柴婧婧,汪育兵

(蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730020)

經(jīng)典B-S期權(quán)定價(jià)模型是最受歡迎的定價(jià)模型之一,并且被投資者廣泛使用,但B-S模型中常數(shù)波動(dòng)率和正態(tài)分布的假設(shè)與實(shí)際市場中觀察到的波動(dòng)率微笑和有偏并不相符。 大量的實(shí)證研究和歷史數(shù)據(jù)表明,資產(chǎn)價(jià)格的收益呈現(xiàn)出長相依性,即尖峰厚尾的分布。

針對上述B-S模型的不足,后續(xù)許多學(xué)者做了相應(yīng)的改進(jìn)。為了更好地模擬波動(dòng)微笑,一個(gè)有效的方法就是假設(shè)波動(dòng)率遵循另一個(gè)隨機(jī)過程,即隨機(jī)波動(dòng)模型。而Heston模型[1]作為金融衍生品定價(jià)中最具代表性的隨機(jī)波動(dòng)率模型,它假設(shè)波動(dòng)服從一個(gè)均值回歸平方根(CIR)過程,考慮了資產(chǎn)價(jià)格與波動(dòng)率的相關(guān)性以及價(jià)格收益“尖峰厚尾”的分布特點(diǎn),不僅能夠很好地解決B-S模型中“波動(dòng)率微笑”問題,而且當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)比較簡單時(shí),Heston模型具有半解析解。

為了更好地?cái)M合短期期權(quán),之后有學(xué)者得到了許多擴(kuò)展模型,例如分?jǐn)?shù)Heston模型[2]、混合分?jǐn)?shù)Heston模型[3]、連續(xù)時(shí)間Heston模型[4]以及雙Heston模型[5]等。Mehrdoust等[3-4]得到由分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(H∈(1/2,1))驅(qū)動(dòng)的分?jǐn)?shù)Heston模型,與此同時(shí)證明了隨機(jī)微分方程解的存在性和唯一性且分?jǐn)?shù)CIR過程仍然是一個(gè)均值回歸過程。進(jìn)而得到由混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(H∈(3/4,1))所驅(qū)動(dòng)的混合分?jǐn)?shù)Heston模型下方程解的存在性和唯一性,計(jì)算了美式期權(quán)的價(jià)格并做了相應(yīng)的數(shù)值模擬。雙Heston模型是能夠表現(xiàn)出“波動(dòng)率微笑”的簡單且有用的模型之一,它比Heston模型更能夠兼容真實(shí)市場。文獻(xiàn)[5]中首先證明了雙Heston模型下隨機(jī)微分方程解的存在性和唯一性,其次基于3種不同的離散化方案去估計(jì)回望期權(quán)的價(jià)格,在數(shù)值上做了對比并得到驗(yàn)證。由此可見,對于雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型的研究是有必要的。

1 預(yù)備知識

以下介紹混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的定義和性質(zhì),為確保方程解的存在性和唯一性滿足的局部Lipschitz條件和線性增長條件,以及相關(guān)不等式。

定義1設(shè)(Ω,F,P)是概率空間,由布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)線性組合后,可以得到如下的混合分?jǐn)?shù)模型[4]:

定義2格朗沃爾不等式對于滿足一定積分方程或微分方程的函數(shù),有相應(yīng)的積分方程或微分方程不等式,可被用來證明初值問題解的唯一性[4]。設(shè)連續(xù)函數(shù)u,υ:[0,T]→[0,)且M>0,滿足

則有

定義3局部Lipschitz條件:存在常數(shù)C1且C1>0,滿足[6]

定義4線性增長條件:存在常數(shù)C2且C2>0,滿足[6]

|f(t,x,y,z)|+|g(t,x,y,z)|+|h(t,x,y,z)|≤

C2(1+|x|+|y|+|z|),

其中:(t,x,y,z)∈[0,T]×Rd×Rd×Rd。

2 雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型下方程解的存在性和唯一性

Heston模型的引入,使得市場的波動(dòng)是隨機(jī)的且具有比正態(tài)分布更厚的尾部,相比恒定波動(dòng)表現(xiàn)出更大的靈活度,然而實(shí)證研究和歷史數(shù)據(jù)表明對于到期日較短的期權(quán)來說,其并不能夠很好地?cái)M合波動(dòng)率微笑。因此,研究用帶有兩因子波動(dòng)的雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型來更好地模擬波動(dòng)率微笑,從而得到雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型下解的存在性和唯一性。

2.1 金融市場的基本假設(shè)

在風(fēng)險(xiǎn)中性假設(shè)下,雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型的資產(chǎn)價(jià)格遵循如下:

2.2 方程解的存在性和唯一性

盡管Heston模型比經(jīng)典B-S模型更適應(yīng)真實(shí)市場,但是它沒有長相依性,這一部分用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)過程代替布朗運(yùn)動(dòng)過程并且表明方程有唯一解。

定理1假設(shè)T>0,系數(shù)f、g、h滿足局部Lipschitz條件和線性增長條件,隨機(jī)微分方程

證明首先,證明方程解的唯一性。假設(shè)S1(t,ω)和S2(t,ω)是滿足方程的2個(gè)解且S1(0,ω)=z1,S2(0,ω)=z2,因此有

令

D=4E[|z1-z2|2],

F=4C(t+α2+2β2·2Ht2H-1),

由定義2有

成立。因此方程解的唯一性證畢。

類似于得到唯一性的計(jì)算,有

k≥0,t∈[0,T]

