(浙江省永嘉縣上塘中學(xué)，浙江 永嘉 325100)

在高中物理教學(xué)中，物理圖像的理解是教學(xué)的重點(diǎn)，用圖像法解決物理問(wèn)題會(huì)變得簡(jiǎn)潔、形象、直觀，易于學(xué)生接受和理解。物理圖像與橫軸所圍“面積”的物理意義，因坐標(biāo)軸的含義不同而不同，因而明確圖像中的“面積”所表示的物理意義，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

1 圖像“面積”的物理意義

在許多問(wèn)題中，物理圖線下的“面積”具有特殊的物理意義，分析這類問(wèn)題應(yīng)抓原理、重根本。

如圖1所示,物體做勻速運(yùn)動(dòng)，位移s=vt，速度圖線與時(shí)間軸圍成的“面積”等于vt，所以位移的大小為陰影部分的“面積”。運(yùn)用微元法，推廣到勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在非勻變速運(yùn)動(dòng)中其“面積”也表示在這段時(shí)間內(nèi)物體通過(guò)的位移。新教材從勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度圖線下的“面積”表示位移的大小，用微元法研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)，速度圖線下的“面積”表示對(duì)應(yīng)時(shí)間內(nèi)物體的位移(如圖2)，從而推廣得到任一條速度曲線與t軸所包圍的“面積”也表示對(duì)應(yīng)時(shí)間內(nèi)物體的位移(如圖3)。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，相當(dāng)于在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中選取一微元時(shí)間Δt，而在Δt時(shí)間內(nèi)速度的變化非常小，我們可將這段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)看成勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以Δs=vΔt，再把每段位移相加就可得到總位移,這就是積分思想，即速度v對(duì)時(shí)間的定積分為位移。依次類推，一定質(zhì)量的理想氣體等溫過(guò)程的p-V圖線下的“面積”代表氣體做的功W，F(xiàn)-t圖線下的“面積”為力的沖量I，F(xiàn)-s圖線下的“面積”為力所做的功W，i-t圖線下的“面積”為這段時(shí)間流過(guò)導(dǎo)體的電荷量q。

圖1

圖2

圖3

物理圖線下的“面積”常表示另一個(gè)物理量，有意識(shí)地利用求“面積”的方法，可使某些物理問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)便，判斷一個(gè)圖線下的“面積”是否有意義，我們一般是看兩坐標(biāo)軸所對(duì)應(yīng)的物理量的乘積是否為一個(gè)有意義的物理量，并不是所有縱、橫坐標(biāo)物理量的乘積均能構(gòu)建新的物理量，其圖線下的“面積”都有意義。如圖4中功率P1=U1I1是A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)功率，我們需要關(guān)心的僅是該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電壓U1和電流瞬時(shí)值I1及其兩者的乘積，并不關(guān)心O點(diǎn)到A點(diǎn)間曲線的形狀，所以該U-I圖線下的“面積”沒(méi)有實(shí)際的物理意義。

圖4

2 利用圖線下的“面積”巧解物理題

利用圖線下的“面積”求解物理問(wèn)題，通常需滿足以下條件：(1) 物理量y隨x變化；(2) 其圖線下的“面積”有確定的物理意義。在高中階段應(yīng)用圖線下的“面積”求解時(shí)要求：(1) 當(dāng)y為恒量時(shí)，有“s=yx”的表達(dá)形式；(2) 將x微元化后，y可看作恒量來(lái)處理；(3) 若為矢量運(yùn)算，可通過(guò)規(guī)定正方向，將矢量運(yùn)算簡(jiǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。

例1(2019年浙江卷)：如圖5所示，傾角θ=37°、間距l(xiāng)=0.1m的足夠長(zhǎng)金屬導(dǎo)軌底端接有阻值R=0.1Ω的電阻，質(zhì)量m=0.1kg的金屬棒ab垂直導(dǎo)軌放置，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.45。建立原點(diǎn)位于底端、方向沿導(dǎo)軌向上的坐標(biāo)軸x。在0.2m≤x≤0.8m區(qū)間有垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。從t=0時(shí)刻起，棒ab在沿x軸正方向的外力F作用下，從x=0處由靜止開(kāi)始沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，其速度v與位移x滿足v=kx(可導(dǎo)出a=kv)，k=5s-1，當(dāng)棒ab運(yùn)動(dòng)至x1=0.2m處時(shí)，電阻R消耗的電功率P=0.12W，運(yùn)動(dòng)至x2=0.8m處時(shí)撤去外力F，此后棒ab將繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，最終返回至x=0處。棒ab始終保持與導(dǎo)軌垂直，不計(jì)其他電阻，提示:可以用F-x圖像下的“面積”代表力F做的功，sin37°=0.6。求:

