李紅敏

[摘? ? ? ? ? ?要]? 從微積分在本科教學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用展開(kāi)研究，舉例說(shuō)明微積分在這些學(xué)科中的重要性，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到微積分的魅力，并對(duì)其產(chǎn)生興趣。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué);微積分;數(shù)學(xué)分析;概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì);高等代數(shù);中學(xué)數(shù)學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G645? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2020）14-0048-03

一、背景

微積分學(xué)，或者數(shù)學(xué)分析[1，2]，是人類(lèi)思維的偉大成果之一。它不僅是高等院校數(shù)學(xué)學(xué)院的一門(mén)重要基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)高等代數(shù)、微分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)以及概率論等課程的基礎(chǔ)，也是理科專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的公共數(shù)學(xué)課，是學(xué)習(xí)線性代數(shù)、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，被譽(yù)為“近代技術(shù)文明產(chǎn)生的關(guān)鍵事件之一”。[3，4]它引入了若干極其成功的，對(duì)以后許多數(shù)學(xué)的發(fā)展起決定性作用的思想。[5]微積分的產(chǎn)生革新了數(shù)學(xué)的概念、思想和方法，它的創(chuàng)立是教學(xué)發(fā)展的里程碑，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。

此外，微積分不僅在天文、力學(xué)、物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等自然科學(xué)方面有廣泛應(yīng)用，在社會(huì)科學(xué)中也有廣泛應(yīng)用。可以說(shuō)，微積分是這些學(xué)科的基礎(chǔ)，同時(shí)這些學(xué)科的發(fā)展也促進(jìn)了微積分的廣泛應(yīng)用和發(fā)展。微積分是高等院校理科專(zhuān)業(yè)學(xué)生大一的基礎(chǔ)課程，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供工具。微積分學(xué)習(xí)的好壞將直接影響其他課程的學(xué)習(xí)。

微積分是重要的，這是毋庸置疑的。遺憾的是，微積分的方法有時(shí)流于機(jī)械，不能體現(xiàn)出這門(mén)學(xué)科乃是一種撼人心靈的結(jié)晶。大部分學(xué)生只知道它是重要的，并沒(méi)有深刻地理解其重要性，甚至有的學(xué)生在談到微積分時(shí)緊皺眉頭，對(duì)其產(chǎn)生抵觸情緒，缺乏學(xué)習(xí)微積分的熱情。在我看來(lái)，這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)微積分應(yīng)用的理解還只停留在現(xiàn)學(xué)知識(shí)上或者理論上，并沒(méi)有深刻理解微積分的思想，也沒(méi)有看到微積分在交叉學(xué)科和實(shí)際中的應(yīng)用。

我們不僅要學(xué)習(xí)微積分課本上表面的知識(shí)，更要掌握它所體現(xiàn)的思想，例如，極限的思想、函數(shù)構(gòu)造的思想、積分的思想等。這些思想隱含在課本中的定義、定理、命題及解題過(guò)程中。這就要求在學(xué)習(xí)微積分時(shí)要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，這樣才能深刻理解其中的奧妙。本文將以具體的例子說(shuō)明微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)、高等院校本科數(shù)學(xué)和公共數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)微積分的動(dòng)力，并形成將其學(xué)好的信心。

二、微積分在數(shù)學(xué)本專(zhuān)業(yè)課程中的應(yīng)用

大部分高等院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的基礎(chǔ)課程有高等代數(shù)[6]、常微分方程[7]、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[8]等。微分方程是一種聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式，且其中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分是不可缺少的?？梢?jiàn)，微分方程是微積分的應(yīng)用和拓展。因此，本文不再舉例說(shuō)明微積分在常微分方程方面的應(yīng)用。

選修課有實(shí)變函數(shù)[9]、復(fù)變函數(shù)[10]、數(shù)值分析[11]、近世代數(shù)[12]，而非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生要學(xué)的數(shù)學(xué)課程有經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)[13]、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[14]、線性代數(shù)[15]。這些課程的基礎(chǔ)都是微積分。接下來(lái)，我們將從幾個(gè)方面著手研究微積分在這些課程中的應(yīng)用。為了加深學(xué)生的理解，接下來(lái)以幾個(gè)例子加以說(shuō)明。

