渠東劍

(南京市秦淮區(qū)教師發(fā)展中心 南京市高中數(shù)學(xué)渠東劍名師工作室 210002)

1 問題的提出

一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)有兩條主線：知識主線與方法主線．其中知識主線是明線，即教學(xué)要突出知識發(fā)生發(fā)展的過程，體現(xiàn)知識的來龍去脈；方法主線是暗線，思想方法蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程之中，被譽(yù)為數(shù)學(xué)知識的精髓，數(shù)學(xué)的靈魂，需要教師挖掘、提煉并貫穿到知識的教學(xué)中去[1]．當(dāng)下，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)(以下簡稱核心素養(yǎng))，那么，它對教學(xué)實(shí)踐將產(chǎn)生怎樣的影響？它與原有的上述兩條主線有何關(guān)系？或者說，在教學(xué)實(shí)踐層面，我們應(yīng)該如何去主動落實(shí)《課標(biāo)》精神，努力發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)呢？

發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是課程總目標(biāo)，一定意義下是長遠(yuǎn)目標(biāo)．核心素養(yǎng)的養(yǎng)成是日積月累的結(jié)果，基于核心素養(yǎng)的教學(xué)需要整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施，[2]《課標(biāo)》也倡導(dǎo)主題(單元)教學(xué)設(shè)計(jì)．但是，從另一個角度說，課堂是教學(xué)的主陣地，教學(xué)實(shí)施是通過具體的一課時一課時地去完成的．可以說課時教學(xué)是組成教學(xué)實(shí)施的基本單位．那么，就核心素養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成而言，每一節(jié)課都應(yīng)為形成和發(fā)展核心素養(yǎng)作出可能的貢獻(xiàn)．這也就可以認(rèn)為，每一課時都應(yīng)該在核心素養(yǎng)的引導(dǎo)下，去實(shí)施教學(xué)．從而，探討核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的課時教學(xué)，無論是理論層面，還是就實(shí)踐需求，無疑具有重要的意義．

基于此，就課時教學(xué)實(shí)踐而言，本文擬在已有上述兩主條線的基礎(chǔ)上，探索核心素養(yǎng)下的課時教學(xué)，并將以“平面向量基本定理”的教學(xué)為例說明．筆者的觀點(diǎn)是，核心素養(yǎng)是教學(xué)的第三條主線——素養(yǎng)眼線，起教學(xué)向?qū)У淖饔茫劬€，這里取 “暗中偵察情況、必要時擔(dān)任向?qū)А敝?據(jù)《現(xiàn)代漢語詞典(第6版)》)．這樣，就將形成數(shù)學(xué)教學(xué)的三條主線，并且三條主線之間的關(guān)系是，突出知識明線，看重方法暗線，看見素養(yǎng)眼線．

2 核心素養(yǎng)：教學(xué)的第三條主線

核心素養(yǎng)應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)的第三條主線：教學(xué)的眼線．教學(xué)把準(zhǔn)三條主線有兩層涵義．第一，教學(xué)設(shè)計(jì)要高屋建瓴：以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，以思想方法為重點(diǎn)，以知識落實(shí)為載體．第二，教學(xué)實(shí)踐要扎扎實(shí)實(shí)：以知識為根基，以思想方法為主干，以核心素養(yǎng)為目標(biāo)．

2.1 從課程目標(biāo)認(rèn)識

根據(jù)課程目標(biāo)，通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得發(fā)展所必需的“四基”；進(jìn)而，提高“四能”，發(fā)展核心素養(yǎng)，終極目標(biāo)或外在表現(xiàn)是“三會”．形成和發(fā)展核心素養(yǎng)的本源是知識[3]，不突出知識的教學(xué)，發(fā)展核心素養(yǎng)的目標(biāo)終將落空．

反過來，“學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的……”[4]核心素養(yǎng)綜合地體現(xiàn)在 “發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題”的過程中；提高“四能”離不開“四基”，或者說“四能”是在“四基”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的．例如，“發(fā)現(xiàn)問題”的能力，就要在情境中用“數(shù)學(xué)的眼光”去觀察并發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)而形成更高境界的“數(shù)學(xué)的眼光”、更高層次的“發(fā)現(xiàn)問題”的能力．這就是說，要形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，就要落實(shí)“四基”，進(jìn)而提高“四能”；落實(shí)“四基”就意味著要突出知識與思想方法，因?yàn)椤八幕北旧砭桶A(chǔ)知識、基本思想方法；甚至知識本身就蘊(yùn)含著方法，脫離知識的所謂思想方法是不存在的．筆者試圖以框圖描述這三條主線與“課程”、“四基”、“四能”、核心素養(yǎng)與“三會”之間的關(guān)系，如圖1．