圖5

(1) 磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；

(2) 外力F隨位移x變化的關(guān)系式；

(3) 在棒ab整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱Q。

圖6

例2:從水平地面上某處以初速度v1豎直上拋一個(gè)小球，已知小球運(yùn)動(dòng)時(shí)受空氣阻力與速度大小成正比，測(cè)得小球落回地面時(shí)速度大小為v2，求小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

圖7

圖8

例3：如圖9所示是一種測(cè)量電容的實(shí)驗(yàn)電路圖，實(shí)驗(yàn)是通過(guò)對(duì)高阻值電阻放電的方法，測(cè)出電容器充電至電壓U時(shí)所帶電荷量Q，從而再求出待測(cè)電容器的電容C。某同學(xué)在一次實(shí)驗(yàn)時(shí)的情況如下：接通開(kāi)關(guān)S，調(diào)節(jié)電阻箱R的阻值，使小量程電流表的指針偏轉(zhuǎn)接近滿刻度，記下此時(shí)電流表的示數(shù)I0=490μA，電壓表的示數(shù)U0=6.0V，I0、U0分別是電容器放電時(shí)的初始電壓和電流。斷開(kāi)開(kāi)關(guān)S，同時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，每隔一定時(shí)間測(cè)定一次電流，將測(cè)得數(shù)據(jù)填入表格，并在圖10所示的坐標(biāo)紙上畫(huà)出小黑點(diǎn)“·”。求該電容器的電容。

圖9

圖10

解析：要求得電容器的電容，必須求出電容器開(kāi)始放電至電壓為0期間流過(guò)放電電阻的電荷量Q，而電流是變化的，所以只有畫(huà)出電流隨時(shí)間變化的圖像，根據(jù)其物理意義，利用i-t圖線下的“面積”來(lái)得到這段時(shí)間內(nèi)流過(guò)放電電阻的電荷量。

用平滑的曲線將圖中各點(diǎn)連起來(lái)，如圖11所示，i-t圖線下的“面積”共約36個(gè)方格，總電量Q=9×10-3C，由公式C=Q/U0，得電容器的電容C=1.5×10-3F。

圖11

3 結(jié)語(yǔ)

物理圖像下的“面積”在解決問(wèn)題的過(guò)程中起著十分重要的作用，常能觸發(fā)學(xué)生靈感，讓學(xué)生產(chǎn)生“柳暗花明又一村”的感覺(jué)。從以上例題的解析可知：圖像“面積”的應(yīng)用實(shí)際是建立在微元后累積求和的基礎(chǔ)之上的，應(yīng)用時(shí)首先要理解坐標(biāo)軸的物理意義，既要看圖像表達(dá)的物理量的乘積是否能構(gòu)建新的物理量，還要注意構(gòu)建的物理量相對(duì)于橫坐標(biāo)是否有累積求和關(guān)系。

圖像是物理的語(yǔ)言之一，利用圖像下的“面積”在處理問(wèn)題時(shí)比較直觀、快捷，要讓學(xué)生從“面積”的物理意義入手，使學(xué)生真正理解其內(nèi)涵后再應(yīng)用，切忌生搬硬套、弄巧成拙。圖像下的“面積”還有正、負(fù)問(wèn)題，會(huì)關(guān)系到對(duì)應(yīng)物理量的正、負(fù)，必須具體問(wèn)題具體分析。求圖像下的“面積”本質(zhì)是連續(xù)函數(shù)的求和，在高中物理教學(xué)中適當(dāng)?shù)貪B透定積分的思想，有助于學(xué)生準(zhǔn)確理解和辨析物理概念，提升運(yùn)用數(shù)學(xué)解決物理問(wèn)題的能力。另一方面，鑒于高中數(shù)學(xué)只是初步介紹定積分，常規(guī)教學(xué)應(yīng)該定位于引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“分割、建立微元、求和”的思想方法上，不要在數(shù)學(xué)上提出過(guò)高要求。