馮淑霞 黎景輝 梁志斌 俞小祥 朱一心

(1.河南大學(xué) 475004；2.首都師范大學(xué) 100048；3.江蘇師范大學(xué) 221116)

1 引言

本文提出一個界別中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的準則.中學(xué)生希望借助這個準則，中學(xué)老師可以幫助中學(xué)生對大學(xué)數(shù)學(xué)有個初步的認識, 幫助中學(xué)生在報考大學(xué)的時侯對所選的學(xué)科有更精準的選擇, 幫助中學(xué)生到了大學(xué)盡快完成從中學(xué)到大學(xué)的過渡.也希望幫助本科一年級的導(dǎo)師，指導(dǎo)大學(xué)生的選科和未來生涯規(guī)劃, 幫助在讀大學(xué)生更多地了解他們正在學(xué)的數(shù)學(xué).我們提出的簡單準則是: 大學(xué)數(shù)學(xué)注重結(jié)構(gòu)性及其實際應(yīng)用，計算性則是結(jié)構(gòu)性的體現(xiàn)和應(yīng)用.文中將會解釋什么是結(jié)構(gòu)，并讓讀者透過例子學(xué)習(xí)使用這個準則.

我們開始寫這篇文章的時候，只有幾句話，大家都覺得是很顯然的.但是當拿起筆來寫時，我們才知道，這比平常寫數(shù)學(xué)論文難.大家心里都知道要講的東西，怎樣把它說清楚卻是不容易.因此我們希望得到讀者的支持，不要因為我們說不清楚，使你們看不明白而放棄讀完全文.若你是在校的本科生，希望你會領(lǐng)會本文所提出的一個架構(gòu)，會用這個架構(gòu)分析和解決你對數(shù)學(xué)的一些疑惑，鼓勵你學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).我們明白， 對一些中學(xué)老師來說，這并不是一篇容易懂的文章.原因可能是，在十年甚至幾十年的教學(xué)和行政工作壓力下，大家或許已經(jīng)忘掉一部分在大學(xué)時念的數(shù)學(xué)了.不過我們相信，只要老師拿出他們原有的對數(shù)學(xué)的熱情，跟學(xué)生談本文的論題，大家都會進步和收獲的！

2 數(shù)學(xué)的計算性

讓我們考慮數(shù)學(xué)的兩個特征，一是數(shù)學(xué)的計算性，二是數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性.首先我們用個例子作個簡單的說明.

考慮問題：求x,y滿足方程組4x+3y=2,x+y=1.我們可以把這個方程組寫成矩陣方程

利用數(shù)學(xué)提供的方法我們算出答案：x=-1,y=2.我們稱這樣的一個過程為數(shù)學(xué)的計算性.這個過程是：從一個問題——解方程組4x+3y=2,x+y=1開始，找出解題的方法，然后算出答案.

另一方面考慮方程組 4x+2y+4z=0, 2x+y+2z=0, 10x+5y+10z=0.這個方程組可以寫成矩陣方程

中學(xué)代數(shù)里經(jīng)常見的一個問題是: 已給出實數(shù)b,c求復(fù)數(shù)x使得這個式子成立x2+bx+c=0.也可以說成因式分解：已知實數(shù)b,c求復(fù)數(shù)a,d使得x2+bx+c=(x-a)(x-d).從這個問題可以變出很多題目，中學(xué)生不知花了多少時間做這些內(nèi)容不變的計算習(xí)題！

微積分課的一個標準計算題是：給出幾個簡單的不定積分,如

然后要求同學(xué)用幾個標準的方法去計算不定積分.

