伍春蘭 丁明怡 王 肖

(1.北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 100120；2.北京教育科學(xué)研究院 100036；3.中國人民大學(xué)附屬中學(xué)通州校區(qū) 101100)

邏輯推理是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出的6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一， 也是數(shù)學(xué)學(xué)科一貫崇尚的學(xué)科價值. 通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生“掌握邏輯推理的基本形式”[1]的指標(biāo)易實現(xiàn)，但養(yǎng)成有邏輯地思考問題的習(xí)慣，“形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神”[1]的目標(biāo)難達成，而后者正是邏輯推理素養(yǎng)的主要體現(xiàn).

我們觀點是只有在邏輯推理活動中，才能成就學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng). 下面以“線面垂直”的概念和判定為例，闡述我們在概念和定理教學(xué)中，創(chuàng)建“推知”活動的實踐與思考.

1 “推知”概述

“推知”來源于《墨經(jīng)》中的“說知”. 《墨經(jīng)》對于“知”這一部分的闡釋, 回答了知識論中的3個主要問題：“何者為知”“云何有知”“所知為何”. “云何有知”探討了知識的本源：因“親”“聞”“說”而知[2]. 通過自己的親身經(jīng)驗，由感官的感覺而得來的知識是“親知”；由他人的傳授或閱讀文字等而得來的知識是“聞知”；根據(jù)直接、間接知識經(jīng)驗，由思維據(jù)理推測，不為時空所阻而得來的知識是“說知”. 歷代治墨學(xué)者多將“說知”解讀為由推理、推論、推度、推斷、推明、推測而得之知，簡稱為“推知”[3].

“推知”有“兩義”，一是“推度以自悟”，二是“說明以悟他”[4]. 所謂“推度以自悟”，即求知者利用“推”的形式求知，達到“自悟”. 所謂“說明以悟他”，即在求知者明曉基礎(chǔ)上，使用“推”的手段再令他人明曉[5]. 上述兩點正是“推知”的價值所在，也是我們力主在教師有機引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)學(xué)生“推知”方式學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)概念和定理的理由. 這樣，學(xué)生在已有的直接的“親知”和間接的“聞知”基礎(chǔ)上，通過學(xué)習(xí)共同體(班級、小組)長期合理的“推”的“自悟”和“悟他”，實現(xiàn)人人都能獲得相應(yīng)的知識技能，不同的人用數(shù)學(xué)思維發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力和邏輯推理素養(yǎng)上得到不同的發(fā)展.

2 概念“推知”

2.1 “線面垂直”概念的分析

人民教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修2(A版)》(以下簡稱A版教材)的“線面垂直”定義可以簡述為：直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直[6]. 人民教育出版社《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修2(B版)》(以下簡稱B版教材)的“線面垂直”定義可以概述為：直線與平面內(nèi)過交點的任何直線都垂直[7].

顯然A版教材比B版教材“線面垂直”內(nèi)涵要求嚴(yán)苛，因此用定義判定“線面垂直”更困難；反過來由“線面垂直”定義，A版教材可以直接得到“直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”，B版教材對平面上不過交點的線，需要通過平移到交點得以證明.

雖然各版教材“線面垂直”定義并不統(tǒng)一，但都是“屬加種差”定義方式. 因此，設(shè)計學(xué)生體驗“線面垂直”定義合理性的思維活動時，首先要引導(dǎo)學(xué)生找出鄰近屬概念(線面相交)；其次，引領(lǐng)學(xué)生比較“線面垂直”與“線面相交”的差別即種差; 種差有性質(zhì)種差、原因種差、關(guān)系種差等之別，“線面垂直”的種差(線與面內(nèi)的任意一條直線都垂直—按A版教材)是性質(zhì)種差.

2.2 “線面垂直”概念的“推知”

在現(xiàn)實生活中，學(xué)生對“線面垂直”現(xiàn)象有一定的感性認(rèn)識. 比如，由旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系，直立的人與地面的位置關(guān)系等，學(xué)生很易抽象出“線面垂直”的形象. 在9年級，他們還體驗過利用相似(直角)三角形解決旗桿高度的測量問題. 雖然“線面垂直”定義不難理解，但抽象出數(shù)學(xué)定義的思維歷程，是有教學(xué)價值的，也是學(xué)生困難點. 為此我們設(shè)計了如下4個遞進活動，不僅讓學(xué)生體會定義的合理性，也讓他們經(jīng)歷了形成概念的思維活動.

