吳 鑫，周揚忠,莊恒泉，陳 垚

(福州大學(xué) 福建省新能源發(fā)電與電能變換重點實驗室，福州 350108)

0 引 言

永磁同步電機利用永磁體代替勵磁繞組，不僅減小了線圈銅耗，還減小了電機的體積和質(zhì)量，使得電機的功率密度和轉(zhuǎn)矩密度大為提升，并且永磁同步電機結(jié)構(gòu)簡單，運行可靠性高，維護成本低，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于人類生產(chǎn)生活[1-3]。對于不同的應(yīng)用場合，需要對永磁同步電機的磁場和諸如空載磁鏈、反電動勢、齒槽轉(zhuǎn)矩、電磁轉(zhuǎn)矩以及電感等電磁性能進行準確的計算，從而設(shè)計出滿足性能需求的電機，因此研究永磁同步電機的設(shè)計具有重要的實際意義。

目前，永磁同步電機的設(shè)計方法主要是有限元法和解析法。有限元法[4-5]是借助有限元仿真軟件對電機磁場等參數(shù)進行計算。盡管有限元法有較高的精度，但是其計算復(fù)雜，需要花費大量的時間成本，并且不能直觀地顯示出電機性能與尺寸參數(shù)的關(guān)系，因此對于需要大量重復(fù)設(shè)計的電機初期設(shè)計環(huán)節(jié)以及電機的性能優(yōu)化設(shè)計環(huán)節(jié)，有限元法具有較大的局限性。

為了克服有限元法的不足，學(xué)者提出了多種解析法，包括等效磁路法[6-7]、子域模型法[8-9]以及相對磁導(dǎo)函數(shù)法[10-16]。文獻[6-7]采用等效磁路法對永磁同步電機的磁場進行分析，解析計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果相近。雖然等效磁路法可考慮鐵心的飽和效應(yīng)，但是其存在迭代計算復(fù)雜以及精度不高等問題。文獻[8-9]采用子域模型法分別對整數(shù)槽繞組和分數(shù)槽繞組的表貼式永磁同步電機(以下簡稱SMPMSM)的磁場分布進行解析計算。子域模型法具有最高的精度，但是其通用性差，對于不同的電機需要建立不同的子域模型。文獻[10]采用保角變換法推導(dǎo)了一種相對磁導(dǎo)函數(shù)，與無槽電機的氣隙磁密相乘，可得到開槽下電機的氣隙磁密分布。該相對磁導(dǎo)函數(shù)有明確的解析表達式，通用性強，但其沒有考慮切向磁導(dǎo)對氣隙磁密的影響，因此僅能計算氣隙磁密的徑向分量。文獻[11]利用復(fù)變量的保角變換法提出了一種相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)，其能計及定子開槽對氣隙磁場切向分量的影響，因此該相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)可準確地計算出表貼式永磁電機氣隙磁密的徑向和切向分量?；谠撓鄬?fù)磁導(dǎo)函數(shù)，文獻[12-13]根據(jù)麥克斯韋應(yīng)力張量法分別對表貼式永磁電機的齒槽轉(zhuǎn)矩和電磁轉(zhuǎn)矩進行預(yù)測。此外，文獻[14-16]均是采用保角變換法求取相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)。與相對磁導(dǎo)函數(shù)對比，相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)具有更高的計算精度，但是其存在求解過程復(fù)雜、迭代計算時間長的問題。

相對其他解析法，相對磁導(dǎo)函數(shù)法通用性高，模型簡單，十分適合于電機的快速設(shè)計。但是在作者所了解的文獻中，相對磁導(dǎo)函數(shù)法都是采用無限深的單槽模型，沒有考慮槽與槽之間的影響和槽深度的影響，并且相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)大多是通過保角變換得到，求解過程復(fù)雜。據(jù)此，本文提出了一種基于子域模型法的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)，對SMPMSM的空載磁場進行計算。相比于保角變換獲得的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)，本文提出的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)考慮了槽與槽之間以及槽深度的影響，并且不需要進行迭代計算，求解過程簡單，具有較高的計算速度和準確度，因此適用于SMPMSM的設(shè)計以及性能優(yōu)化等應(yīng)用場合，此外還可用于對電機的電磁性能進行計算，例如空載磁鏈和反電動勢等，以建立電機的數(shù)學(xué)模型以及相應(yīng)的控制策略。

1 電機拓撲結(jié)構(gòu)

本文以4極內(nèi)轉(zhuǎn)子SMPMSM為研究對象，來驗證所提出的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)的準確性。SMPMSM的橫截面如圖1所示。電機有兩對永磁體，沿著徑向方向交替充磁；電機為定子單邊開槽的氣隙結(jié)構(gòu)，共有12個定子槽。