（一）微積分在高等代數(shù)中的應(yīng)用

高等代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生除數(shù)學(xué)分析外的另一門(mén)重要的基礎(chǔ)課，也是學(xué)生今后工作和研究必須掌握的內(nèi)容。它和數(shù)學(xué)分析作為兩門(mén)重要的課程，相互滲透，相輔相成，缺一不可。其中一門(mén)課的發(fā)展必將帶動(dòng)另一門(mén)課的研究熱潮。接下來(lái)，我們將給出實(shí)例說(shuō)明微積分在高等代數(shù)中的應(yīng)用。

在上述命題中，巧妙地利用微積分中的冪級(jí)數(shù)和反常積分，大大減輕了計(jì)算量，也便于學(xué)生理解，更可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到微積分的強(qiáng)大。

（二）微積分在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用

微積分和概率論是高等院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的兩門(mén)基礎(chǔ)課，前者在后者的學(xué)習(xí)中有著不可或缺的作用。概率論中的許多問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為微積分問(wèn)題。微積分中的集合、函數(shù)及微積分思想及計(jì)算方法在概率論中都有重要應(yīng)用，我們以微積分應(yīng)用為例說(shuō)明。

在上題中，我們利用了微積分中的反常積分和反常二重積分計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的期望。顯然，積分掌握得不牢固的話，解答上題是有難度的。微積分中的積分在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有很多應(yīng)用，在此就不一一列舉了。

三、微積分在公共數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

高等院校的很多專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)了公共數(shù)學(xué)，以華僑大學(xué)為例，工學(xué)院開(kāi)設(shè)了高等數(shù)學(xué)[18]、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分[13]、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[14]、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)[15]等。前兩門(mén)課刪減了數(shù)學(xué)分析[1、2]中的一些內(nèi)容，提煉出應(yīng)用性較強(qiáng)的內(nèi)容，并對(duì)其做簡(jiǎn)要概述，供非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí);后一門(mén)課中的主要內(nèi)容則需要學(xué)生掌握微積分，尤其是定積分和多重積分的計(jì)算;線性代數(shù)則抽取了高等代數(shù)中的主要內(nèi)容。高等代數(shù)和微積分之間的關(guān)系在上面已經(jīng)提過(guò)，因此線性代數(shù)與微積分的關(guān)系就不言而喻了。

四、微積分在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

如今，越來(lái)越多的微積分理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用，這不僅擴(kuò)展了中學(xué)生的思維，也讓他們提前感受到微積分的內(nèi)容和重要性，為他們以后學(xué)習(xí)微積分打下了基礎(chǔ)。下面將用微積分解決中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的習(xí)題。

該題把待證明的方程看成某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用羅爾定理證明，既巧妙又簡(jiǎn)潔。

綜上所述，我們可以看到微積分在本科教學(xué)和中學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，有了這些實(shí)例，相信學(xué)生能夠更加深刻地認(rèn)識(shí)到它的重要性，從而更好地學(xué)習(xí)微積分。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]邱森.微積分探究性課題精編[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2016.

[4]徐永琳，田巧玉，文艷艷.微積分探究性學(xué)習(xí)的理論與實(shí)踐研究[M].北京：中國(guó)水利水電出版社，2016.

[5]勒玉樂(lè).探究教學(xué)論[M].重慶：西南師范大學(xué)出版社，2001.

[6]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].4版.北京：高等教育出版社，2013.

[7]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2005.

[8]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[9]周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2016.

[10]西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室.復(fù)變函數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1996.

[11]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[12]楊子胥.近世代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2011.

[13]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分[M].3版.北京：高等教育出版社，2015.

[14]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].2版.北京：高等教育出版社，2009.

[15]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)[M].3版.北京：高等教育出版社，2015.

[16]王蓮花，鞠紅梅，李戰(zhàn)國(guó).數(shù)學(xué)分析在高等代數(shù)中的某些應(yīng)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2008（3）.

[17]陳紅燕，鄧臻.微積分在概率論中的應(yīng)用[J].科技資訊，2013（7）.

[18]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[19]賢鋒.淺析微積分理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用[J].引進(jìn)與咨詢，2000（1）.

編輯 常超波