圖1 教學(xué)三條主線的關(guān)系

2.2 從知識與能力關(guān)系理解

綜觀知識與能力熟重熟輕的歷史紛爭，人們愈加認(rèn)識到二者對立統(tǒng)一的關(guān)系，知識是生成能力的本源，已成為一個基本的命題．[3]首先，知識本身就包含陳述性知識與程序性知識，一定意義下，程序性知識就是思想方法；其次，由知識學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化而來的能力，又將對知識的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，產(chǎn)生積極的促進(jìn)作用；再次，這種由知識學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化而來的能力，其實(shí)蘊(yùn)含著思維習(xí)慣和方法，這其實(shí)就是核心素養(yǎng)．[2]所以，教學(xué)突出知識主線，以知識發(fā)生發(fā)展的過程為基本線索，是培養(yǎng)能力、落實(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)所必須的．

2.3 從三主條線內(nèi)涵去考量

其一，看見眼線，意味著核心素養(yǎng)應(yīng)當(dāng)成為教學(xué)的向?qū)В鄬τ诰唧w的、顯現(xiàn)的知識與技能、思想與方法而言，核心素養(yǎng)處于更上位層次．它不僅包含知識技能、思想方法，還有情感、態(tài)度與價值觀的內(nèi)涵．看見眼線，就是要心中有核心素養(yǎng)目標(biāo)，以核心素養(yǎng)為向?qū)?，去引領(lǐng)教學(xué)的實(shí)踐．

其二，看重暗線，就是仍然要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法．知識是顯性而具體的，蘊(yùn)含在知識中的思想方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也是數(shù)學(xué)育人的根本．一定意義下，數(shù)學(xué)思想方法既是核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，又是發(fā)展核心素養(yǎng)的依托．因而，教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)充分挖掘知識發(fā)生發(fā)展過程中的思想方法，并有意滲透到教學(xué)過程中去．這是每一節(jié)課都需要努力而為之的，而且要有高度的自覺與積極的主動性．

其三，突出明線，即突出知識的來龍去脈，突出知識發(fā)生發(fā)展的過程．教學(xué)要以知識為載體，以問題為導(dǎo)向，以解決問題為動力，以知識發(fā)生發(fā)展的邏輯過程為基本線索展開，使知識的教學(xué)，成為在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程；使學(xué)生的學(xué)習(xí)成為數(shù)學(xué)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程，讓知識從學(xué)生的頭腦中自然流淌出來．

具體地，不斷地發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題，就是要讓課堂教學(xué)“問題結(jié)構(gòu)”化：學(xué)習(xí)從問題情境開始，這個情境可以是生活情境、數(shù)學(xué)情境或科學(xué)情境；教學(xué)就是基于情境，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題；面對提出的問題，就要分析與解決問題；解決后的問題，又成為新的情境，(這個情境大多屬于數(shù)學(xué)情境)基于數(shù)學(xué)“進(jìn)一步”研究的需要，又將提出新的問題；面對這個新的問題，又要分析與解決問題……這就是依托知識發(fā)生發(fā)展的線索，不斷發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的過程．進(jìn)而，基于這樣的教學(xué)過程，形成和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)．

3 基于三條主線的教學(xué)設(shè)計(jì)舉例

平面向量基本定理是“平面向量”中的一條重要定理，冠有“基本”二字，足見其基礎(chǔ)性、發(fā)展性與核心地位．這里，將基于上述三條主線視角，分析教學(xué)內(nèi)容、嘗試設(shè)計(jì)教學(xué)，探索基于三條主線下的教學(xué)實(shí)踐．