圖1 SMPMSM橫截面圖

圖1中:θ0為轉(zhuǎn)子位置角；Rr為轉(zhuǎn)子外表面半徑；Rm為永磁體外表面半徑；Rs為定子內(nèi)表面半徑；Rsi為定子槽底半徑；Rso為定子外表面半徑；βs為定子槽開口寬度；αp為極弧系數(shù)；p為SMPMSM的極對數(shù)。

對于SMPMSM，其氣隙磁密可通過將無槽電機的磁密與相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)相結(jié)合得到。根據(jù)文獻[12]可得定子開槽下SMPMSM的氣隙磁密徑向以及切向分量的表達式：

Br_slotted=Br_slotlessλr+Bθ_slotlessλθ

(1)

Bθ_slotted=Bθ_slotlessλr-Br_slotlessλθ

(2)

式中：Br_slotted和Bθ_slotless分別表示無槽電機氣隙磁密的徑向和切向分量；λr和λθ分別表示相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)的實部和虛部分量。

對于永磁體徑向磁化的SMPMSM，定子無槽下的電機氣隙磁密的徑向和切向分量的解析表達式由文獻[17]直接給出：

(3)

(4)

式中：Brem為永磁體剩磁；μr為永磁體相對磁導(dǎo)率。

結(jié)合電機的尺寸參數(shù)，可得θ0=0時無槽下SMPMSM氣隙磁密的徑向和切向分量，如圖2所示。

(a) 徑向分量

(b) 切向分量

2 相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)

一般地，對于相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)的求取采用的是保角變換的方法，求解過程需要進行迭代計算，并且均是采用槽無限深的單槽模型，因此無法計及槽與槽之間以及槽深度的影響。本文提出了一種基于子域模型法的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)，用于計算定子的開槽效應(yīng)。

所提出的解析模型是在二維極坐標系(r,θ)下進行計算的。為了便于分析，對電機做出以下假設(shè)：

1) 定轉(zhuǎn)子鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大，忽略飽和效應(yīng)；

2) 電機的軸向長度為無限長，不計端部效應(yīng)；

3) 電機各個邊界均是沿著切向或者徑向方向。

定子單邊開槽的氣隙結(jié)構(gòu)橫截面示意圖如圖3所示。

圖3 定子開槽的氣隙結(jié)構(gòu)

圖3中，Rr1為對永磁體進行等效處理后的轉(zhuǎn)子鐵心外表面半徑。

(5)

根據(jù)子域模型法，將其劃分成2個子域，分別為氣隙子域和定子槽子域，如圖4所示。子域1代表

圖4 子域劃分以及定子槽空間位置定義

氣隙子域，子域2i代表第i個定子槽子域。在解析計算過程中，需要確定每一個槽的空間位置，因此在二維極坐標系中對所有槽的位置進行定義，則每個定子槽的中心所處的空間位置：

(6)

式中：θi為第i個定子槽中心線位置；Ns為定子槽數(shù)。

由于在計算定子開槽效應(yīng)時，不考慮永磁體以及電流密度分布，因此根據(jù)電磁場理論[18]，電機的磁場可用標量磁位ψ進行表示：

2ψ=0

(7)

根據(jù)式(7)，本文以標量磁位作為求解變量對2個子域求解拉普拉斯方程，它們滿足的拉普拉斯方程分別如下：

(8)

(9)

式中：ψ1為氣隙子域的標量磁位；ψ2i為定子槽子域的標量磁位。

為了計算定子的開槽效應(yīng)，本文將轉(zhuǎn)子鐵心與氣隙交界面的標量磁位設(shè)為1，定子鐵心與氣隙交界面的標量磁位設(shè)為0，因此可得到各個子域與鐵心間的邊界條件：

ψ1(Rr,θ)=1θ∈[0,2π]

(10)

(11)

(12)

根據(jù)上述的邊界條件，采用分離變量法可得到各個子域標量磁位的通解表達式：

(13)

式中：A0，A1s和A2s為氣隙子域的待定系數(shù)；s為氣隙子域中磁場的諧波次數(shù)。

(14)

式中：Bit為定子槽子域的待定系數(shù)；t為定子槽子域中磁場的諧波次數(shù)。

根據(jù)各個子域間交界面上的連續(xù)條件，即在相鄰子域間的交界面上滿足標量磁位連續(xù)以及徑向磁密相等，建立起子域間的聯(lián)系，從而求取式(13)和式(14)中的待定系數(shù)。

對于氣隙子域與定子槽子域交界面，其滿足的連續(xù)條件可表示：

(15)

(16)

根據(jù)式(15)，可得：

(17)

(18)

(19)

式中：

(20)

(21)

(22)

根據(jù)式(16)，可得：

(23)

