王神華 邱 琳

(1.福建省寧德第一中學(xué) 352100，2.福建寧德市民族中學(xué) 355000)

無論是從數(shù)學(xué)知識的本身形態(tài)，還是從數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展來看，簡約與自然是數(shù)學(xué)的兩個重要特征，由此數(shù)學(xué)教學(xué)須遵循簡約自然原則.但新課程改革實施以來，由于受到功利性教育的影響以及社會“跟風(fēng)”現(xiàn)象日益嚴(yán)重，很多教師熱衷于課堂的繁華與花哨，忽略了數(shù)學(xué)及其教學(xué)過程的簡約性和自然性，導(dǎo)致課堂教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)素材、教學(xué)環(huán)節(jié)繁且亂，知識呈現(xiàn)、問題產(chǎn)生、方法形成不自然，與簡約、自然的課堂漸行漸遠，嚴(yán)重影響了課堂教學(xué)效率.從有利于數(shù)學(xué)教育教學(xué)長遠發(fā)展的角度，我們呼喚數(shù)學(xué)課堂回歸簡約自然本色.基于這一原因，筆者以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書(人教A版)為載體進行了多次簡約自然理念下的教學(xué)嘗試，本文展現(xiàn)的是“直線的傾斜角與斜率”的教學(xué)過程，愿能引起廣大讀者的思考與共鳴.

1 簡約自然的教學(xué)理念

前蘇聯(lián)教育家巴班斯基的最優(yōu)化教學(xué)理論中指出：無論是教學(xué)設(shè)計、教學(xué)內(nèi)容的選擇還是教學(xué)策略、教學(xué)評價的實施都把簡約化作為一項重要原則來指導(dǎo)教學(xué).用“簡約”理念來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，就是對教學(xué)中的目標(biāo)確定、素材選擇、環(huán)節(jié)安排等教學(xué)要素的精確把握和經(jīng)濟妙用，使整個課堂教學(xué)過程簡潔、清晰、深刻，不僅表現(xiàn)在形式上簡潔與明了，更能高效地完成教學(xué)任務(wù)、達成教學(xué)目標(biāo).具體表現(xiàn)為教學(xué)目標(biāo)簡明、教學(xué)環(huán)節(jié)簡化、教學(xué)素材簡略、教學(xué)語言簡潔等.

夸美紐斯在《大教學(xué)論》中提出了教育應(yīng)遵循自然規(guī)律的觀點，其含義是指教育要遵循自然秩序和依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.用“自然”理念來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，有如下兩層意思:從數(shù)學(xué)角度看.教學(xué)要合乎數(shù)學(xué)知識本身的邏輯結(jié)構(gòu)與發(fā)展規(guī)律,即數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生、數(shù)學(xué)問題提出與解決是數(shù)學(xué)知識邏輯發(fā)展所自然產(chǎn)生的，或者是學(xué)生在學(xué)習(xí)中能自然感悟到的；從學(xué)生角度看,教學(xué)要合乎他們的認(rèn)知規(guī)律和思維特點，即數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生、數(shù)學(xué)問題提出與解決是基于他們原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),是他們原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的自然發(fā)展與完善.具體表現(xiàn)為知識呈現(xiàn)是自然的、問題產(chǎn)生是自然的、方法形成是自然的、環(huán)節(jié)過渡要自然的等，使學(xué)生在不知不覺中完成了學(xué)習(xí)任務(wù)、養(yǎng)成了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 簡約自然理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析

