譚艷霞 陳秋月

【摘要】近年來(lái)，最值問(wèn)題成為中考熱點(diǎn)之一，時(shí)常出現(xiàn)在壓軸題中.本文主要借助“將軍飲馬”模型，“化折為直”的轉(zhuǎn)化思想，解決在不同幾何圖形中線段和的最值問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】將軍飲馬;三點(diǎn)共線;最值

古希臘一位將軍騎馬要從A地出發(fā)到河邊讓馬飲水，然后再去同側(cè)的B地.怎樣選擇馬飲水的位置C，才能使馬走得路程最短呢？最短路程是多少？如圖1所示.

做法：1.選擇其中一個(gè)定點(diǎn)如點(diǎn)A，作點(diǎn)A與動(dòng)點(diǎn)C所在直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′.

2.連接對(duì)稱點(diǎn)A′與另一個(gè)定點(diǎn)B，與直線l的交點(diǎn)即為要求的點(diǎn)C.

3.所連線段的長(zhǎng)A′B即為所求的線段和的最小值.

“將軍飲馬”利用“軸對(duì)稱”的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)化折線為直線，實(shí)質(zhì)是當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩線段和取得最小值.攻略是先找線再找點(diǎn)，即關(guān)鍵抓住兩點(diǎn)：確定動(dòng)點(diǎn)所在的直線，確定兩個(gè)定點(diǎn).掌握了這個(gè)知識(shí)點(diǎn)后，我們就來(lái)大展身手吧.

一、與三角形相結(jié)合的試題

如圖所示，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BD上一動(dòng)點(diǎn)，求PE+PC的最小值.

分析 求線段和最小值，想到“將軍飲馬”模型.要解決這個(gè)問(wèn)題，首先要確定什么呢？?jī)蓚€(gè)確定：

（1）確定動(dòng)點(diǎn)所在的直線（即為對(duì)稱軸），由P為BD上一動(dòng)點(diǎn)，確定直線： BD ;

（2）確定兩定點(diǎn)：由PE+PC及題意可知，兩定點(diǎn)： 點(diǎn)E和點(diǎn)C .

3.確定直線和定點(diǎn)后，其做法為：① 做其中一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，② 連接另一個(gè)定點(diǎn)，③ 與對(duì)稱軸交于一點(diǎn)即為所求點(diǎn).

解 ① 做對(duì)稱點(diǎn)：∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，

∴BD⊥AC，AD=DC，即點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A.

② 連接AE.

③ 與線BD交于一點(diǎn)P，此時(shí)線段AE的長(zhǎng)即為PE+PC最小值，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，EC=4.

∵AE2=AC2-EC2，∴AE=43，

故PE+PC的最小值是43.

二、與四邊形相結(jié)合的試題

如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，求這個(gè)最小值.

分析 求線段和最小值，兩個(gè)確定：

（1）確定動(dòng)點(diǎn)所在的線（即為對(duì)稱軸），在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，確定線： AC ;

（2）確定兩定點(diǎn)：由PD+PE及題意可知，兩定點(diǎn)： 點(diǎn)D和點(diǎn)E .

解 由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，即過(guò)點(diǎn)D作關(guān)于線AC的對(duì)稱點(diǎn)為B，連接BE，與AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小.

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，

∴AB=2.

又∵△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=2，∴所求最小值為2.

三、與一次函數(shù)相結(jié)合的試題

一次函數(shù)y=kx+b的圖像與x，y軸分別交于點(diǎn)A（2，0）、B（0，4）.

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA，AB的中點(diǎn)分別為C，D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

分析 求線段和最小值，兩個(gè)確定：

（1）確定動(dòng)點(diǎn)所在的線（即為對(duì)稱軸），P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，確定線： OB ;

（2）確定兩定點(diǎn)：PC+PD的最小值可知，兩定點(diǎn)： 點(diǎn)C和點(diǎn)D .

解 設(shè)點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接C′D交OB于P′，連接P′C，則PC=PC′，

∴PC+PD=PC′+PD=C′D，

即PC+PD的最小值是C′D.

連接CD，在Rt△DCC′中

CD=CC2+CD2=22，

即PC′+PD的最小值為22.

∵OA，AB的中點(diǎn)分別為C，D，

∴CD是△OBA的中位線，

∴OP∥CD，CD=12，OB=2.

∵C′O=OC，∴OP是△C′CD的中位線，

∴OP=12，CD=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）.

四、四邊形與一次函數(shù)綜合的試題

已知函數(shù)y=-43x+8與x軸和y軸分別交于D，C兩點(diǎn)，長(zhǎng)方形OCAB在第一象限，點(diǎn)E在AB上，沿CE折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合.

（1）求直線CE的解析式;

（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PC+PE的和最小，并求P點(diǎn)坐標(biāo).

分析 （2）中求線段和最小值，兩個(gè)確定：

① 確定動(dòng)點(diǎn)所在的線（即為對(duì)稱軸），在x軸上找一點(diǎn)P，確定線： x軸 ;

② 確定兩定點(diǎn)：由PC+PE及題意可知，兩定點(diǎn)： 點(diǎn)C和點(diǎn)E .

解 （1）當(dāng)x=0時(shí)，y=8，當(dāng)y=0時(shí)，x=6，

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0），

則OC=8，OD=6，

由勾股定理得CD=OC2+OD2=10

由翻折變換的性質(zhì)可知，AC=CD=10，BD=OB-OD=4，

設(shè)BE=x，則DE=AE=8-x，

由勾股定理得DE2=BD2+BE2，

即（8-x）2=42+x2，

解得x=3，

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3），

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b（k≠0），

則10k+b=3，b=8，

解得k=-12，b=8，

故直線CE的解析式為

y=-12x+8.

（2）∵點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′，

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（0，-8），

連接EC′，交x軸于P，則PC+PE的和最小，

設(shè)直線EC′的解析式為y=ax+c，

則10a+c=3，c=-8， 解得a=1011，c=-8，

直EC′的解析式為y=1011x-8，

y=1110x-8與x軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)8011，0.

對(duì)于線段和求最小值的問(wèn)題，無(wú)論題目是鑲嵌在哪個(gè)幾何圖形中，是簡(jiǎn)單還是復(fù)雜，只要確定兩點(diǎn)：線與兩定點(diǎn).則其余的問(wèn)題都可迎刃而解.

依托“將軍飲馬”模型，更換研究的背景，如三角形、四邊形、函數(shù)及其綜合，使學(xué)生領(lǐng)悟不變的是本質(zhì)：三點(diǎn)共線時(shí)取最值，變化的只是形式.解決問(wèn)題所采的方法就是化折為直，通過(guò)軸對(duì)稱的性質(zhì)，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題.當(dāng)我們遇到新的問(wèn)題時(shí)，我們就要想到怎樣把它轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的問(wèn)題.