白雪峰 郭文征

(1.北京第17中學(xué) 100124；2.北京市芳草地國際學(xué)校富力分校 100121)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“標(biāo)準(zhǔn)”)明確指出：數(shù)學(xué)在形成人的理性思維精神、科學(xué)精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，深刻把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的思維思考世界．[1]正如G·波利亞指出：思維應(yīng)該在學(xué)生的頭腦中產(chǎn)生出來，而教師僅僅應(yīng)起一個產(chǎn)婆的作用．因此，教師要善于通過精準(zhǔn)選擇學(xué)習(xí)材料，系統(tǒng)設(shè)計探究任務(wù)，合理組織學(xué)習(xí)活動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，指導(dǎo)學(xué)生體驗發(fā)現(xiàn)，激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

在探究過程中，學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題展開研究學(xué)習(xí)，通過主動思考將逐步理解直觀與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系，體驗發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的樂趣，學(xué)生敢于拓展與探究的思維品質(zhì)、勇于批判與質(zhì)疑的理性精神都將得到不同程度的深化與發(fā)展．下面，筆者僅以2018年北京市平谷區(qū)中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷第27題為例，闡述這方面的研究與實踐．

問題在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于點C，交∠ABC的平分線于點D，AE平分∠BAC交BD于點E，過點E作EF∥BC交AC于點F，連接DF．

(1)補全圖1；

(2)如圖1，當(dāng)∠BAC=90°時，

①求證：BE=DE；

②寫出判斷DF與AB的位置關(guān)系的思路(不用寫出證明過程)；

(3)如圖2，當(dāng)∠BAC=α?xí)r，直接寫出α，DF，AE的關(guān)系．

圖1

圖2

本題是一道拓展探究空間廣闊、數(shù)學(xué)育人功能豐富、充分體現(xiàn)素養(yǎng)立意的幾何試題．命題者以特殊三角形為背景，從研究等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)為切入點，步步推進，層層深入，將問題不斷拓展到一般的等腰三角形，同時，基于三角形相關(guān)的基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，突出考查了學(xué)生的合情推理、演繹推理能力和創(chuàng)新思維品質(zhì)．為了能夠全面反映和深度理解命題者的命題意圖，筆者首先給出上述問題每一問的嚴(yán)格證明．

1 原模擬試題及其全面解答

(1)補全圖1，如圖3，過點E作EF∥BC交AC于點F，連接DF．

圖3

(2)如圖3，①證明，延長AE與BC交于點H．

因為AB=AC，∠BAC=90°，

所以△ABC為等腰直角三角形．

又AE為頂角∠BAC的平分線，

所以AH⊥BC，且H為BC的中點．

注意到DC⊥BC，所以AH∥DC．

所以E為BD的中點．即BE=DE．

②判斷DF∥AB．

說明該模擬試題是把等腰直角△ABC中的幾何性質(zhì)拓展到一般的等腰三角形，筆者希望把上述問題中的等腰三角形的性質(zhì)拓展到一般直角三角形．更進一步地，再把其中等腰直角三角形的性質(zhì)拓展到一般的三角形．因此，筆者將給出問題(2)中②的多種證明，為探究拓展鋪墊證明思路．

圖3(a)

證法1如圖3(a)，延長DF與BC交于點G．

因為△ABC為等腰直角三角形，

所以∠ACB=45°．

因為DC⊥BC，

所以∠DCF=45°．

在△DBG中，

因為E為BD中點，EF∥BG，

所以F為DG的中點．

所以CF為直角△DCG斜邊DG的中線．

所以FC=FD．

所以∠CDF=45°．

所以∠DFC=90°．

注意到∠BAC=90°，所以DF∥AB．

證法2如圖3(b)，過點D作DK垂直BA的延長線于點K，則有DC=DK，DK∥AF．設(shè)BD與AC交于點G，易證∠ABG=∠CBG，∠1=∠2=∠3=∠4=∠CDG．

圖3(b)

所以AE=AG，CD=CG．

過點G作GP⊥BC于點P，

則有GP=GA=AE．

易證△AEF≌△GPC，

即兩個等腰直角三角形全等．

所以AF=CG，所以AF=DK．

所以四邊形AFDK為矩形．

所以DF⊥AC．

又BA⊥AC，所以DF∥AB．

證法3如圖3(c)，延長CD與BA的延長線交于點G．

圖3(c)

