郭玉峰 鄭 悅 于化隆 齊景繁

(1.北京師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875；2.北京師范大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100875)

一、問(wèn)題提出及核心概念

(一)問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)自2011年作為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一正式提出，無(wú)論在理論界還是實(shí)踐領(lǐng)域都得到了廣泛關(guān)注[1]。有關(guān)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是什么[2]23-28？有哪些類型[3]？特點(diǎn)[2]23-28？包含的主要成分或維度劃分[2，4]？學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的不同水平分層[4]25-29？課堂實(shí)踐中如何落實(shí)[5]？……這些問(wèn)題一直在探討中。值得關(guān)注的是，相關(guān)問(wèn)題的研究成果逐漸從眾說(shuō)紛紜發(fā)展到現(xiàn)在的一定邏輯體系下的逐步明朗和深入，并且對(duì)實(shí)踐教學(xué)的指導(dǎo)意義日漸增強(qiáng)。例如，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)歸納推理過(guò)程和演繹推理過(guò)程后積淀形成的用數(shù)學(xué)思考問(wèn)題的方式。在這一定義下，通過(guò)探索性因子分析和驗(yàn)證性因子分析，分析出數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的四個(gè)主成分：觀察聯(lián)想、歸納猜想、數(shù)學(xué)表達(dá)、驗(yàn)證或證明[4]25-29。這一研究成果無(wú)疑對(duì)明晰數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)涵和維度，推動(dòng)相關(guān)理論進(jìn)展及指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐有積極的意義。

基礎(chǔ)教育階段學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，也要關(guān)注數(shù)學(xué)基本思想的獲得和數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，這是當(dāng)今數(shù)學(xué)課程改革的重要?jiǎng)酉颉６鴰椭鷮W(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的根本原因在于通過(guò)學(xué)生經(jīng)歷和感悟數(shù)學(xué)基本活動(dòng)的過(guò)程，建立一定的數(shù)學(xué)直觀或直覺(jué)，為未來(lái)的創(chuàng)新奠定基礎(chǔ)[6]。在這一背景下，本研究希望了解大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生在中學(xué)期間積累的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)狀況，探究其中學(xué)期間積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響。研究旨在幫助數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)課程、促進(jìn)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)習(xí)，同時(shí)為中學(xué)階段數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)課程目標(biāo)的落實(shí)及學(xué)生未來(lái)發(fā)展提供實(shí)證數(shù)據(jù)。研究的主要問(wèn)題包括：(1)研究問(wèn)題一：大一新生基礎(chǔ)教育階段積累的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)狀況如何？(2)研究問(wèn)題二：大一新生基礎(chǔ)教育階段積累的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有沒(méi)有影響？相關(guān)性如何？

(二)核心概念

經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)哲學(xué)上也難以界定清楚的名詞，數(shù)學(xué)活動(dòng)包羅萬(wàn)象，最新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課程目標(biāo)要求，根本原因在于培養(yǎng)未來(lái)創(chuàng)新人才，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考是學(xué)生未來(lái)創(chuàng)新的基礎(chǔ)。為此，本研究界定數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為：學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)歸納推理過(guò)程和演繹推理過(guò)程后積淀形成的數(shù)學(xué)思考問(wèn)題的方式。具體成分包括觀察、歸納猜想、表達(dá)、驗(yàn)證或證明，在每一成分中又包含下一級(jí)子維度，如觀察的下一級(jí)子維度是觀察共性、特性，觀察事物間的關(guān)系(見(jiàn)圖1[2]23-28)。

圖1 數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的框架結(jié)構(gòu)

二、研究設(shè)計(jì)和測(cè)試問(wèn)卷的信效度分析

(一)研究設(shè)計(jì)

針對(duì)研究問(wèn)題一，本研究設(shè)計(jì)如下：(1)在給定的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)內(nèi)涵基礎(chǔ)上，借助已有研究成果中關(guān)于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的四個(gè)維度，自行設(shè)計(jì)測(cè)試問(wèn)卷調(diào)查了解大一新生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)狀況。之所以不用已有研究中的測(cè)試問(wèn)卷，主要考慮到測(cè)試樣本的不同。(2)采取隨機(jī)抽樣的方法，選取一定數(shù)量的測(cè)試對(duì)象進(jìn)行測(cè)試。(3)基于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的四個(gè)維度，借鑒已有研究中關(guān)于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的“模仿階段、性質(zhì)階段和實(shí)質(zhì)階段”三個(gè)層次水平，利用聚類分析的方法分析被測(cè)學(xué)生在四個(gè)維度以及三個(gè)層次水平的得分，得到被測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的水平劃分。

