陳德燕

(福建省福州第一中學(xué) 350001)

國務(wù)院辦公廳關(guān)于新時代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見(國辦發(fā)〔2019〕29號)在創(chuàng)新教學(xué)組織管理中提出：“積極探索基于情境、問題導(dǎo)向的互動式、啟發(fā)式、探究式、體驗式等課堂教學(xué)，注重加強(qiáng)課題研究、項目設(shè)計、研究性學(xué)習(xí)等跨學(xué)科綜合性教學(xué)，認(rèn)真開展驗證性實驗和探究性實驗教學(xué).”在教學(xué)實踐中，結(jié)合教學(xué)情境與問題導(dǎo)向，通過多樣化的教學(xué)，有效地促進(jìn)學(xué)生思考、探究與體驗，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)是形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，落實育人方式改革要求的關(guān)鍵.如何實現(xiàn)上述要求，筆者以等比數(shù)列的前n項和為載體進(jìn)行了一次教學(xué)設(shè)計與實施的嘗試.

1 問題情境

1.1 實際問題

國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1粒麥粒，第2個格子里放上2粒麥粒，第3個格子里放上4粒麥粒，以此類推，每個格子里放的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.假定千粒麥子的質(zhì)量為40g，據(jù)查，目前世界年度小麥產(chǎn)量約6億噸，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷國王是否能實現(xiàn)他的諾言.(人教A版，必修5，第55頁)

1.2 數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)語言既是數(shù)學(xué)思維的載體，又是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn).斯托利亞爾提出：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”.能否運用恰當(dāng)、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言，進(jìn)行有邏輯地表達(dá)、交流，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低.學(xué)會正確、合理地使用數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項基本而重要的任務(wù)；幫助引導(dǎo)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言表述實際問題也是教學(xué)的基本任務(wù).

師：你能從這個情境中發(fā)現(xiàn)和提出一個數(shù)學(xué)問題嗎？

解決本題需要計算這64個格子里麥粒數(shù)的和，屬于若干個數(shù)的求和與化簡計算問題.學(xué)生經(jīng)過獨立思考，得到如下結(jié)果：

如果設(shè)第1個格子里放的麥粒數(shù)為a1，第2個格子里放的麥粒數(shù)為a2，第3個格子里放的麥粒數(shù)為a3，…，第n個格子里放的麥粒數(shù)為an.則本題需要計算a1+a2+…+a64，這里a1=1=20，a2=21，a3=22，…，a64=263，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，因此，解決問題需要求首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前64項和.

將其抽象、凝練，得到如下問題：已知數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.

也許有些老師會認(rèn)為，這個背景的數(shù)學(xué)含義非常清楚，所以不必那么麻煩地讓學(xué)生去做，只要老師概括一下就可以了.但筆者認(rèn)為，學(xué)生從現(xiàn)實情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力是在平時教學(xué)中，經(jīng)過這樣潛移默化得到培養(yǎng)的.這里的數(shù)學(xué)化過程看上去不難，但也需要通過引入適當(dāng)?shù)姆?，將具體背景抽象化，才能形成一個具有一般意義的問題，這正是學(xué)生比較欠缺的，所以還是讓學(xué)生自己動手完成更好.

2 探究體驗

2.1 問題導(dǎo)向

要求學(xué)生探究的問題必須指向明確，也就是要讓學(xué)生明確探究的對象；同時，還應(yīng)該使學(xué)生明確探究的路徑與方法.在指導(dǎo)學(xué)生探究時，明確探究對象、探究的路徑與方法是探究的關(guān)鍵，根據(jù)問題的特征作一些必要的講解與啟發(fā)是探究得以順利進(jìn)行的基礎(chǔ).

師：求數(shù)列前n項和的目的是希望得到數(shù)列和式的化簡式，對等比數(shù)列而言，希望得到等比數(shù)列和式的化簡式，以便方便地求出任意等比數(shù)列的前n項和.具體而言，就是用等比數(shù)列{an}的首項a1、公比q、及項數(shù)n表示{an}的前n項和Sn.

歸納、猜想、證明是我們研究問題的一種常見研究方法，而觀察問題特征是我們研究的起點.請同學(xué)們從數(shù)列求和的含義，結(jié)合等比數(shù)列項與項之間關(guān)系的特征，探究等比數(shù)列前n項和Sn的表達(dá)式.