說到這里希望大家已經(jīng)明白我們所指數(shù)學(xué)的計算性是什么了！做了大量習(xí)題的中學(xué)生,對我們說的數(shù)學(xué)的計算性雖然可能沒有明確過，但心里還是清楚的.學(xué)到了大學(xué)一年級的微積分和線性代數(shù)，同學(xué)還是喜歡這些計算題的，因為這是他們熟識的數(shù)學(xué).這樣當數(shù)學(xué)課程一步一步的轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)的另一個性質(zhì)「數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性」的時侯, 學(xué)生會驚叫: 這不是數(shù)學(xué)! 到學(xué)期末的時侯，這個感嘆常轉(zhuǎn)為這樣的問題: 會不會考證明? 到這個時候，甚至懷疑是否選錯了專業(yè)！當學(xué)生說：老師教的都不是數(shù)學(xué)，他們的意思是說：都不是他們心里想象的數(shù)學(xué)；或者更準確一點：老師要他們學(xué)的不是他們在中學(xué)學(xué)的數(shù)學(xué)！因為這個心理障礙是使他們產(chǎn)生學(xué)習(xí)困難，甚至心底反抗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).對一個數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說這是不利的，對一個數(shù)學(xué)系來說這是有破壞性的.因此，這就值得我們思考：我們怎樣幫助熟悉中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生，順利過渡到結(jié)構(gòu)性內(nèi)容高速增長的大學(xué)數(shù)學(xué)生態(tài)？

3 什么是一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

3.1最簡單的「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」是“整數(shù)“和”整數(shù)的加法運算”.《九章算術(shù)》(東漢中期，不遲于公元100年)的“方程”章，在世界上首次闡述了負數(shù)及正負數(shù)的四則運算.現(xiàn)在整數(shù)運算是很多兒童，從幼兒園到小學(xué)用了三至五年學(xué)來的東西.你可能忘記了怎樣學(xué)習(xí)1和2，去看看一個小孩, 在不會寫文字之前，他可能已經(jīng)掌握1和2(兩)這兩個聲音的數(shù)值意義.上學(xué)后, 他要躍進一步，要學(xué)會 1+1=2; 最后他學(xué)會的是怎樣做老師給他的關(guān)于整數(shù)的題目，又因為這些題目和日常生活有關(guān),他也學(xué)會了怎樣使用整數(shù).但是幾乎可以肯定他不會把整數(shù)“和”看為是一個「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」. 讓我們用代數(shù)學(xué)的語言來說明整數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).設(shè)Z記所有整數(shù)組成的集合，映射α:Z×Z→Z是整數(shù)的加法運算.則 (Z,α)是交換群.從這句話的表達方式來看，我們同意這不是中學(xué)數(shù)學(xué)，因為在這句話背后是一個學(xué)期的集合論.數(shù)學(xué)是累積性很強的學(xué)問，像群這么簡單的結(jié)構(gòu)，開始時像一粒沙，很小，慢慢地累積起來成為一個龐大的組織，如果你有機會學(xué)習(xí)有限單群的分類便明白這個現(xiàn)象.群論首先是由歐洲數(shù)學(xué)家拉格朗日(Lagrange 1736—1813)、阿貝爾(Abel 1802—1829)、伽羅瓦(Galois 1811—1832) 在十九世紀發(fā)展起來的.我們暫時放下這個最簡單的例子.

“在‘聯(lián)合社’中，最大的受益者是家庭農(nóng)場?！表n進步說。僅以農(nóng)資購置來說，過去單個家庭農(nóng)場購買農(nóng)資，很難還價，廠家、經(jīng)銷商說多少就是多少，自從加入“聯(lián)合社”，家庭農(nóng)場有了話語權(quán)，可以拿到低于市場價的價格，農(nóng)資成本大大降低?！啊?lián)合社’內(nèi)部就有農(nóng)資經(jīng)銷的合作社，不僅價格更加優(yōu)惠，服務(wù)也更加周到，所有農(nóng)資一站式送到家?！表n進步說。