針對(duì)研究問(wèn)題二，本研究設(shè)計(jì)如下：

(1)考慮到數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)非常重要的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，又是大一新生從入學(xué)開(kāi)始就接觸的課程，選取這門課的成績(jī)作為大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的代表。(2)將被測(cè)學(xué)生在研究問(wèn)題一的得分(即數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)測(cè)試題中的得分)與數(shù)學(xué)分析的期末成績(jī)做回歸，探究是否數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)越豐富的學(xué)生數(shù)學(xué)分析成績(jī)?cè)胶谩?/p>

本研究還考慮到學(xué)生的努力程度以及不同教師授課的影響因素，將被測(cè)的期中考試成績(jī)作為其努力程度的代理變量，以及將不同教師授課作為虛擬變量，分別進(jìn)行回歸，探討被試數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平與數(shù)學(xué)分析課程期末成績(jī)的相關(guān)性。

(二)問(wèn)卷編制及信效度分析

結(jié)合數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的四個(gè)維度，本研究自主編制了六道大題，共包括11個(gè)小題，分別考察數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的相應(yīng)維度。其中包含兩道幾何類題目，兩道代數(shù)類題目，一道分析類題目以及一道統(tǒng)計(jì)類題目。各題考查維度見(jiàn)表1。

表1 測(cè)試題各題考察維度

為進(jìn)一步考察學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的總體層次水平，研究將所有題目依照認(rèn)知層次水平歸為三類。歸類一：“模仿”類題目，即通過(guò)觀察問(wèn)題的共性，考查特例并進(jìn)行模仿的題目；歸類二：“性質(zhì)”類題目，在特例基礎(chǔ)上初步歸納得出規(guī)律和共性；歸類三：“本質(zhì)”類題目，需要在歸納基礎(chǔ)上看到實(shí)質(zhì)，觀察特性和關(guān)系，表達(dá)規(guī)律和共性，并進(jìn)行驗(yàn)證和證明以及聯(lián)想。各題所屬的歸類如表2所示。

表2 測(cè)試題各題所屬歸類

題目計(jì)分以每一個(gè)小題為單位，獨(dú)立計(jì)分。每個(gè)小題記為5分，總分合計(jì)55分。

采用克隆巴赫α統(tǒng)計(jì)量，利用SPSS軟件，得到測(cè)試卷內(nèi)部一致性信度=0.777，試卷可信[7]。采用KMO和Bartlett檢驗(yàn)判斷問(wèn)卷各指標(biāo)的結(jié)構(gòu)效度，其子指標(biāo)的KMO度量值為0.746，表示子指標(biāo)具有一定的相關(guān)性和區(qū)分度，適合做因子分析。其Bartlett球形度檢驗(yàn)卡方值為146.785，且檢驗(yàn)概率值Sig.<0.001。所以，這份數(shù)據(jù)具有良好的結(jié)構(gòu)效度。具體見(jiàn)表3、表4。

表3 KMO和Bartlett 檢驗(yàn)

表4 可靠性統(tǒng)計(jì)量

測(cè)試于2018年9—11月隨機(jī)抽取北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的100名2018級(jí)大一新生進(jìn)行調(diào)查研究。共發(fā)放問(wèn)卷100份，回收83份，其中有效問(wèn)卷76份，有效率為91.6%。

三、數(shù)據(jù)結(jié)果

(一)針對(duì)研究問(wèn)題一的數(shù)據(jù)結(jié)果

1.問(wèn)卷的基本數(shù)據(jù)情況

(1)每小題得分情況見(jiàn)表5；(2)四個(gè)維度得分情況見(jiàn)表6，做成統(tǒng)計(jì)圖見(jiàn)圖2～5；(3)三類題目得分情況見(jiàn)表7。

