周冬梅 尹承利

計數(shù)原理與概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考命題的重點和熱點，這部分內(nèi)容通常以實際應(yīng)用問題為背景，考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，也是培養(yǎng)學(xué)生從“解題”到“解決問題”能力的良好載體，本文試圖從5個視角進(jìn)行全方位透視，供教師指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)備考時參考。

1命題趨勢

1.1高考對計數(shù)原理的考查主要有兩個方面：

（1）以選擇、填空題為主，重在考查利用計數(shù)原理、排列組合知識解決實際問題的邏輯思維能力，并結(jié)合排列、組合數(shù)及概率的求法形成能力型題目。

（2）以選擇、填空題形式考查二項展開式的特定項、二項展開式中項的系數(shù)及二項式系數(shù)、賦值法等并延伸一些計算、證明等問題，如二項式定理與不等式證明結(jié)合、楊輝三角的研究等，題目難度不大但具有一定的靈活性，考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

1.2概率與實際問題的聯(lián)系非常密切，是歷年高考的一大考點，高考對這部分內(nèi)容的考查形式與特點主要是：

（1）以選擇、填空題的形式主要考查分布列的性質(zhì)及應(yīng)用、古典概型、幾何概型、互斥事件的概率、條件概率、相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗概率的計算及正態(tài)分布。

（2）解答題中以應(yīng)用問題的面目考查概率的計算，進(jìn)而利用概率得到離散型隨機變量及其分布列以及求均值和方差，這是高考命題的重點，幾乎每份試卷中都有一道這樣的題目，并常與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等知識交匯，以考查分析和解決問題的能力。

（3）把高考內(nèi)容與國家經(jīng)濟社會發(fā)展、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步、生產(chǎn)生活緊密結(jié)合，通過設(shè)置真實問題情境考查學(xué)生靈活運用所學(xué)知識分析、解決實際問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”走向“解決問題”，是高考命題的一大趨勢，概率應(yīng)用問題承載著這一重要“使命”，且難度有增加的趨勢，在高考命題中，概率應(yīng)用題部分還將數(shù)據(jù)準(zhǔn)備階段的步驟減少，給考生呈現(xiàn)比較規(guī)范的數(shù)據(jù)格式或數(shù)據(jù)的回歸模型，采取“重心后移”的策略，把考查的重點后移到對數(shù)據(jù)的分析、理解、找規(guī)律，減少復(fù)雜的運算，突出對數(shù)學(xué)思想方法的理解和運用能力的考查。

2方法規(guī)律

2.1計數(shù)原理

（1）對于一些復(fù)雜的計數(shù)問題，常借助列表、畫圖的方法來幫助分析。

（2）解排列組合應(yīng)用問題有如下策略和方法：

對于無限制條件的問題——直接法：

對于有限制條件的問題：直接法、簡介法

具體主要有以下題型和方法：

①優(yōu)先排列問題：當(dāng)排列中有特殊元素或特殊位置時，采用“優(yōu)先安排”的策略，以元素為主時，先滿足特殊元素的要求：以位置為主時，先滿足特殊位置的要求。

②相鄰排列計算問題：對于含有某幾個元素相鄰的排列問題，可先將相鄰元素“捆綁”起來視為一個元素，與其他元素一起進(jìn)行全排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行全排列，這就是處理相鄰問題的“捆綁法”。

③互不相鄰排列計算問題：對于含有某幾個元素互不相鄰的排列問題，可先將其他元素排成一排，然后將不相鄰的元素插入到這些排好元素之間及兩端的空隙中，這就是解決互不相鄰問題的最為奏效的“插空法”。

④排列、組合混合計算問題：對于排列、組合混合應(yīng)用問題，常采用“先取后排”的策略求解。

⑤分組分配問題：無次序分組問題常有“均勻分組、部分均勻分組、非均勻分組”三種類型，計數(shù)時常用下面結(jié)論：對于其中的“均勻分組”和“部分均勻分組”問題，只需按“非均勻分組”列式后，再除以均勻分組數(shù)的全排列數(shù)。

（3）解決二項式有關(guān)問題的方法有：

①求二項展開式中的特定項，一般用通項公式、待定系數(shù)法。

②求解二項展開式系數(shù)和等問題，一般用賦值法。

③證明某些組合恒等式（或求和問題）常用構(gòu)造法，構(gòu)造一個生成相應(yīng)二項式系數(shù)的函數(shù)或構(gòu)造同一問題的不同解法，通過研究函數(shù)關(guān)系或變更命題來解決。