因為EF∥HC，

因為AH⊥BC，GC⊥BC，

所以AH∥CG．

所以DF∥GA，即DF∥AB．

證明如圖4，延長AE與BC交于點H，則有∠1=∠2，AH⊥BC．

圖4

因為DC⊥BC，所以AH∥DC．

所以∠3=∠2=∠1．

延長DF與BC交于點G,

因為E為BD中點，

又EF∥BG，

所以F為DG的中點．

所以CF為Rt△DCG的斜邊DG的中線，

所以FC=FD,所以∠3=∠4,所以∠1=∠4．

所以∠ABC=∠DGC．

所以AB∥DG，即DF∥AB．

所以∠6=∠8．

因為EF∥BC，所以∠7=∠5．

因為BD為∠ABC平分線，所以∠5=∠6．

所以∠7=∠8．所以DF=EF．

因為EF∥BC，所以∠AEF=∠AHC=90°．

說明在圖4中，AE為∠BAC的平分線，BE為∠ABC的平分線，所以E為△BAC的內(nèi)心．FC=FD，又FD=FE，所以FC=FD=FE，即點F為以D、C、E為頂點的三角形的外心．從“內(nèi)心”“外心”切入，我們可以拓展第(3)問，即把原問題中等腰直角三角形的背景拓展演變?yōu)橐砸话闳切螢楸尘暗囊粋€新問題．

2 問題拓展與解析

基于上述問題證明和拓展的思路，筆者把原中考題拓展到一般的直角三角形，進而再拓展到一般的三角形．

拓展問題1如圖5，在△ABC中，BA⊥CA，AH⊥BC于點H，DC⊥BC于點C，交∠ABC的平分線于點D，BD交AH于點E，過點E作EF∥BC交AC于點F，連接DF．

求證：DF∥AB，DF=EF．

圖5

證明如圖5，過點D作DK垂直于BA的延長線于點K，則有DK∥FA，DC=DK．設(shè)BD與AC交于點G，易證∠1=∠2，∠3=∠4=∠5=∠6=∠CDG．所以AE=AG，CG=CD．

過點G作GP⊥BC于點P，

則有AG=GP=AE．

因為EF∥BC，

所以∠AEF=∠AHC=90°，

∠AFE=∠GCP．

所以Rt△AEF≌Rt△GPC．

所以AF=CG=DC=DK．

所以四邊形AFDK為矩形．所以DF⊥AC．

又BA⊥AC，所以DF∥AB，∠1=∠EDF．

因為EF∥BC，所以∠2=∠DEF．

所以∠EDF=∠DEF．所以EF=DF．

說明如圖5(a)，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于點H，∠ABC的平分線交AH于點E，交AC于點G，則有AE=AG．本問題是中考數(shù)學(xué)及幾何習(xí)題集上常見的問題．如圖5(b)，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于點H，∠ABC的平分線交AH于點E，交AC于點G．EF∥BC交AC于點F，則有AF=GC．這個問題是上面問題的引申題，拓展問題1也可以看成是上面問題的拓展．

圖5(a)

圖5(b)

圖6

拓展問題2已知：如圖6，E為△ABC的內(nèi)心，EF∥BC交AC于點F，CD∥AE交BE的延長線于點D．求證：F為△DCE的外心．

證明如圖6，延長AE交BC于點H，延長CD交BA的延長線于點G，連接DF．因為EF∥BC，

因為CD∥AE，

所以∠1=∠6．

因為E為△ABC的內(nèi)心，

所以∠1=∠2，∠3=∠4．

所以∠5=∠6．所以EF=DF．

因為DF∥AB，DC∥AE且方向相同，

所以∠3=∠8．所以∠4=∠8．所以∠7=∠8．

所以CF=DF．所以EF=DF=CF．

所以F為△DCE的外心．

說明證明拓展問題2的最終目標(biāo)就是要證明EF、DF、CF三條線段相等．回顧上述證明過程，筆者基于已知條件中的平行條件，通過兩次利用平行線截線段成比例定理，再證得一組平行線，即DF∥AB，最后通過點E為△ABC的內(nèi)心和三組平行線等條件證得∠5與∠6、∠7與∠8兩組角分別相等，從而獲得兩個等腰三角形△EFD和△CFD，使問題得證．