表5 每小題得分情況

表6 四個(gè)維度得分情況

表7 三類題目得分情況

圖2 “觀察聯(lián)想”維度得分情況

圖3 “歸納猜想”維度得分情況

圖4 “表達(dá)”維度得分情況

圖5 “驗(yàn)證或證明”維度得分情況

就數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)四個(gè)維度的得分情況(圖2～5)來(lái)看，歸納猜想、表達(dá)、觀察聯(lián)想三個(gè)維度中，學(xué)生表現(xiàn)均呈左偏分布，即高于平均水平的人較多；而驗(yàn)證或證明維度則呈現(xiàn)右偏分布，即大多數(shù)同學(xué)在該維度的得分低于平均水平，說(shuō)明這個(gè)維度上學(xué)生水平參差不齊，很多同學(xué)有待提高。從表6的數(shù)據(jù)進(jìn)一步看出，歸納猜想、表達(dá)維度的得分率均在70%以上，觀察聯(lián)想維度也在60%以上，而驗(yàn)證或證明維度的得分率只有40%，說(shuō)明學(xué)生在驗(yàn)證或證明維度存在問(wèn)題較大。表7的數(shù)據(jù)表明，大一新生“模仿類”題目得分最高，而需要把握實(shí)質(zhì)的題目得分則最低。

2.被試數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平層次的劃分

聚類分析依照每題所需認(rèn)知水平歸類情況進(jìn)行分析。選取學(xué)生測(cè)試成績(jī)的總分、歸類一得分、歸類二得分、 歸類三得分作為四個(gè)聚類指標(biāo)，對(duì)77個(gè)測(cè)試樣本進(jìn)行聚類分析。采用系統(tǒng)聚類法，開(kāi)始每個(gè)測(cè)試樣本的四個(gè)聚類指標(biāo)聚成一類，然后每次將最相似的兩類合并，合并后重新計(jì)算新類與其他類的距離，這一過(guò)程一直持續(xù)到所有測(cè)試樣本的四個(gè)聚類指標(biāo)歸為一類為止。本研究中，測(cè)試樣本間的距離定義為歐氏距離，類與類之間的距離采取使用較廣泛、聚類效果好的方法——類平均法，即用兩類樣本兩兩之間的平方距離作為類之間的距離。注意到有一名同學(xué)在填寫問(wèn)卷時(shí)只填寫了第一題，判定該問(wèn)卷為無(wú)效問(wèn)卷剔除。在SAS中運(yùn)行程序，得到輸出結(jié)果(見(jiàn)表8)。

表8 程序運(yùn)行輸出結(jié)果

確定聚類分析中類的個(gè)數(shù)有幾種常見(jiàn)方法，如根據(jù)適當(dāng)?shù)拈撝祷蚋鶕?jù)點(diǎn)的散布圖直觀確定等。此研究中我們根據(jù)表8中的統(tǒng)計(jì)量(半偏R方統(tǒng)計(jì)量、偽F統(tǒng)計(jì)量、偽t方統(tǒng)計(jì)量)，近似檢驗(yàn)合適的類個(gè)數(shù)。偽F統(tǒng)計(jì)量的值越大，表示這些觀測(cè)樣本可顯著地分為幾類。表8中偽F統(tǒng)計(jì)量最大時(shí)的聚類數(shù)是4，說(shuō)明根據(jù)偽F準(zhǔn)則，分為4個(gè)類是較為合適的；R方統(tǒng)計(jì)量用于評(píng)價(jià)每次合并成N個(gè)類時(shí)的聚類效果，R方越大說(shuō)明N個(gè)類越分開(kāi)，聚類效果好。R方的值隨著分類個(gè)數(shù)N的減少而減少。由表8可知，分為4個(gè)類前，R方的減少是逐漸的，而下一次合并后分為兩類時(shí)，R方下降較多。通過(guò)分析R方統(tǒng)計(jì)量，可得出分為4個(gè)類是較合適的?？梢?jiàn)，R方準(zhǔn)則和偽F統(tǒng)計(jì)量準(zhǔn)則均支持分為四類。據(jù)此，研究將測(cè)試學(xué)生群體分為四類，分別對(duì)應(yīng)學(xué)生類別一、學(xué)生類別二、學(xué)生類別三和學(xué)生類別四。四類學(xué)生的基本信息如表9。