2.2 和式探究

探究的目的是為了讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，數(shù)學(xué)方法的形成過程.充分調(diào)動學(xué)生思維的積極性、做好探究過程的交流、提升是關(guān)鍵.“交流”的重點在于展示其探究的思維過程，也就是交流“是怎么想的，為什么這么想”.在學(xué)生探究過程中，根據(jù)探究的進(jìn)展情況，教師可給予適當(dāng)?shù)奶崾?、分析與講解.

生1：取一個特殊的等比數(shù)列1，2，4，8，….計算得到S1=1，S2=3，S3=7，S4=15，我猜想Sn=2n-1.

師：好，請你告訴大家，你取的等比數(shù)列的首項與公比，僅取這一個數(shù)列能夠說明問題嗎？

生1：首項a1=1，公比q=2.只取這一個數(shù)列還不夠.

我又取數(shù)列：1，3，9，27，….計算得到S1=1，S2=4，S3=13，S4=40.猜想Sn是多少，還沒有想好.

師：確實這里Sn的表達(dá)式不容易猜想.如何歸納猜想Sn呢？

觀察是關(guān)鍵.考慮到數(shù)列的公比q=3，Sn應(yīng)該與3n有聯(lián)系，因此，列出下列表格便于我們觀察.

序號12345Sn1413401213n392781243

(這里，既給出了尋找Sn與n關(guān)系式的方法，同時也給出了歸納驗證的策略)

再問：從上述兩個數(shù)列你能發(fā)現(xiàn)規(guī)律嗎？

生1：還不明顯，需要再取一些數(shù)列看看.

師：好.請大家再取一些數(shù)列試試.

師：很好.現(xiàn)在我們通過計算、歸納得到3個特殊等比數(shù)列前n項和Sn的表達(dá)式.由此我們能進(jìn)一步拓展得到一般等比數(shù)列前n項和Sn的表達(dá)式嗎？請同學(xué)們試一試.

師：請說說你是怎么想的.

生3：我把分子、分母分開，分別考慮它們與公比的關(guān)系.發(fā)現(xiàn)，分子為qn-1，分母為q-1.

師：很好，同學(xué)們都很聰明，很嚴(yán)謹(jǐn).能否進(jìn)一步完善一下？

生4：老師，還應(yīng)該考慮q=1的情形.

2.3 邏輯證明

上面僅僅是我們的猜想，猜想是否合理呢？取幾個數(shù)列驗證一下可以嗎？

生4：不行.需要證明.

生5：我是這樣證的：

因為(1+q+q2+…+qn-1)(q-1)=(q+q2+q3+…+qn)-(1+q+q2+…+qn-1)=qn-1，

所以Sn=a1+a2+a3+…+an

=a1(1+q+q2+…+qn-1)

師：很好.請問你是怎樣想的？

大家看看還有沒有其它的證明方法？

生6：因為Sn=a1+a2+a3+…+an，

qSn=a2+a3+…+an+an+1，

所以，兩式相減得(1-q)Sn=a1-an+1.

師：這個辦法好！請問你是如何思考的？

師：很好.這位同學(xué)緊緊抓住了等比數(shù)列的特征.更為可貴的是他能夠從代數(shù)的運算中展開聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)事物的特征，從中發(fā)掘提煉有價值的證明方法，值得我們學(xué)習(xí).他的方法還啟發(fā)我們對某些數(shù)列求和問題，可以利用代數(shù)手段，將多個數(shù)的和的問題轉(zhuǎn)化為簡單的少數(shù)幾個數(shù)的和的問題，或?qū)⒉灰浊蠛偷膯栴}轉(zhuǎn)化為易于求和的問題，從而使問題得以解決.

考慮到在等比數(shù)列中，對任意的正整數(shù)k，均有ak+1=ak·q.

因此，由Sn=a1+a2+a3+…+an，得

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn

=a2+a3+…+an+an+1,

觀察比較兩式特點，發(fā)現(xiàn)大部分項是相同的，因此將其相減，得到，Sn-qSn=a1-an+1，其右式是兩個數(shù)的差，由此通過代數(shù)運算實現(xiàn)化簡和式的目的.

為突出上述策略的特點，可以采用如下方法進(jìn)行具體表達(dá)(恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)方式有助于展示思維過程)：

因為Sn=a1+a2+a3+…+an，

所以qSn=a2+a3+…+an+an+1，

兩式相減，得(1-q)Sn=a1-an+1;

q=1時，Sn=na1.