④證明不等式，通過二項式展開，根據(jù)命題形式對展開式中的若干項進(jìn)行放縮。

⑤證明整除問題或求余數(shù)，應(yīng)先構(gòu)造二項式后再展開研究。

2.2概率

（1）計算概率的常用方法：

①直接法：利用等可能事件的概率公式，

②問接法：在求解“至少”、“至多”等事件的概率問題時，若直接求解比較困難時，可以通過求這些事件的對立事件的概率來求解。

③方程思想：當(dāng)問題給出的是隨機事件概率之間的關(guān)系時，可將概率看作未知數(shù)建立方程（組）求解。

④分類求解：當(dāng)概率問題中出現(xiàn)多種不同的情形時，可對所求概率的不同情形進(jìn)行分類，最后由互斥事件概率和的公式求得結(jié)果。

（2）求隨機變量概率分布列、均值及方差的方法：

①對于一般的分布，根據(jù)定義求離散型隨機變量的均值和方差，其步驟是：1^o確定離散型隨機變量的取值;2^o寫出分布列，并檢查分布列正確與否;3^o求出均值與方差，

②若隨機變量服從特殊的分布，如兩點分布、二項分布，如果經(jīng)過分析，題中的隨機變量服從以上分布，那么我們只需直接代入公式求其均值、方差即可。

（3）對于正態(tài)分布問題，一般是數(shù)形結(jié)合，利用正態(tài)曲線的性質(zhì)（尤其是對稱性）來求解。

3考點剖析

3.1計數(shù)原理與排列、組合

由于計數(shù)原理與排列、組合的應(yīng)用性概念強、并充滿思辨性和解法多樣性，易于考查考生的能力，所以以實際應(yīng)用為背景考查兩個原理、排列、組合或它們的綜合題，是高考命題的重點，主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，也可與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中。

例1某校暑假舉行“義教活動”，現(xiàn)從6名老師中選派4人分別參加8月9日至8月12日四天的義教值班，若其中甲、乙兩名老師不能參加8月12日的值班，則選派方案共有（）種。

A，336 B，408 C，264 D，240

解析由題意知甲、乙兩名老師不能參加8月12日的值班，可以分不選甲乙，同時選甲乙，或選甲乙中的一個。

第一類：不選甲乙時，有A⁴4=24種;

第二類：同時選甲乙時，甲乙只能從其余三天選兩天，剩下的2天再從剩下的4人選2人即可，有A3²A4²=72種;

第三類，選甲乙中的一個時，甲或乙只能從其余三天選1天，剩下的3天再從剩下的4人選3人即可，有2A3¹A4³=144種，

根據(jù)分類計數(shù)原理得，24+72+144=240.所以D選項是正確的。

一題多解：先排12號，有4種選擇，前三天從5位老師中任選3人排列即可得C4¹A5³=4×5×4×3=240.

點評本題考查兩個原理與排列組合的綜合應(yīng)用，考查邏輯推理、運算能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查抽象概括能力、運算求解能力。

例2將2020年師大畢業(yè)的5名大學(xué)生安排到某中學(xué)高一的1、2、3班實習(xí)，每個班至少安排1名大學(xué)生，其中甲大學(xué)生不能安排到l班，則不同的安排方案種數(shù)是（）。

A7R R100 C112 D120

點評本題考查計數(shù)原理與排列、組合的實際應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，考查應(yīng)用意識。

分組問題有完全非均勻分組、完全均勻分組和部分均勻分組三種，完全非均勻分組無需考慮有重復(fù)現(xiàn)象，利用組合知識分步求解，完全均勻分組，每組的元素個數(shù)都相等，部分均勻分組，部分組的元素個數(shù)相等，對于均勻分組（包括完全均勻分組和部分均勻分組）問題，求解時應(yīng)注意不要出現(xiàn)重復(fù)，一般地，n個不同元素分成m組，若每組內(nèi)元素個數(shù)相等的有k組，那么分組方法數(shù)為：取法數(shù)除以Ak^k

3.2二項式定理

二項式定理基本上是每年必考內(nèi)容，但屬于容易題，主要以選擇、填空題形式考查展開式、通項公式、二項式系數(shù)（或項系數(shù)）、賦值法、楊輝三角的應(yīng)用與研究等方面，同時關(guān)注二項式定理與不等式證明結(jié)合、楊輝三角的研究等。

點評本題考查二項式定理求展開式特定項的系數(shù)知識，涉及二項式所有項的系數(shù)和問題，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1。

