本文以波音747-400機型為例，對這些約束條件進行詳細分析。

2 模型建立

本文旨在研究航空貨物運輸中出現(xiàn)的雙目標裝載平衡問題，將貨物裝入ULDs，然后將這些ULDs放置在飛機內的艙位上，并且最大化運輸貨物的總收益和最小化重心位置的偏差。當飛機的總載荷保持平衡時，燃料消耗最少，即運輸利潤最大。本文的假設如下：待裝貨物均能包裝成規(guī)則的長方體；運輸?shù)钠瘘c和終點相同，不存在中途卸載的情況；使用標準ULDs。針對貨機貨物裝載平衡問題的研究限制條件有很多，本文按照貨物、ULDs、貨艙的各自屬性以及工作中的實際要求設置約束條件，決策變量和相關參數(shù)如表1所示。

建立模型所用到的符號如表2所示。

貨物和ULDs的基本約束如式(2)-式(5)所示。式(2)-式(3)表示貨物xij和yjk均為0-1變量；式(4)表示每個ULD只能放在一個艙位上；式(5)表示每個艙位上至多能放置一個ULD。

表1 決策變量和相關參數(shù)

表2 符號及說明

i=1,2,…,N,j=1,2,…,NULD

(2)

j=1,2,…,NULD,k=1,2,…,NPOS

(3)

(4)

(5)

2.1 貨物特有屬性

裝載過重貨物會導致飛機有未使用的空間剩余，導致飛機已經達到了最大負荷，裝載空間沒有得到充分利用。相反，一架飛機攜帶太多的輕貨物會導致重量能力的浪費，雖然貨物的總重量小于飛機的最大負荷，但它的貨物空間已經達到最大容量。航空公司根據(jù)重貨的重量和輕貨的體積收費。當體積重量大于實際重量時，此貨物則為輕泡貨物，取大的重量作為計費重量；對于重貨而言，計費重量等于實際重量，即貨物的毛量；對于輕泡貨物而言，貨物的體積重量就是計費重量。體積單位為立方厘米時，這個常數(shù)是6 000，而快遞公司是5 000；體積單位為立方英尺時，這個常數(shù)是0.211 91，而快遞公司是0.176 5。因此，裝載數(shù)量平衡的重型和輕型貨物可以確保更大的收費重量，增加企業(yè)收入。

同一航班上的重貨密度(毛重)與輕貨密度(體積重量)的比值，稱為DRHLG，該值越高，表示重、輕貨物的密度差越大。相比之下，較低的比值意味著運輸貨物大多是中性的，密度也差不多。設R為飛機的DRHLG，如式(6)所示。其中I表示裝載的貨物類型。將密度大于4.72(1/0.211 9)的貨物定義為重貨(I=1)，否則為輕貨(I=0)，如式(7)所示。

(6)

(7)

由于所有飛機的裝載重量和可用空間都是固定的，所以飛機上裝載的貨物密度越高代表裝載的貨物越重，剩余的未使用的空間越大，浪費的空間越多。同理，裝載在飛機上的貨物密度越低代表裝載的貨物越輕，浪費的飛機可承載重量越多。因此，為了充分利用飛機的載重量和容積，需要將待裝貨物進行組合優(yōu)化。將最優(yōu)載荷密度D定義為飛機的可裝載重量與可承載體積的比值，如式(8)所示。其中G為飛機的最大有效載荷，V為飛機的最大可載荷體積。

(8)

2.2 貨物裝箱約束

由于ULD類型因飛機類型而異，為了確定要使用的托盤、集裝箱及其組合的最佳數(shù)量，配載人員按照飛機制造商提供的預計數(shù)據(jù)、貨物類型和裝載手冊，根據(jù)飛機類型組合ULDs。飛機所載貨物的總重量和體積不應超過所有ULDs的總載重量和體積。為了簡化模型，本文假設所有的ULDs為同一型號的集裝箱。所有的待裝貨物至多只能裝入一個ULD中，因此，裝入同一個ULD的組合貨物的總重量和整體尺寸(總長、總寬和總高)必須要小于等于該ULD的可承載重量和最大容積，如式(9)-式(10)所示。