表9 分類結(jié)果的基本統(tǒng)計(jì)量

(二)針對(duì)研究問(wèn)題二的數(shù)據(jù)結(jié)果

以下進(jìn)行數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平與期末成績(jī)的相關(guān)性分析。(1)按照已劃分的四個(gè)類別，計(jì)算每類學(xué)生期中、期末兩次考試成績(jī)的平均分(見(jiàn)表10)。表10的數(shù)據(jù)顯示，隨著學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平的提升，期末考試的平均分大致呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，但學(xué)生類別3期末考試的平均分反而高于學(xué)生類別2。可能的原因是學(xué)生類別3樣本量較少(只有3人)導(dǎo)致。同時(shí)，四個(gè)類別學(xué)生的期中考試平均分沒(méi)有明顯差距，根據(jù)線上訪談及對(duì)試題的分析，發(fā)現(xiàn)期中試題中的大量題目是平時(shí)的作業(yè)題和課堂練習(xí)的相似題，只要平日認(rèn)真學(xué)習(xí)，考試基本都能做對(duì)。這也顯示了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平與期中考試成績(jī)關(guān)系不大，而與期末考試成績(jī)可能有著緊密的聯(lián)系，接下來(lái)將建立回歸模型量化分析這種關(guān)系。(2)回歸分析。①變量聲明見(jiàn)表11。②回歸結(jié)果見(jiàn)表12。

表10 四類學(xué)生三次測(cè)試的平均分

表11 變量聲明表

第一，直接將學(xué)生的期末成績(jī)對(duì)問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)做回歸。直接將學(xué)生的期末成績(jī)對(duì)問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)(代表剛?cè)雽W(xué)時(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平)做回歸，探究是否數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)越豐富的學(xué)生，數(shù)學(xué)分析成績(jī)就越好。回歸結(jié)果如表12中第2列所示。在0.05的顯著性水平下，問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)對(duì)期末成績(jī)有正向的影響，平均來(lái)說(shuō)問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)每提高1分期末成績(jī)就高0.549分，也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)越豐富的學(xué)生，數(shù)學(xué)分析成績(jī)?cè)胶?。得到的回歸方程為QM=0.549×ZF+62.30。

表12 回歸結(jié)果

注：1.Standard errors in parentheses；

2.***p<0.01，**p<0.05，*p<0.1。

進(jìn)一步，將問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)按照題目的三個(gè)歸類(模仿、性質(zhì)、實(shí)質(zhì))，計(jì)算每一部分的得分，X1代表模仿類題目得分，X2代表性質(zhì)類題目的得分，X3代表實(shí)質(zhì)類題目的得分。得到的回歸方程為QM=0.825×X1+0.384×X2+0.075×X3+58.97。回歸結(jié)果如表12中第3列所示。在0.05的顯著性水平下，X1的系數(shù)顯著，但同時(shí)X2、X3的系數(shù)不顯著。這說(shuō)明，只有模仿類題目得分的系數(shù)顯著，平均而言，模仿類題目的得分每提高1分，期末成績(jī)就要高0.825分，而其他兩類題目得分系數(shù)不顯著。結(jié)合對(duì)期末試題的分析以及學(xué)生訪談，研究發(fā)現(xiàn)大一上的數(shù)學(xué)分析期末試題與平日作業(yè)聯(lián)系較大，解法相通，這也印證了回歸結(jié)果的合理性。

第二，使用代理變量法，排除學(xué)生努力程度影響后，將學(xué)生的期末成績(jī)對(duì)問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)做回歸。此外，還有一個(gè)重要因素對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析成績(jī)有至關(guān)重要的作用——努力程度。努力程度是一個(gè)難以量化的變量，忽略它可能造成回歸結(jié)果(尤其是因果邏輯上)的偏差。比如：學(xué)生A的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平之所以高，是因?yàn)樗麖男W(xué)到高中一直努力學(xué)習(xí)；學(xué)生B則沒(méi)有努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好習(xí)慣，這導(dǎo)致他的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平一般。到了大學(xué)，兩位學(xué)生依然保持原有的學(xué)習(xí)習(xí)慣，如果期末考試成績(jī)學(xué)生A高于學(xué)生B，這時(shí)，無(wú)法斷定原因究竟是A的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平高，還是A的努力程度高。于是，考慮使用學(xué)生的期中考試成績(jī)作為學(xué)習(xí)努力程度的代理變量。根據(jù)之前的初步統(tǒng)計(jì)分析，表10四類學(xué)生期中考試平均分沒(méi)有明顯差距，再根據(jù)訪談和對(duì)試題的分析，發(fā)現(xiàn)期中考試大部分題目都是平時(shí)的作業(yè)題或課堂練習(xí)的相似題，只要平時(shí)認(rèn)真學(xué)習(xí)基本都能得分。因此，學(xué)生的期中考試成績(jī)能夠體現(xiàn)平時(shí)的努力程度，可以作為努力程度的代理變量。