3 深度反思與啟示

前蘇聯(lián)著名教育實踐家和教育理論家蘇霍姆林斯基告訴教師：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望感到自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者．在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈．”[2]筆者認(rèn)為，中學(xué)生正處在思維發(fā)展、能力提升和品格塑造的黃金時期，有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動正是促進學(xué)生思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)能力提升的重要平臺．因此，更需要教師引導(dǎo)和指導(dǎo)學(xué)生在接受和記憶、模仿和練習(xí)的基礎(chǔ)上，大膽地開展思考與發(fā)現(xiàn)、探究與創(chuàng)新的學(xué)習(xí)活動，在系統(tǒng)建構(gòu)知識體系的基礎(chǔ)上，形成深入思考的習(xí)慣、探究的方法和創(chuàng)造的信心，不斷深化對數(shù)學(xué)思想與價值觀點的理解．

3.1 讓獨立思考成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新常態(tài)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)該是生動活潑、個性鮮活的有意義的過程，學(xué)習(xí)方式也一定是豐富多彩的，認(rèn)真聽講、積極思考、動手實踐、主動探索、合作探究、表達交流、展示分享等等．[3]在課堂教學(xué)中，教師要基于內(nèi)容、學(xué)情等主客觀條件，善于選擇恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方式，其中獨立思考不應(yīng)被冷落．

獨立思考是一個人內(nèi)心成長的重要過程，是學(xué)生形成客觀判斷能力、質(zhì)疑思維品質(zhì)和勇于探究能力的有效途徑．因此，教師要善于設(shè)計學(xué)習(xí)情境、活動任務(wù)和思考問題，激發(fā)學(xué)生樂于思考的內(nèi)在動力和潛能；在提出思考問題、布置活動任務(wù)后，要學(xué)會停頓和耐心等待，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)獨立思考問題、深度理解問題、形成表達意見、展開研討交流和修正完善結(jié)論等思維活動的時空．同時，通過仔細(xì)觀察學(xué)生的面部表情和活動狀態(tài)，科學(xué)分析并準(zhǔn)確研判學(xué)生的學(xué)習(xí)心理狀態(tài)，恰時、恰點、恰當(dāng)?shù)膯l(fā)和追問，或者及時調(diào)整和改進教學(xué)走向．在學(xué)生回答時，要善于引導(dǎo)全班學(xué)生認(rèn)真傾聽，深入思考同伴的回答情況，運用延遲評價理論，引導(dǎo)學(xué)生自評或互評，以提高學(xué)生思考的深度和廣度．長此以往，獨立思考必將成為學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新常態(tài)．

當(dāng)獨立、深刻且規(guī)范化的思考變成了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，當(dāng)學(xué)會有邏輯且創(chuàng)造性的思考問題成為教師課堂教學(xué)的重要目標(biāo)，當(dāng)思想交鋒、智慧碰撞、師生共同學(xué)習(xí)和探討交流成為數(shù)學(xué)課堂的必然樣態(tài)，數(shù)學(xué)育人目標(biāo)的實現(xiàn)也將成為可能．

3.2 讓拓展探究成為學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源動力

“標(biāo)準(zhǔn)”倡導(dǎo)教師要轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)教學(xué)方式，在實踐中推動探究式教學(xué)，重視學(xué)生自主參與及其探究能力的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．平面幾何問題的推理證明是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維品質(zhì)、發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和理性思維精神的有效載體，平面幾何問題的研究過程也是促進學(xué)生深入?yún)⑴c學(xué)習(xí)、培養(yǎng)學(xué)生探究能力的重要途徑，中學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該十分重視并充分發(fā)揮平面幾何教學(xué)的教育價值．