3.2在整數(shù)之后, 實數(shù)便出現(xiàn)在同學(xué)學(xué)習(xí)“數(shù)” 的艱苦歷程里.也許大家不會把實數(shù)域看作一個「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」.在大學(xué)一年級微積分課總得說清楚這些實數(shù)是怎樣來的.很多課本用戴得金(Dedekind 1831-1916)分割法 (例如，復(fù)旦大學(xué).《數(shù)學(xué)分析》.上?？萍汲霭嫔?， 1960年，上冊第一章附錄).對很多學(xué)生而言，這是個相當費解的結(jié)構(gòu).另外一個方法是從有理數(shù)列的極限開始，講基本序列，循環(huán)小數(shù)，然后“不經(jīng)意地”定義實數(shù)域為有理數(shù)域的完備化.請看一本優(yōu)秀全創(chuàng)新的微積分教科書：王昆揚,《簡明數(shù)學(xué)分析》, 高等教育出版社, 2001年 (王教授在北京師范大學(xué)一年級和北京及青島的中學(xué)用此書上課).這樣，不單是把學(xué)生從初中二年級就已經(jīng)知道的“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”這個概念說清楚，并且以后遇到距離空間的完備化，就不會覺得陌生.這個做法正是鼎鼎大名的Bourbaki數(shù)學(xué)系統(tǒng)定義實數(shù)的方法 (見Bourbaki, Topologie General, Chap IV).完備化是連續(xù)性的一個基本結(jié)構(gòu).例如同一方法便從有理數(shù)域造出p進數(shù)域——這是二十世紀的數(shù)學(xué)了.(p進數(shù)由 Hensel (1861—1941) 引入；最著名的應(yīng)用便是在Wiles的費馬大定理的證明中.) 這樣王昆揚書中的方法是承先(初中的循環(huán)小數(shù))啟后(完備化)！

3.3到了中學(xué)解方程遇到x2+1=0，復(fù)數(shù)便出現(xiàn)在我們的世界里. 我們一開始的例子是二次方程x2+bx+c=0 的求根公式

用代數(shù)學(xué)里的域擴張的伽羅瓦理論可以證明: 一般的次數(shù)≥5的方程都不可解.

這個例子說明，要回答一個學(xué)生很自然提出的問題，我們需要建立一個相當深刻的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu), 我們稱上面這個結(jié)構(gòu)為伽羅瓦理論.

對打算當中學(xué)老師的同學(xué)，我們建議他們學(xué)習(xí)伽羅瓦理論.這樣當學(xué)生問這個問題的時侯，你可以給出一個正確的答案，當你描述這種證明這種結(jié)構(gòu)的時侯，雖然你的學(xué)生不會明白，但是你的信心令他們記得這件事，讓他們想到大學(xué)里去學(xué)習(xí)了解.因此, 未來要當中學(xué)老師的同學(xué)說: 中學(xué)的數(shù)學(xué)我在中學(xué)時已經(jīng)會做，大學(xué)的數(shù)學(xué)我學(xué)來沒用.我們不同意這種說法.

3.5回頭看看積分的計算：

左邊的積分等于反三角函數(shù)arcsinx.為什么老師不告訴我們右邊的積分等于什么呢？為了回答這個問題，首先把這兩個積分改寫為

另一方面,C1是同構(gòu)于車輪胎,C1的拓撲虧格是1.顯然不可以把球面連續(xù)變形為車輪胎的.事實上p(w1)是定義在車輪胎上的函數(shù)，是個雙周期函數(shù).而sinw0是一個單周期函數(shù).因此不定積分(2) 是不可能寫為初等函數(shù).請留意, 我們不是說:還未有人寫出來，而是我們從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)知道這是不可能的.這說明我們不能在中學(xué)數(shù)學(xué)課里講不定積分(2)的原因，是因為這兩個不定積分背后的拓撲性質(zhì)不同，這個拓撲性質(zhì)是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的性質(zhì).我們看到，雖然只是簡單的不定積分的計算，我們也避不開數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性! 更重要的是在這個過程中我們發(fā)現(xiàn)了新的東西，拓撲學(xué)，就是兩個物體之間的新的性質(zhì)——拓撲同胚，而且這個性質(zhì)是可以「量化」的，用物體的虧格.球面的虧格 ≠車輪胎的虧格，告訴我們球面和車輪胎不同胚，就是說不可以把球面連續(xù)形變?yōu)檐囕喬?這是牛頓(1643—1727) 之后一百年，黎曼 (1826—1866) 的偉大發(fā)現(xiàn).這叫做「創(chuàng)新」！亦有人會說這只是一個數(shù)學(xué)玩意，沒有用的.作為回應(yīng)，請看看楊振寧先生在拿諾貝爾獎以前的第一篇獲獎?wù)撐? Spontaneous magnetization of a two-dimensional Ising model (1952年發(fā)表獲Onsager獎) .文中他純熟地使用雙周期函數(shù)計算自發(fā)磁化.這篇文章的結(jié)果可謂前無古人后無來者——文章第一次給出二維可積系統(tǒng)的閉公式，到目前還沒有其他這樣的公式.