再次將學(xué)生的期末成績(jī)對(duì)問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)做回歸，結(jié)果如表12中第3列所示?？梢钥吹?，期中成績(jī)的系數(shù)在0.01的顯著水平下顯著，期中成績(jī)每提高1分，平均而言，期末成績(jī)就提高0.448分，代表模仿類題目得分的X1的系數(shù)在0.1的水平下顯著，模仿類題目每提高1分，平均而言，期末成績(jī)就提高0.685分，其他兩類題目仍然統(tǒng)計(jì)不顯著。得到的回歸方程為QM=0.448×QZ+0.685×X1+0.407×X2+0.340×X3+20.88，R2=0.215。這說(shuō)明，學(xué)生的努力程度和數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平解釋了期末考試成績(jī)的21.5%。

第三，使用虛擬變量法，進(jìn)一步排除教師教學(xué)方式和試卷難度后，將學(xué)生的期末成績(jī)對(duì)問(wèn)卷測(cè)試成績(jī)做回歸。

除以上因素外，還考慮到所有被測(cè)學(xué)生由兩位教師授課，學(xué)生成績(jī)或許也受到教師的授課方式以及期末試題難度的影響。因此，加入虛擬變量D，D=1代表由教師A授課，D=0代表由教師B授課。仿照之前步驟進(jìn)行回歸，得到的結(jié)果如表12第6列所示。可以看到，變量ZF與QZ仍然高度顯著，回歸方程的R2為0.223。

四、結(jié)論及啟示

(一)研究的主要結(jié)論

1.數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平劃分結(jié)果

取樣學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平劃分為四個(gè)類別，大部分學(xué)生(60.53%，46人)達(dá)到最高類別，極少數(shù)學(xué)生(5.26%，4人)處于最低層次的兩個(gè)類別。研究表明，取樣大一新生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平總體較好。

2.數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平與大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)的關(guān)系

第一，數(shù)學(xué)分析期末考試成績(jī)與數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平密切相關(guān)?；貧w分析結(jié)果顯示，大一新生的數(shù)學(xué)分析成績(jī)與他們的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平緊密相關(guān)。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平越高，數(shù)學(xué)分析成績(jī)就越高。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，這種緊密的聯(lián)系主要來(lái)自測(cè)試中模仿類題目的得分，這可能與期末試題及對(duì)平時(shí)作業(yè)的舉一反三有關(guān)。

第二，排除學(xué)生努力程度的影響，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平依然對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有解釋作用。本研究使用期中考試成績(jī)作為努力程度的代理變量，明確了期末成績(jī)和數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平之間的因果關(guān)系，這兩個(gè)因素在0.05顯著性水平下顯著，即努力程度和數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平均對(duì)數(shù)學(xué)分析成績(jī)有影響；回歸方程的R2達(dá)到了0.215，即這兩個(gè)變量解釋了數(shù)學(xué)分析期末考試成績(jī)的21.5%。

第三，排除教師教學(xué)和期末試題難度的影響，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)依然有解釋作用。使用虛擬變量法將兩位授課教師區(qū)分開(kāi)，以排除教師教學(xué)和期末試題難度的影響，再做回歸，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平的系數(shù)依然在0.05顯著水平下顯著，這進(jìn)一步印證了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平對(duì)數(shù)學(xué)分析成績(jī)的影響。

(二)啟示

由于不同中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平、教學(xué)方式迥異，加上中學(xué)期間學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣、方法等不同，導(dǎo)致即使入學(xué)時(shí)高考數(shù)學(xué)成績(jī)差異不大的大一新生，在初次接觸大學(xué)數(shù)學(xué)分析課程時(shí)，仍然呈現(xiàn)出了不同的學(xué)習(xí)效果。但剔除學(xué)生的努力程度以及不同教師教學(xué)因素的影響，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平與被測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)分析成績(jī)緊密相關(guān)的研究結(jié)果，印證了大學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)分析乃至其他數(shù)學(xué)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，均在一定程度上依賴于基礎(chǔ)教育階段積累的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平。下面我們從中學(xué)一線數(shù)學(xué)教學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)兩個(gè)方面提出針對(duì)性建議。