例如，在解決平面幾何問題時常常需要添加輔助線，恰當(dāng)準(zhǔn)確地添加輔助線不僅可以使問題迎刃而解，還可以使問題的解決過程簡化，論證表述簡潔．但是，在課堂教學(xué)中，學(xué)生對添加輔助線常常感到困惑無助，不明所以．學(xué)生不明白為何要添加輔助線，更不理解每一種添加輔助線的方法到底是如何想到的，學(xué)生常常自責(zé)都是因為自己腦子不好使，想不到要這樣或那樣添加輔助線．時間久了，學(xué)生便失去了學(xué)習(xí)平面幾何的自信心，遇到幾何問題或難題只想躲著走，更別談體驗思考的樂趣和成功的喜悅了．要想改變這樣的學(xué)習(xí)效果，就需要教師精心選擇幾何問題，精致設(shè)計探究活動，引導(dǎo)學(xué)生理解添加輔助線的目的，即通過合理添加輔助線將內(nèi)隱在問題中的幾何圖形的特征和性質(zhì)外顯出來，將題設(shè)條件和結(jié)論之間建立起邏輯關(guān)系，進而創(chuàng)造利用定義、定理等解決幾何問題的條件，達到推證結(jié)論的目的．同時，教師要重視幾何直觀對提高學(xué)生探究能力的重要作用，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會基于對幾何圖形特征的深入觀察分析展開想象，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何圖形直覺地發(fā)現(xiàn)和描述問題，形成大膽的設(shè)想、聯(lián)想或猜想，以此為線索提出解決問題的方案，探索推理論證的過程，有邏輯地進行表達和交流，進而經(jīng)過精細(xì)地邏輯加工得出問題的完整解答．

教師要努力讓拓展探究成為學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的動力之源，切實引導(dǎo)學(xué)生不斷追問添加輔助線的思路是如何想到的，耐心指導(dǎo)學(xué)生回顧反思不同添加輔助線的思路對證明過程的影響，通過類比學(xué)習(xí)和對比研究驅(qū)動學(xué)生積極思考和主動探究，通過經(jīng)歷探求簡潔思路和簡明的方法過程，掌握添加輔助線的一般思路和基本規(guī)律，體會蘊涵于幾何問題解決過程中的思維深刻之美、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)之美和表達簡潔之美．

3.3 讓數(shù)學(xué)表達成為學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的助推器

數(shù)學(xué)教育承載著落實立德樹人的根本任務(wù)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運用數(shù)學(xué)的語言表達世界是重要的育人目標(biāo)之一．在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主體作用，努力成為學(xué)生開展有效學(xué)習(xí)的設(shè)計者、組織者、引導(dǎo)者與合作者．在學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點、思維障礙點等關(guān)鍵之處，教師要敢于慢下來，甚至是停下來，讓學(xué)生獲得足夠的時間和空間，充分體驗觀察、實踐、猜想、計算、推理和驗證的學(xué)習(xí)活動過程，進一步拓寬學(xué)生思考、表達和交流的途徑和方式，指導(dǎo)學(xué)生把沒想明白、理解不清、說不出來的困惑和問題大膽地表達出來，教師也要學(xué)會耐心傾聽學(xué)生學(xué)習(xí)過程中心里話、悄悄話，通過指導(dǎo)學(xué)生輸出促進他們的輸入，開啟學(xué)生思維和討論的大門，促進師生、生生之間高質(zhì)量的思維上的互動．當(dāng)學(xué)習(xí)的課堂變成了一個和諧溫馨的對話場所，課堂的學(xué)習(xí)也就會變得靈活生動起來，師生將會獲得更多意外的精彩，共同體驗到學(xué)習(xí)知識、探討問題、獲得發(fā)現(xiàn)的快樂．

眾所周知，數(shù)學(xué)是關(guān)于思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)獨特的育人功能主要在培養(yǎng)學(xué)生的思維，特別是邏輯思維，要使學(xué)生學(xué)會思考，特別是學(xué)會有邏輯的思考、創(chuàng)造性的思考．平面幾何在培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面具有不可替代的作用．[4]

在平面幾何教學(xué)中，教師要善于利用那些“有意義且不復(fù)雜”的題目啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道．通過引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘幾何圖形的重要特征，幫助學(xué)生借助圖形把握幾何問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，指導(dǎo)學(xué)生通過“一題多證(解)、一題多問、一題多變”等變式教學(xué)方式深入地開展思考和探究拓展，形成研究平面幾何問題的基本套路和思維體系，培養(yǎng)他們重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，將數(shù)學(xué)之大道自然融入問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的全過程之中，切實發(fā)揮平面幾何教學(xué)的教育價值.