為敘述方便，這里先將平面向量基本定理抄錄如下：

如果e1,e2是同一個平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2．

3.1 基于三條主線的內(nèi)容分析

3.1.1知識主線

第一，分析教材“平面向量”知識發(fā)展的脈絡(luò)．平面向量基本定理位于向量的概念、向量的運(yùn)算(加法、減法、數(shù)乘)之后 ，后續(xù)內(nèi)容則是平面向量的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)形式下的向量運(yùn)算(加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積)．之前的平面向量用有向線段表示，其運(yùn)算形式(例如向量加法的平行四邊形法則)屬于幾何范疇．也就是說，向量兼有數(shù)與形雙重特征，但平面向量基本定理之前的內(nèi)容側(cè)重于幾何特征背景下的研究．即使是向量的數(shù)量積，也完全可以放在平面向量基本定理之前．基于此，我們似乎可以更清楚地看出本章的知識發(fā)展脈絡(luò)，如圖2：

圖2 平面向量知識線路圖

進(jìn)而，尋求平面向量的代數(shù)形式，并基于代數(shù)形式研究其運(yùn)算，(這正是數(shù)學(xué)研究代數(shù)對象的重要手段)就成為自然而必要的了．顯然，平面向量基本定理是探索其代數(shù)形式的基礎(chǔ)．在確定的一組基底之下，向量的本質(zhì)就是有序?qū)崝?shù)對，這其實(shí)已經(jīng)是仿射坐標(biāo)的意義了．從這一點(diǎn)來說，平面向量基本定理是探索向量代數(shù)形式表示、并基于代數(shù)形式研究平面向量運(yùn)算的基礎(chǔ)．

第二，一定意義下，向量共線定理的本質(zhì)是，直線是一維的，研究了兩個向量共線，也就同時研究了兩個向量的不共線．平面向量基本定理的本質(zhì)是，平面是二維的．若以基底“生長”的視角分析，{λ1e1+λ2e2}(λ1,λ2∈R，e1,e2是不共線的向量 )可以“生成”平面內(nèi)的任一向量．換言之，平面內(nèi)的任意三個向量必線性相關(guān)．由此說開去，空間向量基本定理表明空間是三維的，后續(xù)n維線性空間中的極大無關(guān)組……都可以看成向量共線定理、平面向量基本定理、空間向量基本定理的推廣與發(fā)展．所以，突出平面是二維的本質(zhì)，是平面向量基本定理教學(xué)過程中所不容忽視的．

第三，在平面向量基本定理中，兩個實(shí)數(shù)λ1,λ2有三個要素：一是存在，二是有序，三是唯一．平面向量基本定理的探索過程可以分為兩部分：一是基于平行四邊形法則，將一個向量在兩個方向(基底)上“分解”；二是在分解后利用向量共線定理去探尋λ1,λ2．存在性可以從“作圖”(幾何分解)與應(yīng)用向量共線定理的過程去理解，而唯一性似乎不容易做到嚴(yán)密論證——這里的幾何作圖過程，一定意義下是歸納推理，不可能窮盡所有情形，因而也就不能作為嚴(yán)密的推理過程．

基于此，教學(xué)中似乎應(yīng)該讓學(xué)生充分經(jīng)歷“作圖”的過程，包括選擇一些可能的情形去驗(yàn)證，比如向量a為零向量、與一個基向量共線，等等．在作圖實(shí)施分解的過程中達(dá)到心理認(rèn)可，即這樣的分解是可能的，有序?qū)崝?shù)對λ1,λ2是存在的；體驗(yàn)“分解”的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是唯一的，也就是認(rèn)同有序?qū)崝?shù)對λ1,λ2是唯一的．讓學(xué)生心理認(rèn)同平面向量基本定理，也許就達(dá)到了教學(xué)要求．

3.1.2方法主線

平面向量基本定理及其建立過程，蘊(yùn)含了諸多數(shù)學(xué)思想方法，要在建構(gòu)平面向量基本定理的教學(xué)過程中，也就是在知識發(fā)生發(fā)展的過程中，有意滲透，著力突出的．

