武玉柱，孫文磊，周建星，陳銳博

（新疆大學(xué)機械工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047）

1 引言

行星齒輪傳動具有承載能力強，傳動比范圍大等特點，是風(fēng)力發(fā)電機傳動系統(tǒng)的重要部件之一[1]。為減輕整機重量、降低系統(tǒng)的振動和噪聲，行星齒輪傳動在多數(shù)情況下會采用柔性齒圈，相關(guān)研究表明內(nèi)齒圈的柔性會對行星齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性引起較大的影響[2]。借鑒多體動力學(xué)[3]中有限段單元的離散化的建模思想，建立與實際較為符合的考慮齒圈柔性的行星傳動系統(tǒng)剛—柔耦合模型。希冀借助該模型，明晰系統(tǒng)中齒圈變形特點及受力情況。

2 計入齒圈柔性的分析模型

2.1 行星齒輪系統(tǒng)模型

分析對象為某1.5MW風(fēng)電機組行星傳動系統(tǒng)。傳動系統(tǒng)簡圖，如圖 1（a）所示。圖中：S—太陽輪；P—行星輪；C—行星架；R—內(nèi)齒圈；nin—太陽輪輸入轉(zhuǎn)速（規(guī)定逆時針方向為正）nout為行星架輸出轉(zhuǎn)速。所建模型的基本參數(shù)，如表1所示。其中轉(zhuǎn)動量、質(zhì)量等均由UGNX經(jīng)實體造型后得出[4]，傳動系統(tǒng)二維裝配模型，如圖 1（b）所示。

表1 行星齒輪系統(tǒng)模型參數(shù)Tab.1 Planetary Gear System Model Parameters

圖1 風(fēng)力發(fā)電機行星傳動系統(tǒng)動結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Wind Power Generator Planetary Transmission System Dynamic Structure Diagram

2.2 動力學(xué)模型

為反應(yīng)系統(tǒng)的動力學(xué)特質(zhì)，對模型做如下預(yù)處理：

（1）將內(nèi)齒圈沿齒槽處分割成96段，各輪齒段視為剛體，且相鄰兩段之間用理論長度為零的虛擬雙向扭轉(zhuǎn)彈簧連接；（2）齒輪輪體及行星架被視作剛體，齒輪之間的嚙合力始終作用在其嚙合線方向上；（3）太陽輪、行星架、行星輪及各齒圈輪齒段均具有3個自由度[5]。其中，每個齒圈輪齒段的回轉(zhuǎn)軸線均通過其扭簧連接點并與中心構(gòu)件的軸線相平行；

圖2 計入齒圈柔性的行星齒輪傳動力學(xué)模型Fig.2 Planetary Gar Transmission Dynamic Model with Gear Ring Flexibility

計入齒圈柔性的行星齒輪傳動系統(tǒng)簡化動力學(xué)模型，如圖2所示。圖中：k—剛度；θ—扭轉(zhuǎn)振動位移；ψi—第i個行星輪的理論位置與 x 軸正向的夾角 ψi=2π（i-1）/3；ks、kpi—太陽輪和行星輪支撐剛度（i=1，2，3）；kij—太陽輪與行星架的支撐剛度（i=c，s；j=x，y，θ）；kspi—太陽輪與行星輪的嚙合剛度；krpi—行星輪與齒圈輪齒段的嚙合剛度；krθ—相鄰兩齒圈段間連接扭簧的扭轉(zhuǎn)剛度；kr—齒圈的支撐剛度；xi、yi、θi—太陽輪、行星架及各行星輪的微位移（i=s，c，p1，2，3）。θrm為第 m 段齒圈輪齒段繞其扭簧連接點的扭轉(zhuǎn)振動微位移（m=1，2，…，M）。

