劉 佳 劉攀坤 郭玉峰

(1.北京市通州區(qū)運河中學 101100；2.北京師范大學附屬中學 100052；3.北京師范大學數(shù)學科學學院 100875)

1 直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵和構(gòu)成

數(shù)學核心素養(yǎng)是當前研究的熱點.如何理解直觀想象、直觀想象素養(yǎng)在實踐教學中的落實等已有很多研究成果.目前較為普遍的認識是，直觀想象包括幾何直觀、空間想象兩個方面，幾何直觀和空間想象有關(guān)但不同，空間想象一定程度依賴于幾何直觀.建立數(shù)與形的聯(lián)系、借助幾何直觀使抽象問題形象化、構(gòu)建直觀模型使復(fù)雜問題簡單化，是落實直觀想象素養(yǎng)的幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)[1]-[3].此外，也有研究是關(guān)于直觀想象在中高考解題中的具體應(yīng)用[4]-[7].

有關(guān)幾何直觀，按照《辭?！泛汀吨袊蟀倏迫珪返亩x，直觀是感性認識.但就數(shù)學學科領(lǐng)域而言，是有不同解釋和理解的.例如，數(shù)學家克萊因認為，數(shù)學依靠正確的直觀，而不是依靠邏輯，數(shù)學直觀就是對概念、證明的直接把握[8].希爾伯特則認為，數(shù)學中有兩種傾向，一種是抽象的傾向，一種是直觀的傾向.后者指更直接地掌握所研究的對象及其關(guān)系，即領(lǐng)會它們生動的形象[9].可見，幾何直觀主要是借助圖形對問題的整體把握和深刻洞察，是利用圖形來描述和分析問題，這已不僅僅指感性認識，也包括了理性認識.空間想象則是對客觀事物的空間形式(空間幾何體)進行的觀察、分析和認知.

直觀想象素養(yǎng)在《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》(以下簡稱“2017版課標”)的定義為：借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).其四個方面的構(gòu)成是：建立形與數(shù)的聯(lián)系、利用幾何圖形描述問題、借助幾何直觀理解問題、運用空間想象認識事物.可見，直觀想象素養(yǎng)有較為明確的定義及構(gòu)成，但用幾何直觀和空間想象來定義直觀想象實際是比較模糊的.為此，借助文獻檢索以及教學實踐，我們將直觀想象素養(yǎng)四個方面的構(gòu)成具體化，見表1[10]：

表1 直觀想象素養(yǎng)的構(gòu)成

2 基于直觀想象素養(yǎng)構(gòu)成的不同水平劃分

2017版課標從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思規(guī)定了直觀想象素養(yǎng)的三個水平，其中水平一面向高中會考，水平二面向高考，水平三面向大學自主招生考試.為更好揭示直觀想象素養(yǎng)在四個構(gòu)成成分的不同要求，我們梳理了如下的水平劃分[11]：

(1)建立形與數(shù)的聯(lián)系.這是數(shù)形結(jié)合的第一步，包括“由數(shù)到形”的轉(zhuǎn)化以及“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化.例如，水平一要求能夠在熟悉的情境中，抽象出實物的幾何圖形，建立簡單的圖形與實物之間的聯(lián)系.體會圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系.水平二要求能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形，等等.

(2)利用幾何圖形描述問題.數(shù)形結(jié)合后，可以借助幾何圖形描述問題，這是數(shù)形結(jié)合的進一步，也是幾何直觀的初級形式.例如，水平一要求能夠描述簡單圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系及其特有性質(zhì)，能夠通過圖形直觀認識數(shù)學問題.水平二要求能夠借助圖形提出數(shù)學問題，能夠通過直觀想象提出數(shù)學問題.水平三要求能夠在綜合的情境中，借助圖形，通過直觀想象提出數(shù)學問題.

(3)借助幾何直觀理解問題.這是幾何直觀的深化，包括借助幾何問題理解代數(shù)問題和幾何問題等.例如，水平一要求能夠在熟悉的數(shù)學情境中，借助圖形的性質(zhì)和變換(平移、對稱、旋轉(zhuǎn))發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律.能夠用圖形描述和表達熟悉的數(shù)學問題、啟迪解決這些問題的思路，體會數(shù)形結(jié)合.水平二要求能夠掌握研究圖形與圖形、圖形與數(shù)量之間關(guān)系的基本方法.能夠用圖形探索解決問題的思路.能夠形成數(shù)形結(jié)合的思想，體會幾何直觀的作用.水平三要求能夠綜合利用圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，理解數(shù)學各分支之間的聯(lián)系.能夠借助直觀想象建立數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，并形成理論體系的直觀模型，等等.