其一，數(shù)形結(jié)合思想方法：平面向量基本定理的探索過程應(yīng)該是依據(jù)平行四邊形法則，從幾何圖形出發(fā)，得到在兩個向量(基底)方向上的分解，這屬于“形”的范疇；然后利用向量共線定理，得到有序?qū)崝?shù)對λ1,λ2，這是數(shù)形結(jié)合的結(jié)果．其二，化歸轉(zhuǎn)化思想方法：依據(jù)平面向量基本定理，在確定一組基底的條件下，平面內(nèi)的任一向量都可以用這一組基底線性表示，而且表示是唯一的；在此意義下，平面內(nèi)的所有向量，都可以轉(zhuǎn)化為這一組基底去研究．其三，有限與無限思想：用有限刻畫無限，在平面向量基本定理的意義下，平面內(nèi)任意兩個向量之間的“差異”，本質(zhì)上就是這一有序?qū)崝?shù)對的不同．其四，變與不變思想：當(dāng)一組基底確定后，平面內(nèi)的任一向量，(這是變化的)都可以唯一地由這兩個向量(基底)線性表示，(這是不變的)．其五，分類討論思想方法：就探索平面向量基本定理的過程而言，針對“不同位置”的向量的分解，例如零向量與非零向量、與基底共線向量等，其中蘊(yùn)含著分類討論的思想方法．

3.1.3素養(yǎng)主線

從學(xué)生學(xué)習(xí)角度，就平面向量基本定理的建構(gòu)過程，主要體現(xiàn)出以下幾種關(guān)鍵能力：數(shù)學(xué)建模、直觀想象、邏輯推理．關(guān)鍵能力是核心素養(yǎng)的重要成分．進(jìn)而可以認(rèn)為，教學(xué)中應(yīng)該注重提高這幾種關(guān)鍵能力，事實(shí)上也就是在發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)[3]．

(1)數(shù)學(xué)建模

平面向量基本定理可以認(rèn)為是建立了平面向量表示的一種模型．將任一向量在兩個方向(基底)上進(jìn)行分解，依據(jù)的是平行四邊形法則，這可謂是“用數(shù)學(xué)方法解決問題”．將這一過程理解為“數(shù)學(xué)建?！庇蟹e極意義：按李尚志教授觀點(diǎn)，“……用現(xiàn)成公式加以變通解決不現(xiàn)成的問題，就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的‘?dāng)?shù)學(xué)建?！?；[5]在認(rèn)定其為“數(shù)學(xué)建模”基礎(chǔ)上的教學(xué)，就要主動突出數(shù)學(xué)建模的過程，這對深化數(shù)學(xué)應(yīng)用，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，提高實(shí)踐能力，進(jìn)而發(fā)展其數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，將起到重要的積極的作用．

(2)直觀想象

在建立平面向量基本定理的過程中，尤其是任一向量在兩個方向(基底)上的分解，是通過幾何圖形、利用平行四邊形法則進(jìn)行的．其中有對“任一向量”的分類探究，得到統(tǒng)一的結(jié)論．這正是“借助幾何直觀……利用……圖形……建立形與數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型．”[4]所以，在本課過程中，充分利用幾何圖形，描述問題、直觀理解、探索關(guān)系，是發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)所需要的．

(3)邏輯推理

主要表現(xiàn)為兩部分．一方面是通過分類討論，就各種可能的情形進(jìn)行推理：平面內(nèi)任一向量都可以在兩個方向(基底)上分解；這種分解的結(jié)果是唯一的．這個過程實(shí)質(zhì)上是邏輯推理，但限于條件，不能給出嚴(yán)格的演繹推理證明．例如，除了依平行四邊形法則分解，是否還有另外不同的分解途徑，這些途徑與此分解的結(jié)果是否相同，都不易給出嚴(yán)格證明．所以，從學(xué)生認(rèn)知心理角度，這里的推理認(rèn)定為合情推理似乎更恰當(dāng)些．

另一方面，完成任一向量在兩個方向(基底)上的分解后，利用向量共線定理證明這一有序?qū)崝?shù)對“存在且唯一”，則屬于演繹推理了．這也是建立平面向量基本定理的基礎(chǔ)．與此同時，也體現(xiàn)出了向量共線定理是平面向量基本定理的特例，即有序?qū)崝?shù)對中有一個數(shù)為0；平面向量基本定理是向量共線定理的推廣——一維到二維．

邏輯推理主要表現(xiàn)為：“……發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，探索和表述論證過程……”[4]所以，在平面向量基本定理探索過程的教學(xué)中，要創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)情境，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生主動提出問題，利用圖形探索，依據(jù)已有的向量共線定理進(jìn)行推理，并嘗試概括平面向量基本定理，達(dá)到較為充分的心理認(rèn)可……為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，做出可能的努力．

3.2 基于三條主線的課時教學(xué)設(shè)計(jì)(片斷)