3.3概率初步

點評

本題結(jié)合組合數(shù)公式考查了列舉法在求解古典概型概率中的應(yīng)用，并體現(xiàn)了概率與集合、橢圓方程的交匯應(yīng)用，

3.4條件概率、相互獨立事件的概率和獨立重復(fù)試驗的概率

條件概率、相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗概率是高考考查的熱點內(nèi)容，在選擇、填空題主要考查概率的計算，在解答題中重點考查相互獨立事件及獨立重復(fù)試驗概率的實際應(yīng)用，條件概率會在選擇題或滲透在解答題的一問中考查，

例6甲、乙兩人做游戲，甲勝一次的概率為0.75.甲連續(xù)勝兩次的概率為0.6.已知第一次甲勝，則第二次甲也勝的概率為（ ）。

A0.8 B0.75 C0.6 D0.45

點評

求事件積的概率必須注意事件的獨立性，運用公式P（AB）=P（A）·P（B）時，一定注意只有當(dāng)A、B相互獨立時，公式才成立，

3.5隨機變量的分布列、均值和方差

隨機變量的分布列、均值和方差與實際問題的聯(lián)系非常密切，是古典概率的重要應(yīng)用，也是歷年高考的重要考點，有關(guān)隨機事件概率的計算是基礎(chǔ)，而求隨機變量的均值和方差，關(guān)鍵是確定其分布列，尤其是超幾何分布、二項分布是考查的重點，

例8

某校高三年級共有1000名學(xué)生，將其按專業(yè)發(fā)展取向分成普理、普文、藝體三類，下圖是這三類的人數(shù)比例示意圖，為開展某項調(diào)查，采用分層抽樣的方法從這1000名學(xué)生中抽取一個容量為10的樣本。

（I）試求出樣本中各個不同專業(yè)取向的人數(shù);

（Ⅱ）在樣本中隨機抽取3人，并用ζ表示這3人中專業(yè)取向為藝體的人數(shù)，試求隨機變量ζ的分布列，

解析（I）由題意，可得該校普理生、普文生、藝體生的人數(shù)比例為2：2：1.所以10人的樣本中普理生、普文生、藝體生的人數(shù)分別為4.4.2.

4易錯警示

4.1計數(shù)原理

（1）在求解排列、組合實際應(yīng)用問題時，若不注意區(qū)分是否與與順序有關(guān)，則容易犯排列、組合混淆的錯誤。

（2）在求解排列、組合混合應(yīng)用題時，若審題分析不到位，容易出現(xiàn)重復(fù)或遺漏的錯誤情形，在解題時應(yīng)當(dāng)注意避免，可用不同的方法求解來獲得檢驗，

（3）二項式定理中含有比較多容易混淆的概念：二項式系數(shù)與系數(shù)、二項式系數(shù)最大與系數(shù)最大、項與項數(shù)、奇數(shù)項與奇次項、偶數(shù)項與偶次項等，以及二項展開式中一些相關(guān)的概念，往往容易出現(xiàn)概念混淆，要理解清楚。

4.2概率

（1）計算概率常出現(xiàn)的錯誤有：①混淆基本概念，比如混淆互斥事件與相互獨立事件、用混其概率公式，弄不清相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗之問的關(guān)系，弄錯條件概率公式和相互獨立事件概率公式的轉(zhuǎn)化關(guān)系等：②用錯排列、組合公式導(dǎo)致計算概率出錯：③弄混“有放回”與“無放回”。

5備考建議

5.1對計數(shù)原理考查和掌握的重點是基本知識和基本方法，在復(fù)習(xí)中首先要根據(jù)課本要求，立足基礎(chǔ)知識與基本方法的復(fù)習(xí)與落實，通過對典型例題的剖析，構(gòu)建思維模式，總結(jié)解題規(guī)律，進(jìn)而提高分析問題和解決問題的能力。

5.2概率（隨機變量及其分布）從內(nèi)容到方法都是較為獨特的，復(fù)習(xí)時，應(yīng)重視對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，注意理解變量的多樣性：要弄清一些基本概念，充分注意一些概念的實際意義：要把握基本題型，如條件概率、相互獨立事件的概率、獨立重復(fù)試驗的概率，求離散型隨機變量分布列、均值、方差，正態(tài)分布等，并注意解題步驟規(guī)范性的訓(xùn)練，特別是概率及隨機變量應(yīng)用題的分析和解答：要理解和運用處理問題的基本思想方法，如數(shù)學(xué)建模思想、整體思想，以不斷提升處理問題的能力。