3.6現(xiàn)在我們開始討論最后的例子：平面幾何學(xué).歐幾里得是古希臘數(shù)學(xué)家，約于公元前325年——公元前265年生活在亞歷山大里亞，現(xiàn)在是埃及的第二大城市.平面幾何學(xué)是一個嚴格的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，最早見于歐幾里得所編著的《幾何原本》，此書的前6卷由徐光啟和意大利神父利瑪竇合譯，于1607年在北京出版； 英譯本: T. Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, Cambridge University Press 1908, Dover Reprint.

《幾何原本》的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)從23條定義開始，接著是5條公理，然后按邏輯演繹出其它定理.例如，從兩直線互相垂直的定義10推導(dǎo)出：兩直線相交對頂角相等 (《幾何原本》卷I 命題 15) .在這個證明里，我們可以看見平面幾何學(xué)里最簡單的計算.

《幾何原本》學(xué)校用書的英語版本是Hall與Stevens寫的A School Geometry, Macmillan Company；在1970年之前的一個世紀里，這本書是英國、加拿大、澳洲、印度及香港的中學(xué)標準教科書.書的排版方式是：定義→公理→定理；學(xué)生直接感受到一種一層一層的架構(gòu).這樣，學(xué)習(xí)的重點是這個學(xué)問的架構(gòu)，是這個「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」，而不是學(xué)習(xí)那些專業(yè)補習(xí)老師“制作“出來的難得多的題目，雖然這些難題并不只是計算，它們是圍繞著一些名題和解題技巧發(fā)展出來的，但已看不見《幾何原本》的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)了，如這個例子：見下圖，在銳角三角形ABC中,∠BAC≠60°, 過點B,C分別作三角形ABC的外接圓的切線BD,CE, 且滿足BD=CE=BC. 直線DE與AB,AC延長線分別交于點F,G.設(shè)CF與BD交于點M,CE與BG交于點N.求證：AM=AN.

從上世紀五十年代開始歐美推行普及教育，他們認為「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」是一般人學(xué)不會的「抽象」東西.戴上「抽象」帽子后「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」便被打入十八層地獄，永不翻身，從全球的中學(xué)教育中消失了！我們也避不開此劫.讓我們看看人民教育出版社1989年印的《初級中學(xué)課本·幾何》第一冊.這本書基本是依照《幾何原本》的次序，書中有定義有證明，卻不是明確地印出「定義」, 「證明」的字樣. 即編寫時避開明確地說出「定義+公理→定理」這個架構(gòu)，偶然會這樣說: 我們寫出推理過程.以實物類比來說明概念，如第50頁：“我們把這個事實作為公理：平行公理”.這樣“公理”這個名詞便出現(xiàn)了！雖然64頁開始說明命題、定理、證明，但學(xué)生很難看清楚平面幾何學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；到65頁把公理說成實踐中總結(jié)出來的真命題并不太符合現(xiàn)行數(shù)理邏輯的做法.話雖如此，這還是一本好書，有很多學(xué)生接受這種軟接觸方法.