綜上所述，將式(17)～式(19)、式(23)轉(zhuǎn)化成矩陣的形式，通過數(shù)值分析軟件進行求解，即可確定各個子域中的待定系數(shù)，從而可得到各個子域標量磁位的分布。此外，標量磁位與磁場強度的關(guān)系可表示：

(24)

(25)

式中：Hr為磁場強度徑向分量；Hθ為磁場強度的切向分量。

由前面的分析可知，對于定子單邊開槽的氣隙結(jié)構(gòu)，其磁場并不是由永磁體勵磁或者電樞反應(yīng)產(chǎn)生的，而是由定轉(zhuǎn)子鐵心間標量磁位的差值得到，可見其磁場的分布反映了定子的開槽效應(yīng)，因此定子開槽對氣隙磁場的影響可由氣隙子域的磁場分布得到。此外，本文提出的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)是采用子域模型法對整個定子開槽的氣隙結(jié)構(gòu)進行求解得到的，不僅計及了槽與槽之間的影響，還將槽深的影響考慮在內(nèi)。根據(jù)式(13)、式(24)以及式(25)，可得氣隙子域的磁場分布：

[A1scos(sθ)+A2ssin(sθ)]

(26)

(27)

對于相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)，它的實部分量λr表示定子開槽對氣隙磁場徑向分量的影響，虛部分量λθ表示定子開槽對氣隙磁場切向分量的影響，因此λr和λθ分別與氣隙子域磁場的徑向和切向分量H1r和H1θ相對應(yīng)。并且根據(jù)電機的拓撲結(jié)構(gòu)可知，當(dāng)位于定子齒中心處時，如θ=0處，相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)的實部分量λr應(yīng)等于1。因此對H1r和H1θ進行歸一化處理，并且考慮相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)與氣隙子域磁場的極性，可得到定子開槽下的氣隙相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)實部和虛部的解析表達式：

(28)

(29)

式中：H1r|θ=0為定子齒中心處氣隙子域磁場強度。

3 解析結(jié)果以及有限元驗證

為了驗證本文所推出的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)的準確性，對SMPMSM進行有限元仿真驗證。本文所研究的4極SMPMSM的主要參數(shù)如表1所示。采用所提出的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)對電機的氣隙相對磁導(dǎo)以及氣隙磁密進行解析計算，并且將計算得到的結(jié)果與有限元仿真得到的結(jié)果進行比較。

表1 SMPMSM主要參數(shù)

3.1 氣隙相對磁導(dǎo)

根據(jù)式(28)和式(29)，對氣隙中心圓周處的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)的實部和虛部分量進行解析計算，計算得到的結(jié)果與有限元仿真結(jié)果進行比較，如圖5所示。由比較結(jié)果可知，兩者吻合很好，驗證了本文基于子域模型法的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)的準確性。

(a) 實部分量

(b) 虛部分量

3.2 氣隙磁密

根據(jù)式(1)和式(2)，將氣隙中心圓周處的氣隙磁密的徑向和切向分量的解析計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果進行對比，如圖6所示。從比較結(jié)果可以看出，解析計算結(jié)果與有限元貼合很好。因此，基于子域模型法的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)適合于SMPMSM氣隙磁密的解析計算，具有較高的精度。

(a) 徑向分量

(b) 切向分量

此外，基于子域模型法的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)可對槽深的影響進行考慮，因此分別對槽深為1mm和11mm的電機氣隙磁密進行解析計算，并和有限元仿真結(jié)果相比較，如圖7所示。由圖7可知，本文的解析法可將槽深的影響考慮在內(nèi)，而一般的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)無法計及槽深對氣隙磁密的影響。

(a) 徑向分量

(b) 切向分量

4 結(jié) 語

本文提出了一種相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)，用于計算定子開槽對磁場的影響?；谧佑蚰Ｐ头ɡ碚?，對定子開槽的氣隙結(jié)構(gòu)的磁場進行解析計算，通過歸一化處理得到相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)。該相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)不僅考慮了槽與槽之間的影響，還計及了槽深度的影響?；谒茖?dǎo)的解析法，對4極SMPMSM的氣隙相對磁導(dǎo)和空載氣隙磁密進行解析計算并且與有限元結(jié)果進行比較，驗證了所提出的相對復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)的準確性。解析法與有限元法相比具有較高的計算精度以及較快的計算速度，因此它十分適合于尺寸參數(shù)需要大量調(diào)整的電機初期設(shè)計環(huán)節(jié)以及性能優(yōu)化環(huán)節(jié)，能夠節(jié)省大量的時間成本。此外，它可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的實驗測量法，方便快捷地獲取電機的相關(guān)參數(shù)并用于電機的控制策略中，以降低參數(shù)的測量成本。