王國學(xué) 黃浩

點評本題四種解法基本囊括了絕對值不等式的所有解法，其中用零點分段法對自變量進(jìn)行分類討論求解，實際上就是根據(jù)絕對值的代數(shù)意義去掉絕對求解，這是解絕對值不等式也是處理絕對值問題的基本方法，這個方法學(xué)生掌握起來比較容易，但是常常拿不到滿分，主要有兩個方面的原因：第一，在給定區(qū)問內(nèi)去絕對值時容易犯錯誤，部分學(xué)生不能準(zhǔn)確判定絕對值內(nèi)式子的正負(fù)號，教學(xué)中可用特殊值法去定號，第二，在定區(qū)間內(nèi)解不等式，忘記添加前提區(qū)間，建議在教學(xué)中有效利用“大括號”來有意識提醒學(xué)生注意，因為學(xué)生對大括號內(nèi)不等式組的求解要求其交集已有非常強烈的思維意識，用絕對值的幾何意義求解，借助實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系，將代數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為幾何不等式，然后利用幾何直觀動中尋靜以定制動，將不等轉(zhuǎn)化相等然后用相等解決不等從而求出解集，用函數(shù)圖象解不等式方法直觀，是解不等式的基本方法，也是處理絕對值問題的基本方法之一，用等價不等式求解，按部就班操作即可。

1.2證明不等式

點評2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)題也類似，均重點考查閱讀理解能力和化歸轉(zhuǎn)化、分類討論思想，須先根據(jù)自變量的取值范圍確定絕對值內(nèi)的符號去掉絕對值，然后將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解。

2備考建議

近年不等式選講試題有以下命題特點：以考查絕對值不等式的解法、證明為主，與函數(shù)結(jié)合，考查數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想，聚焦邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。

2.1聚焦核心素養(yǎng)，加強數(shù)學(xué)知識整合呼應(yīng)

不等式選講專題的學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)，特別是可以利用該專題的教學(xué)提高學(xué)生的演繹證明能力，因此應(yīng)側(cè)重數(shù)學(xué)證明的觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、合情猜想、符號表示、規(guī)范表述等方面，其次要注意不等式選講專題和先學(xué)內(nèi)容的整合呼應(yīng)，本專題的內(nèi)容很多都可以看做是先前學(xué)習(xí)內(nèi)容的深化或者拓展，例如，在必修5中對一元二次不等式和二元均值不等式及其應(yīng)用已經(jīng)有所接觸，此處只要推廣到三元均值不等式情況：比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法在選修2-2的“推理與證明”中已經(jīng)學(xué)習(xí)，貝努利不等式可以看做數(shù)學(xué)歸納法的一個應(yīng)用：絕對值不等式可以看做是對絕對值意義及其應(yīng)用的拓展：柯西不等式的幾何意義也可以從向量的角度來理解……因此，本專題的復(fù)習(xí)時應(yīng)借助不等式的視角加深對以往所學(xué)知識的理解和認(rèn)識，注重數(shù)學(xué)課程的前后呼應(yīng)和聯(lián)系整合。

2.2揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，注意滲透數(shù)學(xué)思想方法

不等式選講專題具有豐富的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)涵，在實際教學(xué)過程中，應(yīng)該因勢利導(dǎo)，注意滲透：①公理化思想：通過實數(shù)大小關(guān)系的基本事實和相關(guān)關(guān)系作為邏輯前提演繹出不等式的基本性質(zhì)，從而展開專題的一系列內(nèi)容;②數(shù)形結(jié)合思想：這一點在教材中都有詳細(xì)體現(xiàn)，不再贅述;③數(shù)學(xué)建模和模型思想：從小的方面來說，把一些實際問題以數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為不等式的極值、優(yōu)化方面問題進(jìn)行求解就是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模和模型思想;從大的方面來說，經(jīng)典不等式、不等式的知識乃至數(shù)學(xué)本身都是一種模型：④數(shù)學(xué)美學(xué)思想：許多常用經(jīng)典不等式如柯西不等式、平均不等式、排序不等式等不僅富有簡潔、優(yōu)美、對稱的特點，而且功能強大，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象和應(yīng)用廣泛的美學(xué)思想：⑤函數(shù)方程的思想：把函數(shù)、方程和不等式的相關(guān)知識綜合起來，通過函數(shù)、方程的觀點來處理不等式問題：⑥分類討論的思想：這一點在絕對值不等式的求解方面尤為突出：⑦滲透不等式的德育價值，不等式中的許多問題具有相當(dāng)?shù)碾y度，思維上的挑戰(zhàn)很大，對于培養(yǎng)學(xué)生堅韌、理性的數(shù)學(xué)精神和形成批判性的思維習(xí)慣不無裨益。

作者簡介王國學(xué)，男，湖北十堰人，中學(xué)高級教師，研究方向為中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)，在數(shù)學(xué)專業(yè)期刊公開發(fā)表論文數(shù)十篇。

黃浩（1989），男，河南信陽人，中學(xué)二級教師，研究方向為數(shù)學(xué)教學(xué)論方向。