2.2.1 用線與線(平面上)垂直刻畫“線面垂直”的可能性

回顧直線與平面的位置關(guān)系(線在面內(nèi)；線面相交；線面平行)，學(xué)生易知“線面垂直”是特殊的“線面相交”，也易得“線面垂直”的線與面不斜交. 問題是怎樣刻畫“不斜”？有學(xué)生說“垂直”，也有學(xué)生說“成90度的角”. 教師追問1“如果垂直是指直線和平面垂直，思考又回到起點，那線該和誰垂直？”；教師追問2“成90度的角，角的頂點在哪？角的兩邊又在哪？”

追問促使學(xué)生深度反思，由此“推知”：“線面垂直”可以用線與線(平面上)垂直刻畫.

2.2.2 “線面垂直”的必要性1：線與平面上的線垂直的存在性

學(xué)生舉例說明：直立于地面的旗桿與其在地面上的影子；豎立在桌面上的書，書脊所在直線與各頁面和桌面的交線(圖1)；長方體的高與底面的長、寬……

圖1

學(xué)生實驗感受：一張矩形硬紙片對折，略為張開，然后直立于桌面上(圖2)，折痕PQ所在線與對折后的矩形落在桌面上的線段a、b所在的線.

圖2

圖3

2.2.3 “線面垂直”的必要性2：線與平面上的線垂直的無限性

學(xué)生舉例感受：直立于地面的旗桿與其在地面上隨著太陽移動的影子；矩形門軸所在線與開關(guān)門過程中轉(zhuǎn)動的下底門框所在線……

2.2.4 “線面垂直”的充分性：存在線與無數(shù)條線(平面上)垂直，但線面不垂直

學(xué)生舉反例證明，并實驗操作：斜立在桌面上的直角三角板(一條直角邊a在桌面上，見圖3)，顯然另一條直角邊b和在桌面上與邊a平行的線都垂直，但這條直角邊b所在直線不和桌面垂直.

四個活動后學(xué)生反思，同時給“線面垂直”下定義并完善.

2.3 概念“推知”的反思

2.3.1 了解概念的基本要素，找到“推知”活動的切入點

概念的要素涉及四個方面：名稱，例證，屬性和定義. 例證包括正例和反例，正例有利于確證概念的本質(zhì)屬性，反例有助于剔除概念的非本質(zhì)屬性. 中學(xué)數(shù)學(xué)概念的定義方法主要有原始概念、屬加種差定義法及揭示外延定義法. 屬加種差定義法是最常用的定義方式，鄰近屬概念往往是上位概念，發(fā)現(xiàn)鄰近屬概念就找到了學(xué)習(xí)的起點，而發(fā)現(xiàn)種差的過程，也是“推知”概念的過程.

2.3.2 掌握概念學(xué)習(xí)的基本規(guī)律，在“推知”活動中發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)

概念學(xué)習(xí)的過程包括概念的獲得和概念的運用兩個環(huán)節(jié). 獲得概念有兩種形式，即概念的形成和概念的同化. 按照概念的抽象水平，概念又有具體概念和定義性概念之別. “線面垂直”是具體概念，因此適宜采用概念形成策略，即從例證的辨別出發(fā)，然后逐漸發(fā)現(xiàn)概念的本質(zhì)屬性. 用概念形成方式獲得具體概念，一般要經(jīng)過知覺辨別、假設(shè)、檢驗假設(shè)和概括四個階段. 一般而言，具體概念越復(fù)雜，檢驗和假設(shè)之間的往復(fù)次數(shù)越多. 在這個過程中，越需要從外界尋找更多的正例和反例. 概念形成屬于發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的范疇，它的關(guān)鍵是必須感知到充分的正例和反例，然后加上適當(dāng)?shù)母爬?

3 定理“推知”

給概念下定義后，探尋其判定定理，是數(shù)學(xué)研究的常規(guī). 因此有了“線面垂直”定義，可推知“線面垂直”的判定條件并證明.

3.1 判定定理的合情猜想

3.1.1“線面垂直”結(jié)構(gòu)的推測片段

師：顯然，有了“線面垂直”的定義，證明直線與平面不垂直非常簡單. 怎樣證明？

生齊：舉一個反例.

師：對，在平面上找一條直線，證明直線與平面的這條直線不垂直即可. 但用定義直接證明直線與平面垂直不易，于是尋找便于操作的“線面垂直”的判定條件是數(shù)學(xué)研究的常態(tài)，也是今天我們的任務(wù). 結(jié)合前面學(xué)習(xí)的“線面平行”“面面平行”的判定定理的結(jié)構(gòu)，你能推測出判定“線面垂直”的結(jié)構(gòu)嗎？

生1: “線面平行”判定定理的條件是“線線平行”，結(jié)論是“線面平行”；“面面平行”判定定理的條件是“線面平行”，結(jié)論是“面面平行”；所以我推測“線面垂直”判定定理的條件是“線線垂直”，結(jié)論是“線面垂直”.

