詹梓銘

(湖北省武漢理工大學數(shù)學系2017級，430070)

這些年江蘇高考數(shù)學試卷的第12、13、14這幾道填空題都比較難,一般作為第一部分填空題的壓軸題來使用.命題方向主要涉及三角形與函數(shù)的性質(zhì)(數(shù)形結(jié)合)、基本不等式應用、三角函數(shù)最值、數(shù)列等幾個C級考點的交匯．本文主要就此類填空壓卷題作簡要分析,其中三角函數(shù)問題經(jīng)常與最值問題密切聯(lián)系,平面向量則常要利用平面基向量法求解．

一、利用換元法求最值

評注 這類題需要考生聯(lián)想到sinθ+cosθ與sinθcosθ之間的內(nèi)在關(guān)系，通過換元轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)的最值問題.求解時必須注意換元前后變量的取值范圍．類似試題如2018年全國聯(lián)賽四川預賽試題第3題、2016年全國聯(lián)賽江蘇預賽試題第11題等，解題的關(guān)鍵都是如此．

二、利用基本不等式求最值

例2 在?ABC中,sinA=2cosBcosC,則sin2B+sin2C的最大值是______．

解 在?ABC中， 顯然sinA>0,因此cosBcosC>0.因為同一個三角形中至多有一個鈍角,于是必有cosB>0,cosC>0,即B、C都是銳角.

三、利用三角形特有性質(zhì)求三角函數(shù)最值

分析 這道題解法很多,但最巧妙的是下面的辦法:顯然A、B、C都不是直角,由于一個三角形中鈍角至多一個,若A是鈍角，則條件等式左邊為負,右邊為正,矛盾.所以角A是銳角．

四、利用基向量法求解向量背景下的三角形問題