(9)

(10)

由于某些待裝貨物的尺寸較大需要使用超大ULDs，該超大尺寸的ULD不能放置在一個艙位上。在此情況下，幾個艙位或部分艙位被精確地組合起來形成更大的位置。為了將這些特定的ULD引入本文的模型中，將每個較大的ULD分成k′個較小的ULDs。但是，需要確保模型將較大ULD的k′個部分分配到相鄰的位置。然而，不同配置的艙位在空間上可能重疊，禁止將ULDs分配到重疊的艙位。因此，式(11)確保較大ULD的正確分配，yjk和yjk′分別表示集裝箱j置于貨艙k和k′位置。

(11)

2.3 重量及重心限制

設計裝載計劃的主要前提是飛機可以安全地起飛、巡航和著陸，因此，建立模型時需要考慮重心的限制。飛機供應商提供的重心MAC公式如式(12)所示，其中LEMAC表示機翼到基準邊BA的長度。但是，在不同的飛行階段也必須考慮飛機的重量。實際上，由于燃油在飛行過程中消耗，油箱中的重量會減少，飛機的重心會發(fā)生變化。操作空重OEW定義為空載飛機的重量，而無燃油重量ZFW等于OEW加上貨物重量。同樣重要的是滑行重量TW，它是通過將燃油重量加到ZFW上獲得的；起飛重量TOW相當于TW減去到達跑道所需的燃油；著陸重量LW等于TOW減去飛行期間消耗的燃油。從TW到LW階段，所有CG計算都必須考慮油箱的形狀和油箱上燃油的分布情況。圖形包絡是制造商根據(jù)CG限制并使用圖形表示法定義的，它定義了ZFW、TW、TOW和LW的飛機重量和重心的限制。

(12)

無燃油重即零燃油重量(ZFW)是影響飛機穩(wěn)定性的一個重要因素，aZFW表示無燃油時的重量，AOEW表示操作空重(飛機和機組人員)如式(13)所示。類似地，飛機在ZFW時的旋轉力矩mZEW(w.r.t參考基準)如式(14)所示。BAk表示貨艙k的力臂，BAOEW表示飛機在OEW的力臂。

(13)

(14)

目標位置的重心(CGOPT)和裝載飛機的重心之間的偏差如式(15)所示。mlongd+≥0和mlongd-≥0表示旋轉力矩與目標重心值的縱向正負偏差。類似地，橫向重心與飛機中心線之間的偏差如式(16)所示。mlatd+≥0和mlatd-≥0表示旋轉力矩與目標重心值的橫向正負偏差。

BAOPT×aZFW=mZFW+mlongd+-mlongd-

(15)

(16)

用燃油體積和消耗量的估算力矩，飛機在TW、TOW和LOW的重量和轉動力矩分別用式(17)和(18)表示。NFUEL表示油箱的數(shù)量，F(xiàn)Wt,w和FBAt,w表示估計的重量和平衡臂。在重量為w時，油箱t與其中一個參考重量相對應。

(17)

(18)

飛機的重量和CG在重量為w時，受到飛機的最大重量maxWw、縱向重心CGw、最小值minCGw和最大值maxCGw的限制，如式(19)-(20)所示。

aw≤MaxWw;?w∈{ZFW,TW,TOW,LW}

(19)

MinCGwaw≤mw≤MaxCGwaw;?w∈{ZFW,TW,TOW,LW}

(20)

目標重心位置通常用飛機平均氣動弦(MAC)的百分比表示，如式(21)所示。MAC是氣流方向上前緣與后緣的平均距離由翼型決定。對于A330，重心從基準位置(28%)移到靠近尾部的重心(37%)可以使每千克燃油的空中航跡增加0.5%，通過移動重心位置節(jié)省燃油。同理，確定某機型飛機的重心位置與節(jié)省燃油之間的關系，以及在這個最佳重心位置下給定行程所需的絕對燃油量，就可以測定出重心向前移動1%時所必須添加的燃油量。各限制油量如式(22)所示。

(21)

(22)