生2：其實由剛剛學(xué)習(xí)的“線面垂直”定義，也能推測出判定“線面垂直”的條件可以轉(zhuǎn)化為“線線垂直”，問題是直線要和平面上的多少條直線垂直，才能判定“線面垂直”？

師：同學(xué)們的分析都很到位，推測都揭示了解決立體幾何問題的一個重要的思想方法，前面提到過，還記得嗎？

生齊：立體向平面轉(zhuǎn)化.

師：對，高維—立體向低維—平面轉(zhuǎn)化.

3.1.2“線面垂直”判定條件的猜想片段

師：生2提出了一個好問題，如果“線線垂直”的第一條“線”指的是平面外的“直線”；第二條“線”指的是平面內(nèi)的“直線”，那么平面內(nèi)的直線需要多少條與第一條平面外直線垂直就夠了？平面內(nèi)的這些直線還需要什么條件？提出你的猜想(請不要看書)，并說明猜想的依據(jù).

生3：類比“線面平行”判定定理條件，猜想判斷條件是“直線與平面內(nèi)的一條直線垂直”，但是剛才實驗(斜立在桌面上的直角三角板)，已經(jīng)證明這個猜想是錯誤的.

師：雖然猜想的結(jié)論不對，但類比“線面平行”判定定理，猜想的角度是合理的. 而且生3還通過反例證明了猜想是錯的.

生4：我猜想判斷條件是“直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直”，理由是面面平行的判斷條件就是找到平面內(nèi)的“兩條相交直線”與“另一個平面平行”.

師：很好的聯(lián)想.還能進一步說明猜想的理由嗎？

生4：兩條相交直線確定平面，所以……

師：這個理由讓你的猜想更充分了，還有其他猜想嗎？

生5：我提出一個猜想：“直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直”，猜想依據(jù)是“兩條平行直線確定一個平面” . 但這個判斷條件也是不對的，因為斜立在桌面上的直角三角板……

師：這個猜想也有根有據(jù)，不過生5自舉了反例證明猜想不正確.

3.2 判定定理的演繹證明

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》(2003年)中，線面、面面平行及垂直的判定(必修2)都僅要求通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納得出，相關(guān)證明只作為“空間向量的應(yīng)用”(選修2-1)提出. 所以“線面垂直”判定定理，比如，A版教材通過“折三角形紙片”的活動引入，B版教材由兩條相交直線確定平面原理引出定理，在立體幾何中都沒有證明.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》對線面、面面平行和垂直的關(guān)系的要求與2003版的要求基本一致，在必修主題三課程提出：借助長方體，通過直觀感知，了解空間中線面、平面的平行和垂直的關(guān)系，歸納出判定和性質(zhì)定理[8].

“課程標(biāo)準(zhǔn)”從全局考慮，頂層設(shè)計，對判定定理沒有要求從立體幾何出發(fā)的演繹證明，是可以理解的. 但對于掌握了一定演繹證明的學(xué)生而言，充分利用這一資源開發(fā)為校本課程是值得提倡的.

利用對稱的方法，教材[9]給出“線面垂直”判定定理的詳細(xì)分析(沒有證明)，教材[10]在證明前給出了簡單分析. 文獻[11]考察了20世紀(jì)中葉之前的97種西方立體幾何教科書中的線面垂直判定定理的證明方法，指出：證明的講解對于學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)具有一定的價值.

關(guān)于“線面垂直”判定定理證明的教學(xué)，我們的立場是不僅學(xué)習(xí)定理怎樣證明的，以確認(rèn)定理的正確性，加深對定理的理解，而且關(guān)注定理證明過程中邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展.

3.2.1符號圖形語言的翻譯

為了快捷順暢，不少教師往往直接給出命題的圖形和已知求證. 對學(xué)生前測調(diào)研，統(tǒng)計結(jié)果已表明，缺少文字語言、符號語言與圖形語言互譯訓(xùn)練的學(xué)生，當(dāng)沒有提示，特別是無圖形語言，他們茫然不知所措.

將猜想命題翻譯成符號語言與圖形語言，是強化命題理解的一種手段，也是證明的起點. 因此將命題翻譯成符號語言與圖形語言的任務(wù)交由學(xué)生，教師只要適量點撥即可.

