2020年3月號(hào)問題解答

(解答由問題提供人給出)

2531設(shè)兩個(gè)正數(shù)x,y滿足xy=1,求證:

①

(天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟300456)

證明利用條件xy=1及權(quán)方和不等式,可得

即鏈①中第一個(gè)不等式成立.

再證明鏈①中第二個(gè)不等式.

由條件xy=1易知x+y≥2,

那么通分再去分母可得

?(x+y)(10+3x+3y)

≥(x+y+2)(2+3x+3y)

?6+10(x+y)+3(x2+y2)

≥10+8(x+y)+3(x2+y2)

?x+y≥2,

即鏈①中第二個(gè)不等式成立.

最后證明鏈①中第三個(gè)不等式.

即鏈①中第三個(gè)不等式成立，故不等式鏈①成立.

2532如圖，已知梯形ABCD，且△ABC為等腰直角三角形，作PD⊥BD、QD⊥DC且△PDB∽△QDC，PM⊥AD，R為PQ中點(diǎn)，求證：AB∥RM.

(江西師范高等?？茖W(xué)校 王建榮 335000)

證明作AN⊥BC交BC于N，延長(zhǎng)PM交BC于H，連DH，作TD⊥BC交BC于T并延長(zhǎng)交PQ于R′，由∠PDR′=∠DBC,∠R′DQ=∠DCB，

故R′P=QR′，因此R、R′重合，

由PH∥RT?S△MDR=S△PDR，

由P、B、H、D共圓

?∠PBD=∠MHD?△DMH∽△QDC

所以MD=RD?AB∥RM.

2533已知在銳角△ABC中，a2cosBcosC=9bccos2A,求cos3A的取值范圍.

(安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅237005)

解由a2cosBcosC=9bccos2A和正弦定理，

得sin2AcosBcosC=9sinBsinCcos2A,

即tan2A=9tanBtanC.

因?yàn)锳+B+C=π,所以B+C=π-A,

所以tan(B+C)=tan(π-A),

即tanB+tanC=tanAtanBtanC-tanA,

由均值不等式得

設(shè)x=cosA,y=cos3A,

則y=cos3A=4cos3A-3cosA=4x3-3x,

y=4x3-3x單調(diào)遞減，

(浙江臺(tái)州市洪家中學(xué) 鄔天泉318015)

證明我們先證結(jié)論：已知拋物線Γ：y=ax2+bx+c，(a≠0). 單位圓⊙O：x2+y2=1.在拋物線Γ上任取三點(diǎn)A、B、C， 若直線AB、AC均與⊙O相切，則直線BC也與單位圓⊙O相切的充要條件為(a+c)2=b2+1.

設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),其上三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為 (xi,yi)(i=1,2,3).

則直線AB的斜率為kAB=a(x1+x2)+b.

直線AB的方程為

y-y1=[a(x1+x2)+b](x-x1)，

即[a(x1+x2)+b]x-y=ax1x2-c.

直線AB與⊙O相切

? (ax1x2-c)2=1+[a(x1+x2)+b]2；

同理，直線AC與⊙O相切

? (ax1x3-c)2=1+[a(x1+x3)+b]2.

說明x2、x3是關(guān)于t的方程 (ax1t-c)2=1+[a(x1+t)+b]2的兩個(gè)實(shí)根，

當(dāng)|x1|=1時(shí)，直線AB或AC中必有一條為單位圓⊙O的垂直于x軸的切線，此時(shí)B或C中必有一個(gè)無窮遠(yuǎn)點(diǎn).即為題設(shè)的極端情形.

當(dāng)|x1|≠1時(shí)，則

則直線BC與⊙O相切

? (ax2x3-c)2=1+[a(x2+x3)+b]2

? [a(a-b+c)(x1-1)2+b2-(a+c)2+1]·

[a(a+b+c)(x1+1)2+b2-(a+c)2+1]

? (a+c)2=b2+1.

結(jié)論成立.

通過坐標(biāo)變換x=rx′，y=ry′，我們就可得到原結(jié)論.

(河南省南陽師范學(xué)院軟件學(xué)院 李居之 孫文雪473061)

兩邊同除以ab+bc+ca，即得

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

2020年4月號(hào)問題

(來稿請(qǐng)注明出處——編者)

(1)

當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)式中等號(hào)成立.

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467000)

2537若拋物線E:y2=x與圓M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交，探討以下問題：

(1)求過交點(diǎn)的直線圍成的封閉圖形的面積公式S(x),

(2)求面積公式S(x)的最大值，

圖1

(3)如圖1, 當(dāng)四邊形ABCD的面積取最大值時(shí)，求四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)P的坐標(biāo)，并且探討其幾何性.

(安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 趙臨龍 725000)

(河南省方城縣教研室 邵明憲473200)

2539已知⊙O1，⊙O2相交于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P的割線段AB交⊙O1于點(diǎn)A，交⊙O2于點(diǎn)B.兩圓在A，B處的切線交于點(diǎn)S，直線SQ交△O1O2Q的外接圓于另一點(diǎn)T.求證：△O1O2P的外接圓直徑等于線段ST.

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

(四川成都金牛西林巷18號(hào)晨曦?cái)?shù)學(xué)工作室 宿曉陽 610031)