巨未來(lái)，王文杰

(1.武漢科技大學(xué)資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 武漢 430081；2.冶金礦產(chǎn)資源高效利用與造塊湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430081)

0 引 言

為保障因地下開采所形成采空區(qū)的安全，生產(chǎn)礦山往往留有一定規(guī)模的保安礦柱或采區(qū)間柱[1-2]，采空區(qū)頂板在礦柱支撐作用下將保持一段時(shí)期的穩(wěn)定。但隨著時(shí)間推移，采空區(qū)礦柱因自身流變、地下水侵蝕、爆破振動(dòng)等因素影響，自身巖體強(qiáng)度大幅降低，易導(dǎo)致采空區(qū)頂板-礦柱體系局部破裂直至坍塌，造成采空區(qū)頂板冒落氣浪沖擊或地表塌陷等礦山安全事故[3-5]。因此，研究采空區(qū)頂板-礦柱支撐體系破壞的時(shí)效過(guò)程，預(yù)測(cè)采空區(qū)頂板-礦柱支撐體系的維穩(wěn)時(shí)間，可為及時(shí)制定合理的采空區(qū)危害防治措施提供科學(xué)根據(jù)。

目前，針對(duì)采空區(qū)頂板破壞理論分析方面的研究多基于簡(jiǎn)支梁[6-7]或彈性薄板理論[8-10]，這種簡(jiǎn)化方式雖使計(jì)算簡(jiǎn)化，但由于條件的簡(jiǎn)化無(wú)法考慮到頂板的空間效應(yīng)及頂板內(nèi)的剪切變形，存在一定局限性。對(duì)于金屬礦采空區(qū)來(lái)說(shuō)，因其地質(zhì)條件、賦存環(huán)境等更為復(fù)雜，致使頂板厚度h同頂板寬度w的比例一般不滿足彈性薄板的要求(h/w<1/5時(shí)，稱為薄板)。相較于薄板理論，中厚板理論在分析板的受力變形過(guò)程中，既考慮了拉應(yīng)力的作用，同時(shí)包含了橫向剪切的作用。因而應(yīng)用中厚板理論來(lái)簡(jiǎn)化頂板并研究頂板的變形過(guò)程更符合實(shí)際要求。此外，大量工程實(shí)踐表明，諸多巖石工程的失穩(wěn)現(xiàn)象都與巖石流變特性有關(guān)[11]，礦體開挖形成的空區(qū)在初期階段會(huì)保持一定穩(wěn)定性，但隨著時(shí)間推移，巖體在自身流變作用下發(fā)生蠕變變形，最終可能導(dǎo)致巖體工程的失穩(wěn)破壞。基于此，本文以Reissner厚板理論構(gòu)建采空區(qū)頂板礦柱力學(xué)模型，研究礦柱流變作用下頂板破壞的時(shí)效過(guò)程，分析并預(yù)測(cè)頂板維穩(wěn)時(shí)間。

1 頂板-礦柱流變力學(xué)模型

基本假設(shè)：①頂板上覆巖層的自重視為均布荷載q0；②頂板近似看作矩形板；③考慮流變力學(xué)的復(fù)雜性，不考慮頂板的流變作用，頂板視為彈性厚板；④礦柱近似等距分布且數(shù)量n足夠多。采空區(qū)頂板簡(jiǎn)化模型如圖1所示，頂板長(zhǎng)邊為a，寬為b，板厚為h，頂板巖體彈性模量為E，泊松比為v，容重為r，頂板極限抗拉強(qiáng)度為[σT]。所有礦柱視為同性質(zhì)同規(guī)格的黏彈性體，并用廣義Kelvin體表征其本構(gòu)關(guān)系，礦柱高度為H，平均橫截面積為A，礦柱所承受的載荷按均布受荷處理。頂板礦柱力學(xué)簡(jiǎn)化模型見圖2。

圖1 頂板簡(jiǎn)化模型Fig.1 Roof simplification model

圖2 簡(jiǎn)化的頂板-礦柱力學(xué)模型Fig.2 Simplified roof-pillar mechanics model

礦柱的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系用廣義開爾文[12](modified Kelvin)體描述，其本構(gòu)方程見式(1)。

(1)

式中：σ為礦柱應(yīng)力;E1為虎克體彈性系數(shù);E2、η分別為凱爾文體的彈性和黏性系數(shù);dσ/dt、dε/dt分別為應(yīng)力對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)和應(yīng)變速率。

根據(jù)Reissner厚板理論[13]，采空區(qū)頂板的控制方程見式(2)。

(2)

式中：D=Eh3/[12(1-v2)]，為頂板的抗彎剛度；▽2為拉普拉斯算子；w為頂板撓度函數(shù)；h為板厚；q為頂板荷載；λ為礦柱總截面與頂板面積比。

考慮到q和λσ為均勻荷載，因此將式(2)簡(jiǎn)化為式(3)。

D▽2▽2w=q-λσ

(3)

礦柱應(yīng)變與變形位移的關(guān)系見式(4)。

ε=w/H

(4)

聯(lián)立式(1)和式(3)可得式(5)。

(5)

式(5)為基于厚板理論的采空區(qū)頂板-礦柱系統(tǒng)流變微分方程。

設(shè)頂板變形下沉撓度函數(shù)為w=wtf(x,y)，wt是頂板中央最大下沉量關(guān)于流變時(shí)間的函數(shù)。采用伽遼金法求解式(5)，則得式(6)。

(6)

根據(jù)式(7)可將式(6)簡(jiǎn)化為式(8)。

?f2dxdy=α1,

?▽2▽2f2dxdy=α2,

?fdxdy=α3

(7)

(8)

求解式(8)得式(9)。

wt=ce-n1t+n2

(9)