2.3 系統(tǒng)中各構(gòu)件的相對位移分析

式中：δspi—太陽輪與行星輪i的相對位移沿其嚙合線方向上的投影[6]，ψspi=αs-ψi，αs為外嚙合齒輪副的嚙合角；δrpi—行星輪 i與齒圈輪齒段m的相對位移沿其嚙合線方向上的投影，ψrpi=αr+ψi，αr為內(nèi)嚙合齒輪副的嚙合角；δcpx、δcpy、δcpθ—行星架與行星輪的相對位移分別沿 xc、yc、θc方向上的投影；δxpi、δypi—行星輪i與行星架的相對位移沿xi、yi方向的投影；變形前后，各齒圈輪齒段的相對位置，如圖3所示。

圖3 變形前后齒圈段的位置關(guān)系Fig.3 Position Relation of Tooth Ring Section Before and After Deformation

（1）第m段齒圈輪齒段首端Am所受的扭簧扭轉(zhuǎn)恢復(fù)力矩為：

（2）第m段齒圈輪齒段末端Bm所受的扭簧扭轉(zhuǎn)恢復(fù)力矩為：

（3）將齒圈等效為以齒圈周長為長度的懸臂梁結(jié)構(gòu)[7]，其彎曲剛度表示為 krθ=EIπ·（180MeL）-1。

式中：E—材料的彈性模量；L—梁結(jié)構(gòu)長度；Me—輸入的單位嚙合力矩1N·m，極慣性矩I=bh3·12-1（b為齒寬42 mm，h為齒圈厚度）。

2.4 行星傳動系統(tǒng)動力學(xué)微分方程

設(shè)太陽輪、行星架的輸入、輸出轉(zhuǎn)矩分別為Tin、Tout（輸入為正，輸出為負(fù)），太陽輪、行星架、行星輪和各齒圈輪齒段的質(zhì)量分別為 ms、mc、mp和 mrm，轉(zhuǎn)動慣量分別為 Is、Ic、Ip、Irm。由牛頓運動方程可得到以下。

將式（4）寫成矩陣形式，得：

式中：m—質(zhì)量矩陣；kb（t）—支撐剛度矩陣；km（t）—時變嚙合剛度矩陣；kθ（t）—扭轉(zhuǎn)剛度矩陣；T（t）—外部激勵。

3 負(fù)載力作用下系統(tǒng)動力學(xué)特性

3.1 系統(tǒng)嚙合力特點分析

不失一般性，以太陽輪輸入轉(zhuǎn)速為700r·min-1行星架負(fù)載為500N·m時為例，設(shè)定扭簧的扭轉(zhuǎn)剛度為107N·mm·（°）-1太陽輪與行星輪嚙合力，如圖4（a）所示?？梢钥闯觯涸搰Ш狭︼@現(xiàn)出周期性波動的特點，周期為Tm，嚙合力波動幅值達(dá)141N；從圖4（b）中可以看出，太陽輪與行星輪動載荷的頻率成分主要為低頻，包括嚙合頻率（293Hz）及前3倍頻，其中嚙合頻率成分能量最大，二倍頻及三倍頻幅值相對較大，高倍頻幅值較小。

圖4 剛性齒圈下太陽輪與行星輪嚙合力Fig.4 The Meshing Force Between the Sun Wheel and the Planet Wheel Under the Rigid Gear Ring

同樣是在中心輪的輸入轉(zhuǎn)速為700r·min-1負(fù)載為500N·m條件下計算了系統(tǒng)動載荷。設(shè)定了扭簧的扭轉(zhuǎn)剛度k=950N·mm·（°）-1所對應(yīng)的齒圈厚度為10mm。考慮齒圈柔性時太陽輪與行星輪嚙合力，如圖5所示?？梢钥吹皆搰Ш狭Τ尸F(xiàn)出較為明顯的周期性變化，波動幅值相比于剛性齒圈條件下有所增大為165N；太陽輪與行星輪動載荷的頻率成分主要為低頻，包括嚙合頻率（293Hz）及前3倍頻，其中嚙合頻率成分能量最大，且低頻段的嚙合頻率、二倍頻以及三倍頻的頻譜幅值相比于剛性齒圈條件下所對應(yīng)的頻譜幅值均有所減小。此外，進(jìn)一步計算可得行星架轉(zhuǎn)頻為3.05r/s，而在太陽輪與行星輪嚙合力頻譜圖0附近出現(xiàn)了較小的低頻成分，經(jīng)計算得該頻率值為25.4Hz，恰為行星架轉(zhuǎn)頻的8倍，與理論值相符。