證法的實質(zhì)是“乘以公比q后，錯位相減，消除差別”.上述就是我們今天要學(xué)習(xí)的等比數(shù)列的前n項和公式(形式上與探究的結(jié)果有差異，但本質(zhì)相同)

(證明的方法是多樣的，由于時間關(guān)系，不作一一交流、展示)

2.4 鞏固拓展

根據(jù)上述探究并證明的公式，可以解決等比數(shù)列的前n項和問題.在使用公式時，應(yīng)認(rèn)清首項a1、公比q以及求和的項數(shù)n.請同學(xué)們課后思考：對于等比數(shù)列的相關(guān)量a1，an，q，n，Sn，已知幾個量就可以確定其他量？

請同學(xué)們接著完成教材56頁例1.

下面，我們再一起分析生6提出的證明方法.

恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)排列，使我們更加清晰地看出生6這種方法與思考方式的特點與優(yōu)勢.

數(shù)學(xué)中一種“好的方法”與“好的思考方式”，它不僅可以解決個別特殊的問題，關(guān)鍵是還能夠解決一類問題，我們通常說的“通性通法”就是指這類方法，同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)力求掌握“好的方法”與“好的思考方式”.

上述這位同學(xué)的方法與思考問題的方式，就是“好的方法”與“好的思考方式”.讓我們一起來看下一個問題，體會一下“好的方法”與“好的思考方式”：

求數(shù)列{an}的前n項和Sn，其中an=(3n+1)×2n.

師：板書講解

因為Sn=4×21+7×22+10×23+…+(3n+1)×2n，

所以 2Sn=4×22+7×23+…+(3n-2)×2n+(3n+1)×2n+1，

兩式相減，得

-Sn=4×21+3×22+3×23+…+3×2n-(3n+1)×2n+1

=-4-(3n-2)×2n+1.

所以Sn=(3n-2)×2n+1+4.

本題的解法展示了形如an=bn·cn(其中{bn}為等差數(shù)列，{cn}為等比數(shù)列)的數(shù)列求和的一般方法.值得注意的是Sn的每一項乘上的是等比數(shù)列{cn}的公比q，差式共有n+1項，中間的n-1項必定成等比數(shù)列，正是由于中間的n-1項成等比數(shù)列，使得我們可以利用今天所學(xué)的知識，解決此類數(shù)列的求和.這樣，通過代數(shù)運算將不易求和的問題轉(zhuǎn)化為可以求和的問題.可見，生6提供的是“好的方法”與“好的思考方式”.

3 歸納小結(jié)

本節(jié)課我們基于對實際問題的分析，抽象出等比數(shù)列求和問題.在探究等比數(shù)列求和公式的過程中，我們經(jīng)歷了：構(gòu)建目標(biāo)、尋找路徑、提出假設(shè)、驗證結(jié)果、證明假設(shè)及結(jié)果的數(shù)學(xué)表達(dá)等6個環(huán)節(jié).上述過程也是我們研究數(shù)學(xué)問題的一般方法.

在學(xué)習(xí)過程中，我們還感受到了“好的方法”與“好的思考方式”.如，“特殊化”思想、“用分析法尋找解決問題的途徑、綜合法表述問題的解決過程”等都是“好的方法”與“好的思考方式”.從生6解決問題的想法中，我們體會到通過觀察、聯(lián)想發(fā)現(xiàn)事物特征并加以提煉可以幫助我們發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)方法，觀察、聯(lián)想、提煉是發(fā)現(xiàn)新方法的途徑之一.對生6提供的思維方式的拓展、延伸解決了等差乘等比型數(shù)列的求和的體驗，為我們解決新問題提供一種思考的方向.

通過對等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)、應(yīng)用我們還體會到數(shù)列求和的本質(zhì)是尋找和式的化簡式，觀察、分析和式的特點是求和的基礎(chǔ)，等差、等比數(shù)列求和是基礎(chǔ)，代數(shù)運算轉(zhuǎn)化是求和的靈魂.同學(xué)們可以進(jìn)一步探究通項為多項式的數(shù)列前n項和的特點.

結(jié)束語

通過對實際情境數(shù)學(xué)化，基于問題導(dǎo)向的探究式、體驗式的數(shù)學(xué)活動，在教師引導(dǎo)學(xué)生如何思考，以及學(xué)生通過對研究問題一般方法的感知、體驗與參與，有效地促進(jìn)了學(xué)生思考，教會了學(xué)生對一般問題的探究方法和思考方式，從而使學(xué)生在積累數(shù)學(xué)思維和實踐經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，達(dá)到育人的目的.