如前所述，教學(xué)應(yīng)該突出三條主線，三條主線的關(guān)系是：突出知識主線，看重方法暗線，看見素養(yǎng)眼線．發(fā)展核心素是根本目標(biāo)，但核心素養(yǎng)綜合地體現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析與解決問題的過程中．從本課內(nèi)容中所析取出的三個核心素養(yǎng)，其“主要表現(xiàn)”為：數(shù)學(xué)建模“在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角提出問題……”；邏輯推理“……發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”．[3]發(fā)現(xiàn)和提出問題，就要基于情境，提出數(shù)學(xué)問題；分析與解決問題，就是要分析與解決所提出的問題．所以基于這三條主線的教學(xué)設(shè)計(jì)，仍然要以解決問題為導(dǎo)向，以知識發(fā)生發(fā)展的邏輯過程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致、邏輯連貫的探究學(xué)習(xí)過程．[6]在知識的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)作出可能的貢獻(xiàn)．其中，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生主動提出問題，可能是本課的重中之重．[7]

這里，就“情境與問題”，[3]具體到本課即創(chuàng)設(shè)情境，提出本課題給出如下選擇與思考．

(1)從共線向量定理引入

兩個向量有何關(guān)系？——共線與不共線，共線時有向量共線定理；研究了共線，也就同時研究了不共線.

平面內(nèi)三個向量有何關(guān)系？若其中存在兩個向量共線的情形，則問題可轉(zhuǎn)化為兩個向量是否共線的問題，這是已經(jīng)解決了的問題；若不存在任兩個向量共線的情形，那么它們將有何關(guān)系？——將它們平移到同一個起點(diǎn)，畫出圖形，結(jié)合平行四邊形法則……嘗試提出問題……

(2)從探求向量代數(shù)表示引入

向量兼有數(shù)與形的特征，用有向線段表示向量，用平行四邊形法則進(jìn)行向量加法、減法運(yùn)算，一定意義下屬于幾何范疇．基于此背景提出問題：

——你能提出什么問題？

——是否可能存在向量的代數(shù)形式？進(jìn)而研究代數(shù)形式下向量的運(yùn)算？

這樣就明確了學(xué)習(xí)的任務(wù)，探究的方向．至于怎樣研究，就要回到已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，即回到幾何情境上去．或者說，教師要給出情境，提出具體任務(wù)：既然兩個向量可以合成一個向量，那么探索一個向量在兩個向量方向上的分解可能是有意義的……比如知道兩個向量中的一個，以及它們的合向量，可否求作另一個……

另一種思路值得探討：從平面直角坐標(biāo)系到有序?qū)崝?shù)對，這雖與教材安排順序及坐標(biāo)的由來相悖，但也許有合理之處：從熟悉到陌生，從特殊到一般，并且重點(diǎn)突出了坐標(biāo)的本質(zhì)——有序?qū)崝?shù)對．設(shè)想如下：

——用代數(shù)去表示向量，還要兼有幾何特征，你覺得在什么情境下探討較方便？

啟發(fā)學(xué)生萌發(fā)到平面直角坐標(biāo)系中去研究的念頭，并基于平面直角坐標(biāo)系，從探尋特殊的基向量(事實(shí)上是標(biāo)準(zhǔn)正交基)出發(fā)，通過任一向量都可以用標(biāo)準(zhǔn)正交基線性表示，構(gòu)建三個向量之間的關(guān)系，通過運(yùn)算推理，得到一個向量用另外兩個向量線性表示的結(jié)論，此時 “離開”平面直角坐標(biāo)系背景，得到定理．筆者認(rèn)為，可以視學(xué)情允許，嘗試這種思路，并進(jìn)一步與常規(guī)思路對比分析．

(3)從物理背景中引入

借助于“力的平衡”情境，觀察力的合成與分解，類比向量與力的共同特征，提出類似的問題：向量在兩個方向(基底)上的分解．這可能是比較自然合理的，而且是基于“科學(xué)情境”提出問題．這對于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是有益的：引導(dǎo)學(xué)生善于觀察，在“關(guān)聯(lián)的情境”中提出數(shù)學(xué)問題，主動發(fā)現(xiàn)研究的方法，類比遷移到所研究的新問題上去，并借助已有知識(平行四邊形法則)去解決所提出的新問題……

(4)從平行四邊形法則引入

圖3 向量的合成與分解