反觀《幾何原本》，首先定義和公理，然后證明命題.例如以下命題：給出兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，則這兩條直線平行 (《幾何原本》卷I 命題 27).它的證明是嚴格遵守「定義 + 公理→定理」這個架構(gòu)的，細看這個證明，你會感覺到「平面幾何學(xué)」的「數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)性」，這是不同于前面提到卷I 命題15的計算證明的.我們常常要求學(xué)生證明一個命題，對一個好的學(xué)生來說，他實在不知道從哪里開始，因為我們從來沒告訴他這個公理系統(tǒng)，沒有說明這個架構(gòu)，沒有說清楚起點是什么，他只能盲目的團團轉(zhuǎn)，最后即使是弄出來，也不知從哪里來的！

可能有人會說：大家都差不多一樣，我們只是吹毛求疵.請讓我們指出一點以作說明：當你看到歐幾里得平面幾何學(xué)就是這些定義、公理、定理所組成的整體，自然就想問，改變部分公理我們會得到什么樣的「幾何」？

俄羅斯人羅巴切夫斯基(1792—1856)引入：「過直線外一點可以引最少兩條平行線」為新公理代替平行公理 (公理 5).在新的公理體系中展開的推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論.這個理論像歐幾里得幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學(xué).這樣，第一種「非歐幾里得幾何」便誕生了！隨后德國人黎曼 (1826-1866)構(gòu)造了與羅巴切夫斯基不同的幾何.

到了20世紀初, 愛因斯坦成為第一個人用這些關(guān)于空間的新的「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」去認識我們的宇宙！舉個例子，牛頓力學(xué)第一定律：「一切物體在沒有受到力的作用時，總保持靜止狀態(tài)或勻速直線運動狀態(tài)」.愛因斯坦認為可以把“直線”換為黎曼幾何空間的“最短線” (即測地線)，也就是說：一切物體沿空間的測地線運動. 這樣，太陽鄰近的空間的測地線是彎曲的，光線沿空間的測地線走，所以我們所看到途經(jīng)太陽的光線彎折了！這就是「相對論」中太陽引力場的光線彎折的現(xiàn)象！下圖顯示物質(zhì)的引力場使周邊的空間彎曲.

下圖顯示光線在太陽附近的彎折的現(xiàn)象.1919年5月29日，天文學(xué)家Eddington利用對日食的觀察，證實了愛因斯坦的預(yù)測.

希望以上的例子說明了什么是「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」，也說明了在現(xiàn)象中看到「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」不單只是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，亦是創(chuàng)新應(yīng)用的開始.我們亦看到過去兩個世紀數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)內(nèi)容的增加很多體現(xiàn)在新的「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」的構(gòu)造和應(yīng)用中.中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)的區(qū)別，就是要我們在大學(xué)里幫助學(xué)生把這兩百年的數(shù)學(xué)追回來！這也是為什么在大學(xué)數(shù)學(xué)課里不斷地出現(xiàn)新定義來說明新的結(jié)構(gòu)，說明在中學(xué)和大學(xué)這兩個階段的數(shù)學(xué)訓(xùn)練是不同的.為此也許有些中學(xué)生會對數(shù)學(xué)產(chǎn)生誤會，甚至以為自已的數(shù)學(xué)是非常好的.如果他到了一個數(shù)學(xué)系，一年級做一百條不定積分，二年級解一百個數(shù)值不同的系數(shù)矩陣的線性方程組，三年級用殘數(shù)算一百條積分，四年級學(xué)英語，忙面試，忙出國，忙找工作，忙找對象，……，他會很快樂.如果他到了另一個數(shù)學(xué)系，上的課是：公理集合論，一般拓撲學(xué)，測度論，泛函分析，拓撲群論，代數(shù)結(jié)構(gòu)，交換代數(shù)，代數(shù)拓撲學(xué)，……，他就不一定能夠適應(yīng)了！在一個很好的數(shù)學(xué)系的優(yōu)秀少年班，我們亦會遇上很會做奧數(shù)題的小孩子對復(fù)雜的數(shù)學(xué)系統(tǒng)沒有興趣、沒有感覺，隨著壓力增大，精神慢慢的崩潰，最后只好放棄了.