2.1 從簡約自然的角度分析教材

對于“直線的傾斜角和斜率”(人教A版必修4)的教學(xué)，從教學(xué)目標(biāo)簡明角度看，本節(jié)課的目標(biāo)是理解傾斜角的定義及斜率的定義，領(lǐng)悟直線上任意兩點的坐標(biāo)、直線的傾斜角、直線的斜率三者之間的關(guān)系；從教學(xué)素材簡略的角度看，教材中用“坡度比”引出斜率的定義顯得雜亂且多余，可以不用；從教學(xué)環(huán)節(jié)簡化的角度看，斜率的定義環(huán)節(jié)和已知兩點求直線的斜率環(huán)節(jié)可以整合.從知識呈現(xiàn)自然的角度看，課堂教學(xué)要立足于解決為什么把x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角定義為傾斜角，以及為什么把一條直線的傾斜角α的正切值定義為直線的斜率；從問題產(chǎn)生自然來看，直線上的一個點以及它的傾斜角可以確定一條直線，兩個點也可以確定直線，要探究的問題就是直線上任意兩點的坐標(biāo)與直線的傾斜角α有何關(guān)系；從方法形成自然的角度看，已知直線上的一點和直線的斜率如何畫出直線，自然要轉(zhuǎn)化為用兩點畫直線或一點及傾斜角畫直線.

2.2 傾斜角的定義過程

人教A版必修2第82頁：容易看出，它們的傾斜程度不同，怎樣描述直線的傾斜程度呢？從而提出如下問題.

問題1以x軸為“基準(zhǔn)”，當(dāng)直線l與x軸相交時成四個角，我們用其中的那個角表示直線的傾斜程度比較好呢？

意圖讓學(xué)生從坐標(biāo)軸的“基準(zhǔn)”作用出發(fā)思考問題、做出選擇，初步樹立應(yīng)用坐標(biāo)系解決問題的意識.

活動預(yù)設(shè)學(xué)生可能會聯(lián)想兩條相交直線所成角的概念，用直線l與x軸所成的角(是一個不大于90°的角)表示直線l的傾斜程度.

問題2已知直線過點P(1,0),且與x軸所成的角是45°,請畫出滿足條件的直線.

意圖通過學(xué)生親自操作,體會用直線l與x軸所成的角表示直線的“傾斜程度”是不合適的,至少是不完善的,有改進的空間.

活動預(yù)設(shè)學(xué)生畫圖后發(fā)現(xiàn)滿足條件的直線不唯一.

圖1

圖2

一般地，過一點P與x軸成α(α≠90°)的直線有兩條，在學(xué)生活動基礎(chǔ)上,教師進行啟發(fā)性講解：坐標(biāo)系是由原點重合的兩條相互垂直的數(shù)軸構(gòu)成的，數(shù)軸有方向,所以在上述選擇時要注意發(fā)揮方向的作用.以x軸的正向為基準(zhǔn)作為角的一邊,以直線在x軸上方的部分作為角的另一邊，用角∠XPA表示直線的“傾斜程度”(如圖1).至此，直線的傾斜角的定義呼之欲出.

從傾斜角的定義過程看，知識的呈現(xiàn)是自然的，沒有強加于學(xué)生，而且 “問題提出”、“學(xué)生活動”、“教師講解”等教學(xué)環(huán)節(jié)都能恰到好處地發(fā)揮作用，真正做到目標(biāo)簡明、環(huán)節(jié)簡化，提高了課堂效率.

2.3 斜率的定義過程

人教A版必修2第83頁：如果我們使用“傾斜角”這個概念，那么這里的“坡度比”實際就是“傾斜角α的正切”.我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.為什么用坡度比引出直線斜率的定義，若直線的傾斜角α為鈍角，此時的“坡度比”是不是“傾斜角α的正切”呢？顯得突然不自然、雜亂且多余.從追求簡約自然的課堂教學(xué)的維度來看，可以在探索“直線上任意兩點的坐標(biāo)”與“直線的傾斜角α”關(guān)系的過程中引出斜率的定義.

圖3

意圖從簡單而具體的特例入手，發(fā)現(xiàn)兩種“確定直線的幾何要素”之間有密切聯(lián)系.

活動預(yù)設(shè)學(xué)生結(jié)合平面幾何與初中所學(xué)的三角函數(shù)的有關(guān)知識，得到直線AB、AC、AD的傾斜角分別45°、60°、135°.