3.2.2利用定義證明的含義

利用定義證明“線面垂直”判定定理，就是要證明與平面α的兩條相交直線m、n垂直的直線l，與平面α的任意一條直線垂直. 有兩個值得學(xué)生思考的問題：(1)怎樣表示平面α的任意一條直線；(2)這條任意直線在什么位置. 問題1旨在讓學(xué)生學(xué)會“(不妨)設(shè)g是平面α內(nèi)的任一直線”的表達，體驗“無中生有”的妙處. 問題2意在讓學(xué)生能根據(jù)已知條件，學(xué)習(xí)恰當(dāng)分類. 因為平移不破壞直線與直線的垂直關(guān)系，所以簡單而有價值的分類就是直線g過或不過直線m、n的交點.

3.2.3對稱方法證明的起意

實踐中，學(xué)生對教材[9]的證明能夠理解，如果僅止于對證明聽得清、看得懂上，那只是完成了知識的傳授和定理的確認(rèn)，定理證明教學(xué)更有意義的是怎樣啟迪學(xué)生找到證明的突破口和路徑，怎樣用數(shù)學(xué)的語言邏輯地清晰表達.

由于直線l的不確定性，平面α內(nèi)直線g的任意性，以及平移不改變直線與直線的垂直關(guān)系，于是分類證明l⊥g的想法應(yīng)運而生. 先證明l、g過m、n交點的特殊位置情形，其它情形通過平移轉(zhuǎn)化.

平面內(nèi)解決兩線的垂直問題，學(xué)生學(xué)過等腰三角形的三線合一定理、線段垂直平分線的逆定理，以及圓周角的推論(直徑上的圓周角)、垂徑定理的推論(平分弦(非直徑)的直徑). 后兩者需要構(gòu)造圓(可不考慮)，而前兩者就是構(gòu)造對稱. 因此喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗，用對稱方法證明l⊥g就成為自然選擇.

3.3 定理“推知”的反思

雖然學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，可以猜想出線面垂直的判定定理，但是由與平面內(nèi)任意一條直線都垂直，到只須與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，巨大反差的結(jié)果令學(xué)生有興趣證明真?zhèn)? 如果此時偃旗息鼓，直接承認(rèn)判定定理，學(xué)生求知和探索的欲望將得不到滿足，也錯失了一次演繹推理的訓(xùn)練和科學(xué)精神的弘揚.

事實上，由“面面平行”和平面內(nèi)的線線垂直做鋪墊，“線面垂直”判定將合情推理與演繹推理有機結(jié)合順理成章. 通過演繹證明，學(xué)生領(lǐng)略了無限向有限轉(zhuǎn)化、空間向平面轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，拓寬了對稱概念(點、線到面)，感受了公理化、邏輯證明的魅力，經(jīng)歷了言之有理、論證有據(jù)的邏輯推理過程. 同時“線面垂直”的判定定理證明后，還可以探討與“線面垂直”定義等價性等問題.

4 “推知”效應(yīng)

通過“推知”教學(xué)實踐，我們感受到如下幾點效應(yīng)：

(1)易于激發(fā)動機

有方向的“推知”，使學(xué)生對所學(xué)材料的探究具有興奮感和自信感，這樣就可能把發(fā)現(xiàn)本身作為一種自我獎賞而推動自己的學(xué)習(xí)活動，這樣的力量是真正的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機.

(2)助于保持記憶

布魯納認(rèn)為，人類記憶的首要問題不是儲存而是檢索，而檢索的關(guān)鍵在于組織，也就是知道到哪里尋找信息和怎樣去獲取信息.一般而言，按照一個人自己的興趣和認(rèn)知結(jié)構(gòu)組織起來的材料就是最有希望在記憶中自由出入的材料，而“推知”得到的知識多半是遵循著與個人的智慧航向相聯(lián)系的路線安置，自然形成知識的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).

(3)利于涵養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)

為學(xué)生提供合情推理的時機，并在交流中“推度以自悟”和“說明以悟他”. 不僅理解了知識技能的由來，而且在過程中鍛煉了思維，學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)也會在長期的“推知”活動中悄然發(fā)展.

(4)益于養(yǎng)成數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣

將“推知”貫穿到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，就越能把學(xué)習(xí)所得歸結(jié)成一種解決問題或研究的方式，而這種方式對學(xué)生遇到的任何新的學(xué)習(xí)內(nèi)容都有裨益的.

當(dāng)然，“推知”活動要適度，因為只有具備“推知”的能力 (主觀條件)，又有“推知”的欲望(內(nèi)在動機)，才能實現(xiàn)“推知”的效益. 所以，系統(tǒng)和持續(xù)地創(chuàng)設(shè)學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的“推知”活動是關(guān)鍵. 另外，這種“推知”學(xué)習(xí)，應(yīng)該是在閱讀教材之前，也可和閱讀教材交錯.