2020年2月號(hào)問(wèn)題解答

(解答由問(wèn)題提供人給出)

2526在四邊形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)，BE與AC交于點(diǎn)F，射線DF交BC于點(diǎn)G.R是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，射線RG交CF于點(diǎn)P，AE與PD交于點(diǎn)H.證明：R、F、H三點(diǎn)共線.

(重慶市合川太和中學(xué) 袁安全 401555)

證明如圖所示，設(shè)直線HF分別交直線AB、PG于點(diǎn)R1、R2,則欲證R、F、H三點(diǎn)共線，

事實(shí)上，由面積關(guān)系可得

=1.

故原問(wèn)題獲證.

2527在△ABC中，求證:

(陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000 )

證明注意到△ABC中的恒等式:

=1.

則x,y,z>0,xy+yz+zx=1.

應(yīng)用三角公式和柯西不等式，得

將以上三式相加，并注意到xy+yz+zx=1,立得

注意到常見(jiàn)不等式

不妨設(shè)sinA≥sinB≥sinC,則

應(yīng)用切比雪夫不等式，得

2528試證明tan27°=sec36°-tan36°.

(安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005 )

證明因?yàn)閠an27°·tan63°=1,

所以tan27°·tan(27°+36°)=1,

所以tan27°(tan27°+tan36°)=1-tan27°tan36°,

所以tan227°+2tan36°tan27°-1=0,

所以由求根公式得

=sec36°-tan36°.

所以問(wèn)題得證.

(浙江省慈溪市慈溪實(shí)驗(yàn)中學(xué) 華漫天 315300)

證明作EG⊥AD于G，F(xiàn)H⊥AD于H，分別延長(zhǎng)AB、FH交于點(diǎn)I.

代入上式得

下證原命題.

易得△AEG∽△CBA，得AE·AB=BC·EG，由△AFH∽△BCA，得AF·AC=BC·FH，所以

2530已知a,b,c∈[-2,2],a+b+c=0，求a3+b3+c3的最大值.

(四川省成都華西中學(xué) 張?jiān)迫A 610051)

解因?yàn)閍∈[-2,2],所以a3-(3a+2)=(a+1)2(a-2)≤0,所以a3≤3a+2,同理,b3≤3b+2,c3≤3c+2,a3+b3+c3≤(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=3(a+b+c)+6=6,且當(dāng)a=2,b=c=-1,或b=2,a=c=-1,或c=2,a=b=-1時(shí),a3+b3+c3=6,故a3+b3+c3的最大值為6.

2020年3月號(hào)問(wèn)題

(來(lái)稿請(qǐng)注明出處——編者)

2531設(shè)兩個(gè)正數(shù)x,y滿足xy=1,求證:

①

(天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 300456)

2532如圖，已知梯形ABCD，且△ABC為等腰直角三角形，作PD⊥BD、QD⊥DC且△PDB∽△QDC，PM⊥AD，R為PQ中點(diǎn)，求證：AB∥RM.

(江西師范高等專科學(xué)校 王建榮 335000)

2533已知在銳角△ABC中，a2cosBcosC=

9bccos2A,求cos3A的取值范圍.

(安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005)

2534已知拋物線Γ：y=ax2+bx+c，(a≠0). ⊙O：x2+y2=r2(r>0).在拋物線Γ上任取三點(diǎn)A、B、C， 若直線AB、AC均與⊙O相切，則直線BC也與⊙O相切的充要條件為

(浙江臺(tái)州市洪家中學(xué) 鄔天泉 318015)

2535已知a，b，c>0，求證：

(河南省南陽(yáng)師范學(xué)院軟件學(xué)院 李居之 孫文雪 473061)