(4)運用空間想象認識事物.除了幾何直觀描述、理解問題，還需要幾何圖形進行空間想象.例如，水平一能夠在熟悉的情境中抽象出實物的幾何圖形等.水平二在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討數(shù)學問題.水平三通過想象，對復(fù)雜的數(shù)學問題進行直觀表達，反映數(shù)學的本質(zhì)，形成解決問題的思路.在交流的過程中，能夠利用直觀想象探討問題的本質(zhì)及其與數(shù)學的聯(lián)系，能夠在日常生活中利用圖形直觀進行交流.

以上水平劃分，體現(xiàn)了2017版課標力圖說明直觀想象素養(yǎng)的不同層次要求，強調(diào)了數(shù)形結(jié)合，以及借助幾何圖形提出問題、解決問題，體現(xiàn)幾何直觀和空間想象的重要作用.這無疑對實踐教學還是考試評價都具有一定的指導意義.

3 基于直觀想象素養(yǎng)的構(gòu)成和水平劃分的一道數(shù)學高考試題研究

以下是2019年高考北京卷理科選擇題的第8題，不妨稱為例1.

圖1

例1數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如圖1)．給出下列三個結(jié)論：

①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)；

③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．

其中，所有正確結(jié)論的序號是( ).

A.① B.② C.①② D.①②③

這道北京高考題目的順利解決，有賴于學生在平時練習中相關(guān)數(shù)學思維的訓練和解題思路的探究.下面的例2和例3是學生平日練習或測試中遇到的題目，與例1的解決有很大相通之處.

例2如果把一個平面區(qū)域內(nèi)兩點間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線x4+y2=2圍成的平面區(qū)域的直徑為( ).

圖2

例3如圖2，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，∠APB是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為( ).

A.4β+4cosβ

B.4β+4sinβ

C.2β+2cosβ

D.2β+2sinβ

例1是有關(guān)曲線與方程的題目，探究曲線經(jīng)過的整點個數(shù)、圖形上的點到原點的距離的最值，以及圖形的面積大小的估計問題.學生平日練習中的例2、例3的解題思路將有利于例1的解決.其中例2是先給出平面區(qū)域的直徑的定義，然后探究一個給定曲線方程所圍成的平面區(qū)域的直徑.例3是一道以圓為背景的動點問題，探究陰影部分面積的最大值.這三道題的特點是情境和題目問法都比較新穎，對學生數(shù)學思維的靈活性要求比較高，一定程度需要學生借助直觀想象解決問題.下面我們基于直觀想象素養(yǎng)的構(gòu)成以及三個不同水平劃分研究這三道題目.

3.1 基于直觀想象素養(yǎng)內(nèi)涵和構(gòu)成的分析

下面我們基于直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵以及其中的三個構(gòu)成成分分析例1-3.

第一，建立形與數(shù)的聯(lián)系.通過想圖、畫圖、識圖，建立形與數(shù)的聯(lián)系，建立圖形與數(shù)量之間的對應(yīng).

例1的命題①需要找出曲線C經(jīng)過的所有整點.觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)所給的曲線是一個軸對稱圖形，而且曲線與坐標軸有交點，結(jié)合曲線方程，容易得到曲線C與坐標軸的交點：(-1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,-1)，這四個點恰好都是整點.繼續(xù)觀察圖形，尋找其他可能的整點.顯然x軸下方不可能再有整點，進一步分析x軸上方的圖形，當x取1時，發(fā)現(xiàn)(1，1)滿足曲線方程；當x取-1時，發(fā)現(xiàn)(-1，1)也滿足曲線方程，可見(-1,1)和(1,1)都在曲線上，也是曲線C經(jīng)過的整點.

圖3

第二，利用幾何圖形描述問題. 通過借助幾何直觀轉(zhuǎn)化問題，“以形助數(shù)”，使復(fù)雜問題形象化.

例2根據(jù)平面區(qū)域的直徑的定義可知，平面區(qū)域的直徑是曲線上的兩個動點之間距離的最大值，用代數(shù)的方法很難處理兩個動點的距離問題.這時，不妨結(jié)合幾何性質(zhì)，從畫曲線的圖形或曲線方程容易發(fā)現(xiàn)，曲線既關(guān)于原點對稱，又關(guān)于x軸和y軸對稱，故可以把曲線所圍的平面區(qū)域的直徑轉(zhuǎn)化為曲線上的點到原點距離的最大值的2倍，而曲線上的點到原點距離的最大值相對容易處理，達到“以形助數(shù)”的目的.

第三，借助幾何直觀理解問題. 借助幾何直觀理解問題，有助于化繁為簡和問題的解決.