圖5 計入齒圈柔性時太陽輪與行星輪嚙合力Fig.5 When the Gear Ring is Flexible，the Solar Wheel and Planetary Gear are Engaged Together

3.2 太陽輪中心浮動軌跡

同樣是在輸入太陽輪轉(zhuǎn)速為700r·min-1、行星架負(fù)載力500N·m及扭簧扭轉(zhuǎn)剛為950N·mm·（°）-1條件下，經(jīng)仿真得出太陽輪的中心浮動軌跡?？紤]齒圈柔性后，如圖6（a）所示。當(dāng)行星輪與齒圈的嚙合位置處在支撐點間時，太陽輪的徑向位移變大，且在支撐點的中間點位置，其徑向位移達(dá)到最大值1.3×10-3mm。從整個浮動軌跡來看，恰有8個突出，中心輪浮動軌跡較為規(guī)律，受到碰撞振動及8個支撐點的影響，中心輪在支撐點處的浮動軌跡由于受到約束，因而徑向位移較小，最大徑向位移僅為0.8×10-3mm。扭簧的扭轉(zhuǎn)剛度為107N·mm·（°）-1時太陽輪的中心浮動軌跡，如圖6（b）所示。當(dāng)由齒輪副中兩齒輪齒面速度差產(chǎn)生的碰撞力較小，碰撞力所產(chǎn)生的能量很快會被消耗，從動輪開始減速，隨之再次產(chǎn)生碰撞，由此系統(tǒng)表現(xiàn)為周期性振動[8]。當(dāng)轉(zhuǎn)速為500r·min-1時，太陽輪浮動軌跡均較為規(guī)律，受到碰撞振動的影響，齒輪每次發(fā)生碰撞均會使浮動軌跡產(chǎn)生瞬時較大偏離，故其中心輪浮動軌跡呈現(xiàn)出96個放射性針狀曲線。

圖6 太陽輪中心浮動軌跡Fig.6 Sun Wheel Center Floating Trajectory

4 計入柔性的齒圈固有特性與變形分析

4.1 齒圈固有特性分析

內(nèi)齒圈結(jié)構(gòu)的固有特性對整個行星輪系統(tǒng)的動態(tài)性能有重要的影響，而有限元方法的發(fā)展又使準(zhǔn)確分析其結(jié)構(gòu)成為可能[9]。根據(jù)多體動力學(xué)的有限段離散化建模思想，內(nèi)齒圈被等分的段數(shù)應(yīng)該足夠多[10]。該模型中，齒圈輪齒段數(shù)M=96，齒圈8個支撐點的支撐剛度分別為kr=1.35×1015N·m-1（徑向），kθ=1.0×1015N·m-1（周向）。

增大齒圈系統(tǒng)的剛度參數(shù)會提高其固有頻率。從圖7可以看出：在每一個齒圈厚度情況下，齒圈四節(jié)徑，五節(jié)徑，六節(jié)徑及八節(jié)徑振型各一個，隨著齒圈厚度的增加即齒圈柔性降低，其各節(jié)徑固有頻率及各節(jié)徑間的頻率差值均隨之增大。且齒圈厚度的增加對八節(jié)徑固有頻率有較大的影響。

圖7 柔性齒圈固有頻率隨齒圈厚度增加的變化特點Fig.7 The Natural Frequency of Flexible Gear Ring Varies with the Increase of Gear Ring Thickness