以下用局部Lipschitz條件和線性增長條件來驗(yàn)證波動(dòng)率方程解的存在性和唯一性。波動(dòng)方程滿足均值回復(fù)混合CIR過程

證明過程的思想類似定理1的證明,故不做詳細(xì)證明。

3 回望期權(quán)的模擬分析

回望期權(quán)是一種強(qiáng)路徑依賴型期權(quán),它的收益依賴于資產(chǎn)價(jià)格在整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)的最大值或最小值?；赝跈?quán)和普通期權(quán)一樣,也可以分為看漲期權(quán)和看跌期權(quán),到期日的敲定價(jià)格分為固定和浮動(dòng)2種方式。故存在4類回望期權(quán):固定執(zhí)行價(jià)格的回望看漲期權(quán)、固定執(zhí)行價(jià)格的回望看跌期權(quán)、浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格的回望看漲期權(quán)和浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格的回望看跌期權(quán)。4類回望期權(quán)到期日的收益如下:

3.1 歐拉離散化

假設(shè)到期日T>0,在時(shí)間區(qū)間[0,T]上模擬雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型滿足的隨機(jī)微分方程,給定離散0=t1

對上式用歐拉離散化,得到

同理可對資產(chǎn)價(jià)格過程離散,積分形式為

對上式用歐拉離散化,得到

3.2 模擬分析

為了更準(zhǔn)確刻畫標(biāo)的價(jià)格變化,用蒙特卡洛模擬法分別對雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型下波動(dòng)率V1、波動(dòng)率V2和股票價(jià)格路徑進(jìn)行模擬,得到的結(jié)果如圖1～圖3所示。

由圖1、圖2中波動(dòng)率的模擬結(jié)果可以看出,雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型下波動(dòng)率V1和波動(dòng)率V2的變化趨勢不同,因此對股票價(jià)格過程的影響也不同。同樣可以看出波動(dòng)率V1的波動(dòng)幅度在0.03～0.07,波動(dòng)率V2的波動(dòng)幅度在0～0.35,即波動(dòng)幅度均在一個(gè)較為穩(wěn)定的范圍內(nèi),且由圖3標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格模擬結(jié)果看出,股票價(jià)格的模擬走勢在90～180之間上下擺動(dòng),是相對穩(wěn)定的。

圖1 波動(dòng)率V1變化路徑模擬結(jié)果Fig.1 Volatility V1 change path simulation results

圖2 波動(dòng)率V2變化路徑模擬結(jié)果Fig.2 Volatility V2 change path simulation results

圖3 股票價(jià)格變化路徑模擬結(jié)果Fig.3 Stock price change path simulation results

很明顯,參數(shù)K和T對具有固定執(zhí)行價(jià)格的回望看漲期權(quán)和回望看跌期權(quán)有一定的影響,如圖4和圖5所示。

從圖4中可以看出,固定到期日T為0.5時(shí),當(dāng)執(zhí)行價(jià)格K為110時(shí),期權(quán)價(jià)格接近10;當(dāng)執(zhí)行價(jià)格K為90時(shí),期權(quán)價(jià)格接近20,很明顯隨著執(zhí)行價(jià)格越來越小,期權(quán)的價(jià)格越來越大。 保持執(zhí)行價(jià)格K不變,當(dāng)?shù)狡谌誘為0.5時(shí),期權(quán)價(jià)格近似為20;當(dāng)?shù)狡谌誘為2時(shí),期權(quán)價(jià)格近似為46,故隨著到期日T越來越大,期權(quán)價(jià)格也越來越大。

圖4 固定執(zhí)行價(jià)格的回望看漲期權(quán)價(jià)格Fig.4 Retrospect call option price of fixed exercise price

從圖5中同樣可得,固定到期日T為0.5,當(dāng)執(zhí)行價(jià)格K為110時(shí),期權(quán)價(jià)格接近23;當(dāng)執(zhí)行價(jià)格K為90時(shí),期權(quán)價(jià)格接近5,很明顯固定到期日隨著執(zhí)行價(jià)格越來越小,期權(quán)的價(jià)格也越來越小。保持執(zhí)行價(jià)格K不變,當(dāng)?shù)狡谌誘為0.5時(shí),期權(quán)價(jià)格近似為5;當(dāng)?shù)狡谌誘為2時(shí),期權(quán)價(jià)格近似為15,故執(zhí)行價(jià)格不變時(shí),隨著到期日T越來越大,期權(quán)價(jià)格也越來越大。

圖5 固定執(zhí)行價(jià)格的回望看跌期權(quán)價(jià)格Fig.5 Retrospect put option price of fixed exercise price

4 結(jié)語

利用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì),首先建立了雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型,得到該模型下隨機(jī)微分方程解的存在性和唯一性;其次通過離散化并用蒙特卡洛模擬法對波動(dòng)過程和股價(jià)過程進(jìn)行模擬,由模擬分析可知,雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型更適合擬合短期期權(quán)。