4 教學(xué)建議

過去兩個世紀不停創(chuàng)建的新結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)的核心成就.中學(xué)的數(shù)學(xué)幾乎不談結(jié)構(gòu)，大學(xué)的數(shù)學(xué)里結(jié)構(gòu)不停涌現(xiàn).前面已多次談到這對學(xué)生的影響，這對大學(xué)教學(xué)亦產(chǎn)生極大的困擾.能力薄弱一點的院系基本上避開基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課，不開拓撲學(xué)和代數(shù)課，主要是教積分計算和解微分方程，甚至索性只開考研習(xí)題班、競賽解題班.這也無不可，但是這樣訓(xùn)練出來的人，不具備需要建立架構(gòu)來解決問題的思維方法，面對復(fù)雜的大型結(jié)構(gòu)只好目瞪口呆了.

三年高中學(xué)生做了無數(shù)的數(shù)學(xué)習(xí)題，這些題目基本是考數(shù)學(xué)的計算性，這對于數(shù)學(xué)這門有嚴密結(jié)構(gòu)的學(xué)問是不夠的.因此當一個中學(xué)生面對結(jié)構(gòu)性不停增強的大學(xué)數(shù)學(xué)時，若抵不過這個壓力便只好放棄.數(shù)學(xué)系亦因為缺乏學(xué)生的支持只好開一些結(jié)構(gòu)內(nèi)容低一點的課，這樣學(xué)生又覺得念了四年好像沒有學(xué)會什么，結(jié)果是所有人都不滿意.中學(xué)老師訓(xùn)練學(xué)生解答決定大學(xué)入學(xué)的高考題、奧數(shù)題，學(xué)生與數(shù)學(xué)關(guān)系是答題，學(xué)生對數(shù)學(xué)是被動的有問則答而不是主動的求問.在大學(xué)的數(shù)學(xué)課里，學(xué)生幾乎天天都遇到「定義」，要去明白「定義」所介紹的新的「結(jié)構(gòu)」，學(xué)生的良性反應(yīng)是：這是什么？為什么會這樣？如果不是這樣會發(fā)生什么？……學(xué)生要問自已、問同學(xué)、問老師、問課本，換句話說，學(xué)生要主動出擊.否則學(xué)生到了課堂只是抄定義，并沒有主動參與，從莫明其妙很快變成漠不關(guān)心， 最后是完全放棄.

本文并不是討論或批評中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容和教學(xué)方法.我們不是說在中學(xué)辦個「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」課，給出課本、大量例題和解答.我們只是說，若中學(xué)生完全沒有接觸過「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」的東西，他們到了大學(xué)便要加倍努力克服心理障礙跳入一個有「結(jié)構(gòu)」存在的更廣闊的世界.我們是說， 只要鼓勵老師對有興趣和能力的中學(xué)生偶然提點一下，便會讓他們將來覺得在大學(xué)見到的東西是很自然、很簡單的.此外同學(xué)們報考的時侯也可以自問合適不合適念這種高結(jié)構(gòu)性的學(xué)問.因為即便所謂計算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，它們的理論背景的結(jié)構(gòu)性也還是很強的.「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」有內(nèi)在的規(guī)律, 結(jié)構(gòu)與結(jié)構(gòu)之間有連結(jié)性，沒有單獨存在只有一個例子的結(jié)構(gòu).因此，也許我們可以更改一點現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)安排.

我們的孩子是在一個動態(tài)世界成長的，當他們看見老師在黑板上寫下集合的公理的時候，大叫「抽象」.也許學(xué)生也不知道什么是抽象，可能他們只是覺得黑板上的東西不會動而已.就是說抽象是個主觀評價.一些東西，開始的時侯，有人替你說清楚，你便覺得是顯然了.比如若有人用動漫來說清楚「集合論中的羅素悖論」，這是中學(xué)生也可以明白的趣事，到了大學(xué)便不會覺得集合論是無中生有、自找麻煩啦，這樣做就需要投資.教育是要投資的，越發(fā)達的社會這個投資越高.當然我們相信仍然會有數(shù)學(xué)奇才，成年前未玩過手機，數(shù)學(xué)是媽媽拿著一根竹子在地上劃沙教的，不過這不可能是現(xiàn)在中國城市的孩子了.