問題4由問題3的解決過程可以看出，已知直線上兩點的坐標(biāo)可以確定直線的傾斜角，那么直線上的任意兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)與直線的傾斜角α有何聯(lián)系呢？

意圖將特殊問題一般化，在尋找直線上“任意兩點的坐標(biāo)”與“傾斜角”的數(shù)量關(guān)系的過程中發(fā)現(xiàn)變化中的不變量(tanα)，自然引進斜率的概念,讓學(xué)生經(jīng)歷“從幾何到代數(shù)”的轉(zhuǎn)化過程，體驗從特殊到一般的思想，理解直線斜率的本質(zhì).

問題5已知A(1,0),直線l1、l2、l3都經(jīng)過A點，且斜率分別為1、-1、2，畫出直線l1、l2、l3.

意圖讓學(xué)生再次感悟斜率是聯(lián)系“直線上任意兩點的坐標(biāo)”與“傾斜角α”的橋梁，可將其轉(zhuǎn)化為“直線上的兩點”或“一點和傾斜角”來畫直線.

活動預(yù)設(shè)當(dāng)直線的斜率為1、-1時，學(xué)生依據(jù)斜率公式找出直線上除A點外的其它一點，然后由兩點畫出直線，或由一點及傾斜角畫出直線.但直線的斜率為2時，傾斜角不是特殊角，此時只能通過找點畫直線.

從直線斜率的定義過程來看，問題3、4從知識的聯(lián)系中自然產(chǎn)生，在問題的解決過程中使斜率的定義自然出現(xiàn).同時將教材中“坡度比”略去，把直線斜率的定義過程與探索“直線上任意兩點的坐標(biāo)”與“直線的傾斜角α”關(guān)系的過程融為一體，讓斜率的坐標(biāo)計算公式成為這個過程的一個自然結(jié)果，真正做到教學(xué)素材簡略、教學(xué)環(huán)節(jié)簡化.問題5是教材例題的改編，不僅簡化了教學(xué)的例題環(huán)節(jié)，而且使各環(huán)節(jié)之間過渡自然、方法形成自然.這些都促進了課堂效率的提高.

3 反思與提升

3.1 明確“教什么”

教學(xué)目標(biāo)是一節(jié)課的靈魂與統(tǒng)帥，課堂教學(xué)任務(wù)都是圍繞著教學(xué)目標(biāo)展開的，有些數(shù)學(xué)課堂教學(xué)拖沓冗長，不夠簡約自然，源于教學(xué)目標(biāo)不夠明晰，教學(xué)任務(wù)繁重且目的性不強.簡約自然理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)必須依據(jù)明晰的教學(xué)目標(biāo)安排教學(xué)任務(wù)，即明確“教什么”，首先要認(rèn)真研讀教材及教學(xué)大綱，把握好數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體性和聯(lián)系性，對每一章、每一節(jié)課的內(nèi)容地位要有較深入的分析，明確課程學(xué)習(xí)目標(biāo)、課堂教學(xué)目標(biāo)；然后依據(jù)目標(biāo)科學(xué)合理地安排課堂教學(xué)任務(wù)，同時思考這些教學(xué)任務(wù)能否真正達成教學(xué)目標(biāo)，讓每一個教學(xué)任務(wù)恰到好處、簡約自然.比如“直線的傾斜角和斜率”這節(jié)課，問題1、問題2是為理解傾斜角設(shè)計的，問題3、問題4是為理解斜率設(shè)計的，而問題5讓學(xué)生再次領(lǐng)悟直線斜率、直線上任意兩點的坐標(biāo)、直線的傾斜角三者關(guān)系，教學(xué)任務(wù)的目的性很強，整個教學(xué)過程顯得簡約自然.當(dāng)然一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)有主有次，教師要依據(jù)主要目標(biāo)安排簡明的教學(xué)任務(wù)，切不可主次不分致使教學(xué)任務(wù)雜亂.