(1)由數(shù)到形，借助幾何圖形，利用幾何方法解決問題

圖4

圖5

例1中的命題③是估計曲線C所圍“心形”面積大小.“心形”不是規(guī)則圖形，無法用公式直接計算面積.可以借助割補法，把不規(guī)則圖形分割(或補全一個大的規(guī)則圖形)為若干個規(guī)則圖形，結(jié)合①中的六個整點，把這6個整點首尾依次連接就可以得到一個多邊形，如圖5，且這個多邊形正好位于“心形”內(nèi)部，只要求出這個多邊形的面積，即可估計出這個“心形”圖形的面積，借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)這六個特殊的整點能夠連成一個規(guī)則的多邊形，是求解問題的突破口.

圖6

例3中陰影面積隨點P的變化而變化，要求陰影面積的最大值，需首先確定陰影面積取得最大值時點P的位置.陰影部分是一個不規(guī)則圖形，使用割補法求解這個圖形的面積.考慮到點A和B是圓上定點，連接AB，陰影部分被分割成一個△PAB和一個弓形，其中弓形面積不變，△PAB的底邊AB不變，只需使點P到直線AB的距離達到最大，陰影部分的面積就達到最大.由圓的軸對稱性知，線段AB的垂直平分線是圓的一條對稱軸，當點P恰好位于弦AB的垂直平分線與優(yōu)弧AB的交點時(如右圖6所示)，△PAB的面積最大，此時陰影部分面積也最大.

(2)由形到數(shù)，借助幾何直觀，利用代數(shù)方法解決問題

用代數(shù)方法研究解析幾何是很常見的方法，當遇到計算量特別大或者未知量特別多而一籌莫展時，不妨回歸問題本身，挖掘題目中所蘊含的幾何性質(zhì)，把原問題進行轉(zhuǎn)化，比如通過消參或借助不等式，將復(fù)雜的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為比較簡單的式子，“以形助數(shù)”，快速解決問題.

例3中，當確定使陰影面積達到最大時的點P的位置后，接下來需要計算陰影面積.由于弓形沒有專門的面積公式，所以需要對陰影部分重新分割，標出圓的圓心O，弓形的面積可以用扇形AOB的面積減去△AOB的面積，觀察圖7所示可得：陰影部分的面積正好是扇形AOB的面積、△POB和△POA的面積之和，由圓的性質(zhì)可得△POB和△POA都是頂角為β的等腰三角形，最后根據(jù)扇形和三角形面積公式，即可算出陰影面積的最大值.在求解較復(fù)雜的代數(shù)問題時，借助幾何性質(zhì)，可以簡化計算.

圖7

3.2 基于直觀想象素養(yǎng)水平劃分的分析

以上我們基于直觀想象素養(yǎng)構(gòu)成成分分析了例1-3的解答.下面我們對這三道例題在直觀想象素養(yǎng)的不同水平表現(xiàn)進行分析.

根據(jù)前面第一所述，“建立形與數(shù)的聯(lián)系”有兩個劃分水平.水平一側(cè)重于畫圖和識圖，水平二側(cè)重于通過畫圖、識圖和辨圖建立圖形與數(shù)量之間地對應(yīng)，建立數(shù)與形的轉(zhuǎn)化.例1命題①借助圖形先觀察曲線與坐標軸的交點，再觀察其他象限內(nèi)曲線經(jīng)過的整點，更多體現(xiàn)了水平一.例2要求曲線所圍的平面區(qū)域的直徑，先畫出曲線方程的圖形更多地體現(xiàn)了水平二.例3尋找陰影面積最大時點P的位置也是更側(cè)重體現(xiàn)了水平二.

根據(jù)前面第二所述，“利用幾何圖形描述問題”主要強調(diào)借助圖形認識和提出數(shù)學問題，有三個水平劃分.水平一主要是借助直觀明確目標，水平二側(cè)重于轉(zhuǎn)化原問題，建立新目標，水平三側(cè)重于綜合分析問題，化繁為簡.例1命題②借助圖形觀察或測量估出曲線上的點到原點的最大距離，體現(xiàn)了水平一和水平二，例2把求曲線所圍的平面區(qū)域的直徑轉(zhuǎn)化為求曲線上的點到原點的最大值則更多體現(xiàn)了水平三.