在大學(xué)一年級，老師或可以安排一些節(jié)目幫助新生認識大學(xué)數(shù)學(xué), 加強同學(xué)的適應(yīng)能力, 培養(yǎng)學(xué)習(xí)高年級數(shù)學(xué)的興趣.例如，在解代數(shù)線性方程組出現(xiàn)的這個「線性結(jié)構(gòu)」的現(xiàn)象，早在本科一年級的微積分就出現(xiàn)了，首先取極限 lim 是一個線性算子，因此微分和定積分也是線性算子；到了學(xué)完微分與定積分關(guān)系的微積分基本定理后，便以習(xí)題問: 基本定理這個等式是否保線性、為什么.

首先，希望幫助學(xué)生開始認識二十世紀數(shù)學(xué)的老師需要有點學(xué)養(yǎng)，要多知道點數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)歷史，要喜歡自已的工作對象——數(shù)學(xué)， 要當學(xué)生的數(shù)學(xué)成長導(dǎo)師.其二，我們需要有介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)的應(yīng)用軟件.當然應(yīng)用程式只是一種現(xiàn)代的手法，核心的困難是怎樣直接面對「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」的內(nèi)容.第三，我們需要一個熱心發(fā)展數(shù)學(xué)教育的氛圍，各級的教育部/局, 中學(xué)校長/科主任，大學(xué)的數(shù)學(xué)系主任，不反對老師偶然談?wù)劧兰o數(shù)學(xué)的內(nèi)容和背景.比如在教學(xué)大綱和課標增加一項: 課外數(shù)學(xué)介紹和討論.缺少以上三點可能是SMSG失敗的原因.更基本的區(qū)別是，我們不支持他們軟化數(shù)學(xué)的方法，例如，把平面拓撲學(xué)說成橡膠皮的變形，結(jié)果大家莫明其妙.我們支持講授歐幾里得平面幾何公理，就是說， 最少讓學(xué)生學(xué)一個完整公理系統(tǒng)的例子.我們沒有說在目前的環(huán)境下一口氣更換中小學(xué)數(shù)學(xué)教育，只是建議在適當?shù)牡胤酱蜷_一個窗口，說個現(xiàn)代數(shù)學(xué)的故事.我們希望這個窗口慢慢地變成一個門，慢慢地更多的中國人會用更多的現(xiàn)代數(shù)學(xué).這樣可以發(fā)揮我們?nèi)硕嗟牧α?，團結(jié)創(chuàng)造更好的工藝科技.作為一個人口大國，我們的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育，從課本到補習(xí)班是個價值很高的市場，怎樣在這個市場規(guī)則下，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)多一點現(xiàn)代數(shù)學(xué)，是我們未完全解決的問題.

有同學(xué)和青年教師建議我們?nèi)シ治鲋袑W(xué)大學(xué)教學(xué)方法的差異，學(xué)生學(xué)習(xí)方法的差異.我們認為這是對本文主旨的極大誤會.教學(xué)法和學(xué)生指導(dǎo)是教育學(xué)的內(nèi)容.本文的主題是數(shù)學(xué)！目前人類數(shù)學(xué)的90%是在過去150年創(chuàng)造的, 現(xiàn)代社會的生活、生產(chǎn)、國防背后使用的就是這些新數(shù)學(xué).這些數(shù)學(xué)的骨干是「數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)」.中小學(xué)教的數(shù)學(xué)和1500年前歐洲老師教的基本是一樣的.而大學(xué)的數(shù)學(xué)老師以驚人的速度、堅強的毅力帶學(xué)生躍過一千五百年進入21世紀.現(xiàn)在一年高考人數(shù)已達一千萬，入學(xué)人數(shù)七百萬以上，到排名前一百所的大學(xué)念數(shù)學(xué)的人數(shù)少于0.5%，能進入全國只有13所的一流數(shù)學(xué)系的大學(xué)的人數(shù)少于0.05%. 因此我們只能希望有些老師偶然遇到一個有數(shù)學(xué)能力的孩子可以告訴他一些數(shù)學(xué)里的神奇的內(nèi)容.(未完待續(xù))