3.2 明確“用什么教”

教學(xué)素材是教學(xué)內(nèi)容的載體，課堂教學(xué)不簡約自然，有時是由教學(xué)素材造成的，比如過程性材料過于復(fù)雜、素材與教學(xué)內(nèi)容匹配度不高、例題的設(shè)置繁難，課堂練習(xí)不夠精煉等.簡約自然理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)必須提煉優(yōu)質(zhì)的教學(xué)素材，即明確“用什么教”，要從傳統(tǒng)的“教教材”向“用教材教”轉(zhuǎn)變，依據(jù)教材中的教學(xué)內(nèi)容，提煉簡約、自然、有效的教學(xué)素材，包括引導(dǎo)性材料、教學(xué)情境設(shè)計、問題設(shè)置、例題選擇等，能用一個素材完成教學(xué)任務(wù)的絕不用兩個素材，讓每一個教學(xué)素材都能精準(zhǔn)地服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)任務(wù)；適當(dāng)改造教學(xué)素材，在不改變教學(xué)素材背景的前提下變換其蘊含的內(nèi)容與思想，節(jié)省學(xué)生熟悉素材的時間，做到一“材”多用.比如“直線的傾斜角和斜率”這節(jié)課，用“坡度比”引出“直線的斜率”，顯得突然且雜亂，因此教學(xué)中沒有采用這個素材，轉(zhuǎn)而通過探索“直線上任意兩點的坐標(biāo)”與“直線的傾斜角α”關(guān)系引出斜率的定義.

3.3 明確“怎么教”

課堂教學(xué)由很多教學(xué)環(huán)節(jié)組成，比如知識引入、提出問題、自主探究(或交流討論)、解決問題、歸納反思等，不同的課型有不同的教學(xué)環(huán)節(jié)，課堂教學(xué)的有效實施， 離不開教學(xué)環(huán)節(jié)的合理選取和恰當(dāng)應(yīng)用，繁瑣復(fù)雜的教學(xué)環(huán)節(jié)浪費了課堂教學(xué)時間，直接影響到一節(jié)課的教學(xué)節(jié)奏，與簡約自然的數(shù)學(xué)教學(xué)格格不入.簡約自然理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)，必須綜合考慮教學(xué)任務(wù)、內(nèi)容特點以及學(xué)情，科學(xué)合理地擬定教學(xué)環(huán)節(jié)，讓每一個教學(xué)環(huán)節(jié)都發(fā)揮其價值與功用，即明確“怎么教”.要充分考慮問題提出、學(xué)生思考、師生交流、教師講解等教學(xué)環(huán)節(jié)的實效性，略去低效、無效或重復(fù)的教學(xué)環(huán)節(jié)，甚至對交叉的教學(xué)環(huán)節(jié)進行整合，讓每個教學(xué)環(huán)節(jié)簡約出現(xiàn)、高效使用；要對每個教學(xué)環(huán)節(jié)所花的時間進行合理調(diào)整，真正做到用時簡約得當(dāng)；切實設(shè)計環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)之間的過渡語言，讓環(huán)節(jié)之間的過渡顯得自然，使由多個環(huán)節(jié)組成的課堂成為有機的整體.比如“直線的傾斜角和斜率”這節(jié)課，把斜率定義的教學(xué)環(huán)節(jié)與探究斜率公式的教學(xué)環(huán)節(jié)進行整合，教學(xué)過程簡約自然，節(jié)省課堂教學(xué)時間，提高了課堂教學(xué)效率.

當(dāng)然，“簡約”與“自然”都具有其本真性，而不是人為的“簡約自然”，切不可追求人為的“簡約”而省去一些重要的教學(xué)任務(wù)，舍去一些優(yōu)質(zhì)的教學(xué)素材，略去一些關(guān)鍵的教學(xué)環(huán)節(jié)；也不可追求人為的“自然”而生搬硬套、矯情造作； 更不可過度地追求形式化的“簡約自然”，從而丟失知識本質(zhì)、課堂本真.