2.4 結構性限制

在飛機手冊中，制造商定義了確保機身結構完整性的約束條件，具體到每個艙位(僅限于某些特殊的ULDs)或者每個區(qū)域。對于艙位的最大載荷，考慮了兩種不同的情況：規(guī)則艙位和散貨艙位。常規(guī)艙位可以簡單地排除所有過重的ULDs。其中，MaxWk為艙位k上的最大值，整組艙位中的重量和超重量子集分別表示Bulk和Multiweight艙位。對于散貨位置，分配到該位置的所有貨物的總重量應低于最大負荷；分別如式(23)和式(24)所示。

Wjyjk≤MaxWk;?j=1,2,…,NULD；?k=1,2,…,N；pos,k不屬于散貨箱和大型貨物

(23)

(24)

其他結構約束是在飛機底板的某些區(qū)域上的限制，考慮了四種情況。

累積載荷約束NCLC規(guī)定某一特定區(qū)域的總累積載荷必須小于某一閾值，該閾值可以是飛機ZFW的線性函數(shù)，用Ck和Dk表示線性函數(shù)的系數(shù)，如式(25)所示。

(25)

最簡單的情況：Ck為0，Dk為該區(qū)域的最大累積荷載。線性載荷約束是相似的，但它們規(guī)定了特定區(qū)域內每英寸(沿縱軸)的總載荷必須低于某個閾值，這可能是飛機ZFW的函數(shù)。這類約束可以再次建模為累積負載約束：通過將ULD的重量除以艙位的縱向尺寸，得到艙位每英寸的載荷。注意，本文假設裝載統(tǒng)一的ULD。在考慮區(qū)域的縱向邊界下，對艙位進行排序，并對面積較小的區(qū)域邊界進行分割。艙位累積負荷約束NLLC如式(26)所示。用Lj表示艙位j的縱向尺寸。

(26)

底板荷載約束NFLC定義了特定面積k上每平方英寸的表面荷載必須低于某個最大閾值FLk。用Sk表示位置k的表面積，如式(27)所示。

(27)

同時，一組特殊的約束包括反平衡約束NCBC，它規(guī)定某一特定區(qū)域k的負荷必須超過某一最小閾值Wk，如式(28)所示。

(28)

最后，將橫向相鄰的艙位定義了非對稱載荷約束NULC。此約束表示中心線左側艙位上的負載與中心線右側負載之間的差值不應超過某個閾值。其中，最大載荷差為Max Deltak，如式(29)所示。

MaxDeltak,?k=1,2,…,NULC

(29)

2.5 目標函數(shù)

本文根據(jù)貨物和集裝箱的特性及貨機的結構和安全性質，考慮重量和重心問題，分成四大部分分別建立了相應的約束條件。為了在安全裝載運輸?shù)那闆r下，使貨運航空收益最大，建立了雙目標函數(shù)，如式(30)所示。其中，Cw和Cv分別為重物和輕物的收益系數(shù)，均大于0。模型中的第二個目標O2是最小化重心的縱向和橫向偏差，用以減少油耗，提高穩(wěn)定性。K1>K2表示縱向重心比橫向重心的重要性高，K1和K2的值足夠大，因此優(yōu)先考慮貨物總收益。

(30)

3 案例分析

以某航空公司運營的B747-400F全貨機為例，總共有133批待裝貨物，該批貨物的總毛重和總體積量分別為219 470公斤和42 786立方英尺。

3.1 DRHLG的影響

假設ULDs的體積和重量使用均接近100%，我們使用133批貨物中的一部分進行組合裝載，得到6種重貨與輕貨的不同密度比(如表3)。結果表明，飛機上裝載的DRHLG越大，其可裝載重量越大。這是因為運費是根據(jù)重貨的毛重和輕貨的體積計算的，而這兩種貨物的重量和體積是相互制衡的。情況5和6表明，當DRHLG達到一定水平時，貨物計費重量增加的幅度逐漸趨于穩(wěn)定。從情況1到情況6，計費重量增長了17.1%，這意味著航空公司可以通過裝載較多的重貨物來增加計費重量，進而增加運輸收益。