1.有關(guān)中學(xué)一線數(shù)學(xué)教學(xué)的建議

中學(xué)是學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)鍵時(shí)期。如果說(shuō)小學(xué)階段的學(xué)習(xí)部分依賴于模仿，中學(xué)階段更多依賴于在經(jīng)歷數(shù)學(xué)思考的過(guò)程中感悟和理解數(shù)學(xué)的基本概念和命題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的基本思想和積累數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，即經(jīng)歷歸納推理和演繹推理的過(guò)程，形成觀察聯(lián)想、歸納猜想、數(shù)學(xué)表達(dá)、驗(yàn)證或證明的數(shù)學(xué)思考問(wèn)題的方式。一線數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)知識(shí)的傳遞、學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高以及數(shù)學(xué)思維方式的建立方面起到關(guān)鍵作用，這是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要一環(huán)。

落實(shí)基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課程目標(biāo)，教師教學(xué)過(guò)程中應(yīng)堅(jiān)持“教師主導(dǎo)、學(xué)生主體”的原則，以同理心思考學(xué)生所需，在學(xué)生已有認(rèn)知水平基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生理解和感悟知識(shí)的來(lái)龍去脈以及知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程。基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教育，不僅是傳遞知識(shí)、形成技能的過(guò)程，更重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷和感悟數(shù)學(xué)思考的過(guò)程，形成科學(xué)的數(shù)學(xué)思維方式，感悟數(shù)學(xué)的基本思想和積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的建議

既然大一新生對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)課程知識(shí)的學(xué)習(xí)與其數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平緊密相關(guān)，我們?cè)陉P(guān)注基礎(chǔ)教育教學(xué)的同時(shí)，也需要反思和總結(jié)大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。根據(jù)對(duì)被測(cè)學(xué)生的訪談交流可知，大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的個(gè)性化關(guān)注不夠，存在某種程度“一刀切”的現(xiàn)象，大班授課下學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)難以得到保證。同時(shí)，由于大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課程知識(shí)難度的陡然增加，高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)不能很好過(guò)渡和銜接等，導(dǎo)致一部分學(xué)生在大一入學(xué)時(shí)產(chǎn)生某種程度的不適應(yīng)。如何解決這一問(wèn)題，本研究中學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的水平與數(shù)學(xué)分析成績(jī)密切相關(guān)的結(jié)論給予很好的啟發(fā)。

首先，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)同樣需要在傳遞知識(shí)、形成技能的同時(shí)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，進(jìn)而積累大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。由于大學(xué)數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)在內(nèi)容、學(xué)科分類、抽象程度等的較大差別，大學(xué)數(shù)學(xué)課程是否需要設(shè)立數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的課程目標(biāo)，如何研究大學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)水平，以及大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)如何幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這些是從事大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中極具挑戰(zhàn)性的課題。

其次，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，繼續(xù)保持旺盛的求知欲，優(yōu)化大學(xué)數(shù)學(xué)課堂的效能。為此，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，采用“中班授課”與“小班討論”“合作性學(xué)習(xí)”等多種教學(xué)方法。例如，“中班授課”可以是傳統(tǒng)的教學(xué)為主，通過(guò)講授、聽(tīng)講、理解、練習(xí)、記憶等教學(xué)環(huán)節(jié)展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生掌握系統(tǒng)的專業(yè)學(xué)科知識(shí)，而“小班討論”則適用于對(duì)知識(shí)的討論研究，對(duì)習(xí)題多重解法的探討以及學(xué)生內(nèi)部或師生之間觀點(diǎn)的爭(zhēng)論碰撞等。

最后，相對(duì)于高考數(shù)學(xué)成績(jī)大致差別不大的大一新生，在數(shù)學(xué)分析課程學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了不同的學(xué)習(xí)水平，很大一部分原因在于學(xué)習(xí)方法的選擇、學(xué)習(xí)過(guò)程中的努力。因此，大學(xué)數(shù)學(xué)教師要善于引導(dǎo)學(xué)生尋找適合的學(xué)習(xí)方法，幫助學(xué)生總結(jié)和體會(huì)數(shù)學(xué)中豐富的科學(xué)方法，如演繹法、歸納法、命題轉(zhuǎn)化法、化曲為直法、反證法與比較法等[8]。

總之，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)較為一致，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中幫助學(xué)生建立科學(xué)的數(shù)學(xué)思考問(wèn)題的方式，逐步積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及未來(lái)的工作奠定良好的基礎(chǔ)。