4.2 齒圈變形特點分析

在行星輪運轉(zhuǎn)過程中，考慮到處理的簡便性以及使其具有代表性，選擇行星輪的兩種特殊嚙合位置，即在支撐點（2～3）的中間處和支撐點3處，分別作出齒圈變形圖并分析其特點。

當(dāng)太陽輪運轉(zhuǎn)到支撐點（2～3）的中間位置時，如圖 8（a）所示?？梢钥吹?，在太陽輪與齒圈嚙合的位置處齒圈變形較大，且嚙合區(qū)的齒圈均呈現(xiàn)出外凸的特點，而與外凸齒圈相鄰的齒圈段出現(xiàn)內(nèi)凹之勢。明顯看出，在嚙合區(qū)1處，由于嚙合位置在兩個支撐點的中間位置，該處扭簧的扭轉(zhuǎn)變形角度較大，所對應(yīng)的扭簧扭轉(zhuǎn)力矩也較大；而在嚙合2區(qū)，由于行星輪的嚙合位置距支撐點5相對較近，受到支撐點力的作用，嚙合2區(qū)的齒圈變形較為平滑微小，且沒有出現(xiàn)較大的尖角區(qū)，所以此嚙合區(qū)的扭簧扭轉(zhuǎn)變形角度以及扭轉(zhuǎn)力矩大小在整個嚙合區(qū)中最小。

進(jìn)一步研究可得：在齒圈的8個支撐點位置以及三個嚙合位置處，其連接扭簧的扭轉(zhuǎn)變形角度與扭轉(zhuǎn)力矩均有突變的情況發(fā)生。在圖中可以明顯的看出該11個位置對應(yīng)著圖形中的尖角處，這可以很好地說明在支撐點處以及行星輪與齒圈的嚙合區(qū)，輪齒易受到較為復(fù)雜的交變載荷，因此在設(shè)計齒圈時應(yīng)適當(dāng)增大支撐點處輪齒的剛度，以減小齒圈故障發(fā)生的概率。

圖8 齒圈變形特點Fig.8 Ring Gear Deformation Characteristics

如圖8（b）所示，可以看到：在嚙合1區(qū)，行星輪恰好與支撐點3處的齒圈輪齒相嚙合，由于受到支撐點作用力的影響，嚙合處的齒圈輪齒沒有發(fā)生較大的徑向位移，但嚙合區(qū)的齒圈變形較為明顯，究其原因是：因為嚙合處的齒圈輪齒被支撐彈簧所約束（徑向及周向約束），該輪齒由于受到行星輪嚙合力作用，從而沿其回轉(zhuǎn)軸線轉(zhuǎn)動較大的角度（α2），所對應(yīng)此處扭簧的扭轉(zhuǎn)變形角度及扭轉(zhuǎn)力矩均產(chǎn)生較大的值。顯然在嚙合2區(qū)，齒圈的變形最為明顯，相對于整個齒圈而言，嚙合2區(qū)的齒圈變形量達(dá)到了最大值0.059mm；在嚙合3區(qū)，齒圈的變形量相對就比較小。

5 結(jié)論

（1）柔性齒圈下低頻段的嚙合頻率、二倍頻及三倍頻的頻譜幅值相比于剛性齒圈條件下所對應(yīng)的頻譜幅值均有所減小。（2）增大齒圈系統(tǒng)的剛度參數(shù)會提高其固有頻率。且隨著齒圈厚度的增加即齒圈柔性降低，各節(jié)徑固有頻率及各節(jié)徑間的頻率差均隨之增大。齒圈厚度的增加對八節(jié)徑固有頻率有較大的影響。（3）齒圈發(fā)生最大變形的位置不在嚙合點，而出現(xiàn)在與嚙合點相鄰的齒圈段處；當(dāng)支撐點處的齒圈輪齒與行星輪嚙合時，該處輪齒的齒槽處會產(chǎn)生較大的扭轉(zhuǎn)力矩以及較大的彎曲變形。