根據(jù)前面第三所述，“借助幾何直觀理解問題”主要指借助圖形解決問題，有三個水平劃分.水平一側(cè)重于尋找圖形與圖形，圖形與數(shù)量之間關(guān)系，水平二側(cè)重于借助數(shù)形結(jié)合思想，

函數(shù)思想、方程(不等式)模型思考問題，水平三是數(shù)形結(jié)合的進一步深入，綜合分析已知條件與目標之間聯(lián)系，把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為較簡單問題.例2用函數(shù)思想求曲線上的點到原點的最大值，更多體現(xiàn)水平二的要求，例1命題③構(gòu)造整點多邊形也是在水平一基礎(chǔ)上更多體現(xiàn)了水平二的要求.

綜上分析，同一個知識點可能會同時涉及到直觀想象素養(yǎng)的前三個構(gòu)成成分中的2個或3個構(gòu)成成分，同一個內(nèi)容可能也對應(yīng)著某一直觀想象構(gòu)成成分下不同的水平，但不同知識點對直觀想象素養(yǎng)的考查往往是有側(cè)重點的，這體現(xiàn)了直觀想象素養(yǎng)的豐富性和層次性.

4 教學啟示與反思

我們基于直觀想象素養(yǎng)的三個構(gòu)成成分分析了2019年北京理科高考卷的一道試題及其相關(guān)的兩道練習題，并進一步分析了這三道題目解答中所體現(xiàn)的直觀想象素養(yǎng)的三個不同水平.為此，針對數(shù)學教學中如何借助直觀想象幫助學生更好地認識問題和解決問題，我們提出如下建議和思考.

(1)培養(yǎng)學生想圖、畫圖、用圖的習慣，利用圖形描述問題和分析問題

“在大多數(shù)情況下，數(shù)學的結(jié)果是‘看’出來的.而不是‘證’出來的，所謂的‘看’是一種直接判斷，這種直接判斷是建立在長期有效的觀察和思考的基礎(chǔ)之上[12].”很多數(shù)學問題看起來很復(fù)雜、抽象，比如復(fù)雜函數(shù)問題和新型曲線方程問題等，如果能夠畫出其相應(yīng)的圖形或圖象，觀察圖形或圖象的性質(zhì)，通過“幾何”的手段[13]，把問題中的代數(shù)形式的表象和幾何直觀的深層次含義建立起聯(lián)系，加深對所求問題的認識和理解，達到用“直觀”的眼光看問題的目的，進而將抽象、復(fù)雜的問題變得簡明、形象，有助于快速發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，以及快速尋找到求解問題的方法，在此過程中培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).

(2)借助幾何直觀，從變換的視角認識問題和分析問題

數(shù)學教育家傅種孫先生曾言：“幾何之務(wù)不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然[14]．數(shù)學概念是抽象的，借助圖形或圖象可以在一定程度上幫助學生更好地理解這些抽象概念，借助幾何直觀可以更巧妙地解決一些復(fù)雜問題.對于一個看起來“陌生復(fù)雜”的代數(shù)式，如果能夠挖掘出其內(nèi)在的幾何模型或含義，借助這個幾何模型，不斷地變換問題，就可以更清晰地認識問題，更快速地解決問題，這就真正學會了用幾何直觀的眼光看問題、思考問題.

(3)數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識和能力

很多數(shù)學知識或問題既可以從“數(shù)”的角度去思考，也可以從“形”的角度去分析，“數(shù)”和“形”適當碰撞，才能更深入地直達問題的本質(zhì).正如華羅庚先生所說的，“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，很多解析幾何、函數(shù)、不等式、立體幾何等問題都具有“數(shù)”和“形”的雙重性質(zhì)，代數(shù)運算是外在，幾何性質(zhì)蘊含其中.借助數(shù)形結(jié)合，降低度量計算，突出直觀想象素養(yǎng)[15]，有助于幫助學生構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的方法.

(4)關(guān)注不同層次學生的需求和能力，循序漸進，培養(yǎng)學生對直觀的敏捷洞察力

直觀想象由四個構(gòu)成成分組成，每個構(gòu)成成分對應(yīng)著不同的水平.直觀想象素養(yǎng)的構(gòu)成成分和其對應(yīng)的水平是螺旋上升的，對學生的能力要求也是不斷提高的，但不同層次的學生的幾何直觀的洞察力不同，數(shù)形結(jié)合的意識和能力也不同，在構(gòu)建幾何直觀模型解決問題時，要尊重學生的心理認知水平的差異，遵循學生的認知規(guī)律，依托最近發(fā)展區(qū)理論，在學生的現(xiàn)有水平和學生的未來水平之間無縫銜接，讓不同層次的學生在對幾何直觀都有進一步的認識，逐步幫助學生形成數(shù)形結(jié)合的思想，幫助學生逐步建立起一定的數(shù)學直觀，能夠借助直觀想象提出問題、分析問題和解決問題，真正落實直觀想象素養(yǎng)課程目標的要求.