表3 重貨與輕貨的不同密度比

注：GW表示毛重，VW表示體積重量，CW表示計費重量；單位：kg。a和b分別代表重貨和輕貨。

3.2 貨物密度的影響

為了分析貨物組合類型對空運收費權重的影響，我們使用DRHLG分別為3.0、2.5和2.0的航班來研究收費權重如何隨著貨物密度的變化而變化。表4的結果表明，三種DRHLG的收費權重同時增加，當裝載密度為5.2時計費重量達到最大值(情況4)，當密度超過上述值時，收費權重開始隨著密度的增加而下降。這是因為飛機上裝載的貨物密度低于最優(yōu)密度，意味著飛機裝載的貨物更輕，導致浪費的可承載重量更大，雖然有未使用的裝載重量剩余，但是它的可裝載空間已被使用。相比之下，飛機上裝載的貨物密度高于最優(yōu)密度時，飛機承載的貨物更重，雖然飛機已經達到了最大可裝載重量，但由于有未使用空間導致空間浪費。

表4 收費權重與貨物密度關系

圖1表示在不同裝載密度下三種DRHLG與可承載重量的關系。該圖顯示，在貨物密度相同的情況下，若比率較高，則計價重量較大。DRHLG為3.0時，比2.5和2.0時的承載重量更大。這就意味著航空公司在貨物組裝時應該同時考慮DRHLG和最優(yōu)裝載密度，從而最大限度地提高收費重量。然而，航空公司收取的實際費率可能因市場情況而異，因此可能與國際航空運輸協(xié)會公布的費率有所不同。

圖1 DRHLG與可承載重量的關系

3.3 重心偏移的影響

模型在Matlab中實現(xiàn)，并進行求解。在表格5中，將模型得到的縱向重心和橫向重心偏差與人工配平的結果進行比較，結果顯示，平均重心偏移超過4%MAC到目標值30%MAC。通過該模型得到的縱向CG值總是容易被忽略，接近最優(yōu)縱向重心目標值，從而降低油耗。

表5 B747-400F縱向BA和橫向BA偏差

橫向重心的偏移表示橫向載荷不平衡，是飛機左右兩側載荷之間的差異造成的?？紤]到艙位的橫向BA通常較小，因此本研究認為此方法更有效。該研究結果同樣表明，橫向不平衡高達89%，得到了極大改善。盡管這種改進對節(jié)油是有限的，但是可以使油箱內燃油的分配靈活性更大，穩(wěn)定性更高。

4 結論

本文聚焦航空貨物運輸中出現(xiàn)的雙目標裝載平衡問題，通過對現(xiàn)有研究的梳理，建立本研究模型。該模型的主要目標是最大限度地提高運輸貨物的利潤，并將飛機重心偏離目標值的偏差降至最低，從而提高穩(wěn)定性并降低燃油消耗。以某航空公司貨機及待裝貨物單為基礎，對實驗的計算結果進行檢驗。本文的研究結論總結如下。

第一，在充分利用可裝載空間和有效載荷的條件下，可裝載重量隨著DRHLG的增加而增加，當DRHLG達到一定水平時，這些重量增加的程度趨于穩(wěn)定。這表明，航空公司可以在同一航班上接受密度較大的重型貨物和密度較小的輕型貨物的貨物組合，以增加收費重量和收益。

第二，當裝載在航班上的平均貨物密度接近該航班的最佳裝載密度時，收費重量會增加。因此，航空公司應該控制平均貨物密度，使它接近最優(yōu)裝載密度，同時通過增加DRHLG，以增加空間和重量的使用率，最大化收入。

第三，因為貨物及其位置對飛機的穩(wěn)定性、機動性和油耗都有很大的影響。該模型簡化了大多數(shù)與實際相關的裝載約束，允許在無人工干預或修正的情況下使用，縱向重心得到了極大的改善，使飛機與目標重心的平均偏差比平均氣動弦減小了4%以上。

本文提出的模型能夠在不違反任何安全、穩(wěn)定和結構完整性約束的情況下，總是能夠裝載盡可能多的貨物，這種改進導致運輸相同貨物的油耗大大減少，從而增加了飛機的利潤。航空公司還可以通過參考最優(yōu)裝載密度來確定不同密度的貨物百分比，從而增加運輸總收入。