王生林

(甘肅省高臺縣第一中學(xué)，734300)

概率是高中教材的新增內(nèi)容,它是以實際應(yīng)用問題為載體,以排列組合和概率的相關(guān)知識為工具,以考查對五個概率事件的判斷識別及其概率的計算和應(yīng)用為目的的一類必考題型.但由于其概念具有一定的抽象性和相似形,有些問題看似相同,實則不同,在解題時稍有疏忽就會致錯．本文就以概率學(xué)習(xí)中幾個易混淆的問題予以剖析,以期對同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助．

一、 等可能事件中的“等可能”與“非等可能”混淆

例1 投一枚骰子兩次,求兩次點數(shù)之和是3的概率．

分析 錯解將投一枚骰子兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和的所有可能取值歸結(jié)為2,3,4…,11,12時,其中每一個結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的(如和為2只有(1,1)一種情況,而和為3的情況有(1,2)與(2,1)兩種,其它的情況可類推),既然每一個結(jié)果的出現(xiàn)不是等可能的,就不可套用等可能事件中的概率計算公式進(jìn)行計算．

正解 記所求事件為A,因為投一枚骰子兩次出現(xiàn)的所有可能的情況是:(1,1)，(1,2)，…,(1,6),(2,1)，(2,2),…,(2,6),…,(6,6),因此基本事件總數(shù)為6×6=36個.而出現(xiàn)和為3的情況有兩種:(1,2)與(2,1),故

二、“互斥”與“獨立”混淆

例2 甲投籃命中率為0.8,乙投籃命中率為0.7,每人投3次,兩人恰好都命中2次的概率是多少?

錯解 記甲、乙兩人投籃3次各命中2次分別為事件A、B,則“兩人恰好都命中2次”為事件A+B.于是，P(A+B)=P(A)+P(B)=C230.82×0.2+C230.72×0.3=0.825.

分析 錯解的原因是將事件A、B錯誤地認(rèn)為是互斥事件,將兩人恰好都命中2次理解為“甲恰好命中2次”與“乙恰好命中2次”的和來處理．

正解 記“甲、乙兩人投籃各命中2次”分別為事件A、B,且A、B為相互獨立事件,則“兩人恰好都命中2次”為事件AB.于是，P(AB)=P(A)P(B)=C230.82×0.2×C230.72×0.3≈0.169.

三、“獨立”與“不獨立”混淆

例3 甲、乙兩人參加歷史知識競答,共有10個不同的題目,其中選擇題6個,判斷題4個,甲、乙兩人依次各抽取一題.

(1)甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少?

(2)甲、乙兩人至少有一人抽取選擇題的概率是多少?

分析 錯解是對獨立事件概念模糊,將事件A、B錯誤地認(rèn)為是獨立事件,其實不然,甲先抽取一題后乙再抽取時樣本空間已發(fā)生變化，甲抽到選擇題與否對乙抽到判斷題的概率是有影響的,故事件A、B不是相互獨立事件．

四、“有序”與“無序”混淆

例4 一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球,從中摸出一個球,放回后再摸出一個球,求兩球恰好顏色不同的概率．

分析 由上面的摸球過程知摸球的過程是有序的,故兩球恰好顏色不同要分先白球后黑球與先黑球后白球兩種不同情況．

正解 記所求事件為A,則

五、抽樣中的“放回”與“不放回”混淆

例5 一袋中有5個白球,3個黑球,從袋中連取三次,一次取一個,求下列事件的概率.

(1)若取后不放回,恰好取到一個黑球;

(2)若取后放回,恰好取到一個黑球.

錯解 (1)記所求事件為A,由分步計數(shù)原理，可知取球方法共有8×7×6種,其中恰好取到一個黑球有C25C13種取法,故

(2)記所求為事件B,由分步計數(shù)原理，可知取球方法共有8×8×8種,其中恰好取到一個黑球有A25A13種取法,故

分析 問題(1)計算基本事件的總數(shù)考慮了抽取的順序,而計算A含有的基本事件個數(shù)時沒有考慮順序,是用了組合的方法；同樣，問題(2)計算所有的基本事件數(shù)時考慮了抽取的順序,而計算B含有的基本事件個數(shù)時考慮順序不夠全面．

評注 不放回取球各次的取法不是相互獨立的,故不可按獨立事件同時發(fā)生的概率來計算，可以按等可能事件的概率來計算(如正解1).對不放回摸球來說，事件A=“不放回地逐個取k個球”與事件B=“一次任取k個球”的概率相等,即有P(A)=P(B).因此，不放回摸球通?？刹豢紤]摸球順序,按“一次任取k個球”的概率計算(如正解2).

評注 放回摸球是指每次摸出一球后再放回袋中,下次再摸球時袋內(nèi)球的總數(shù)不變;放回摸球可以按等可能事件的概率來計算(如正解1);放回摸球各次摸取是相互獨立的,故可按獨立事件同時發(fā)生的概率計算(如正解2);或按n次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率來計算(如正解3)．

六、“某事件發(fā)生k次”與“某事件在指定的k次發(fā)生”混淆

例7 一袋中裝有大小完全相同的紅球3個,白球6個,從袋中有放回地摸球,每次摸出一個,共摸5次,求:

(1)有3次摸到紅球的概率;

(2)第一次、第三次、第五次摸到紅球的概率．

(2)記“第一次、第三次、第五次摸到紅球”為事件B.當(dāng)?shù)谝淮?、第三次、第五次摸到紅球時,第二次、第四次摸到白球,故

分析 對問題(1)，錯解是當(dāng)成“有指定的3次摸到紅球”與“有指定的2次摸到白球”來處理．實際上有3次摸到紅球是“5次中的任意3次”與“指定的3次”是有本質(zhì)上的區(qū)別．對問題(2)，錯解是把“第二次、第四次指定為摸到白球”來處理．實際上第二次、第四次摸到的球可以是白球,也可以是紅球,這兩次可視為必然事件．

(2)記“第一次、第三次、第五次摸到紅球”為事件B,則