式中：c為積分常數(shù)，可由初始變形條件確定;n1=m2/m1;n2=m3/m2。

2 頂板失穩(wěn)破壞過(guò)程計(jì)算分析

1) 當(dāng)采空區(qū)頂板未發(fā)生破壞時(shí)，頂板四邊都為固支，此時(shí)頂板的邊界條件見式(10)。

(10)

根據(jù)邊界條件，當(dāng)頂板四邊為固支時(shí)，取撓度試函數(shù)見式(11)。

w=wtf(x,y)=

(11)

可以看出，f(x,y)滿足此固支頂板所有邊界條件，將式(11)帶入式(7)，積分計(jì)算可得：α1=0.165ab，α2=5.944/ab+5.202(b/a3+a/b3)，α3=0.285ab。

初始階段，礦柱在頂板自重及上覆巖層壓力作用下，首先會(huì)產(chǎn)生瞬時(shí)彈性變形，此時(shí)等效礦柱的有效剛度為k′，式(3)變?yōu)槭?12)。

D▽2▽2w+k′w=q

(12)

求解式(12)得頂板變形下沉位移w0為式(13)。

(13)

根據(jù)Reissner厚板彎矩公式求得頂板四個(gè)邊的中點(diǎn)處彎矩最大，即在(a/2,0)和(a/2,b)處，Mx達(dá)到最大，見式(14)。

(14)

由最大彎矩公式可知，頂板長(zhǎng)邊邊長(zhǎng)a>b，|Mx|>|My|，頂板長(zhǎng)邊將先于短邊發(fā)生破裂，采空區(qū)頂板長(zhǎng)邊最大應(yīng)力為式(15)。

(15)

當(dāng)|σxmax|≥[σT],即頂板長(zhǎng)邊最大應(yīng)力大于頂板的極限抗拉強(qiáng)度時(shí)，頂板長(zhǎng)邊發(fā)生破裂，此時(shí)，采空區(qū)頂板并未發(fā)生整體失穩(wěn)，而在長(zhǎng)邊邊界處形成塑性鉸，短邊依舊為固支，頂板由四邊固支狀態(tài)變?yōu)楣讨?簡(jiǎn)支狀態(tài)，由頂板長(zhǎng)邊最大應(yīng)力和極限抗拉強(qiáng)度關(guān)系可求解頂板由四邊固支變?yōu)楣讨?簡(jiǎn)支時(shí)的極限沉降位移。

2) 當(dāng)采空區(qū)頂板由固支變?yōu)楣讨?簡(jiǎn)支狀態(tài)后，此時(shí)頂板的邊界條件為式(16)。

(16)

根據(jù)頂板的邊界條件，取頂板撓度試函數(shù)為式(17)。

(17)

顯然，f(x,y)滿足頂板邊界條件，將f(x,y)帶入式(7)，可得

頂板在短邊中點(diǎn)處彎矩達(dá)到最大，即在(0，b/2)和(a，b/2)處彎矩最大，值的計(jì)算見式(18)。

(18)

則頂板短邊處最大應(yīng)力為式(19)。

(19)

當(dāng)|σymax|≥[σT],即頂板短邊最大應(yīng)力大于等于頂板巖體極限抗拉強(qiáng)度時(shí)，頂板短邊發(fā)生破裂，此時(shí)頂板未發(fā)生整體性失穩(wěn)，頂板短邊出現(xiàn)塑性鉸，頂板由固支-簡(jiǎn)支狀態(tài)變?yōu)橥耆?jiǎn)支狀態(tài)，可根據(jù)短邊最大應(yīng)力關(guān)系求解頂板長(zhǎng)邊破裂到短邊破裂過(guò)程的極限沉降位移。

3) 當(dāng)采空區(qū)頂板四邊由固支變?yōu)楹?jiǎn)支后，邊界塑性區(qū)開始向頂板內(nèi)部延伸，當(dāng)四邊塑性區(qū)在頂板內(nèi)部匯聚時(shí)，頂板出現(xiàn)失穩(wěn)，此時(shí)的頂板邊界條件為式(20)。

(20)

假設(shè)此時(shí)的頂板撓度試函數(shù)為式(21)。

(21)

對(duì)于四邊簡(jiǎn)支的采空區(qū)頂板，在頂板中心處，頂板應(yīng)力最大，即在(a/2,b/2)處，達(dá)到最大，分別為式(22)和式(23)。

(22)

(23)

當(dāng)頂板中心最大應(yīng)力滿足|σxmax|≥[σT]和|σymax|≥[σT]時(shí)，頂板中心發(fā)生失穩(wěn)，可根據(jù)此時(shí)頂板中心最大應(yīng)力關(guān)系求解頂板由簡(jiǎn)支狀態(tài)到發(fā)生內(nèi)部失穩(wěn)破壞的極限沉降位移：沿x方向的位移wx、沿y方向的位移wy。

根據(jù)以上計(jì)算分析，采空區(qū)頂板發(fā)生破壞經(jīng)歷了四個(gè)主要階段：固支階段、固支-簡(jiǎn)支階段、簡(jiǎn)支階段、中心破壞階段。 由上述公式可求解出各階段頂板沉降位移，代入式(9)即可求出各階段沉降時(shí)間。

3 案例分析

以貴州省某金礦為例，該礦采用全面法進(jìn)行礦山開采，采場(chǎng)內(nèi)留有支撐礦柱，空區(qū)上覆巖層厚度約為h1=150 m，上覆巖層平均容重為r1=24 kN/m3，頂板巖體為穩(wěn)定性較差的軟質(zhì)巖，厚度h=48 m，容重約為r=23 kN/m3，近似將采空區(qū)看作矩形區(qū)域，頂板長(zhǎng)度約為120 m，寬度約為115 m，彈性模量為11.2 GPa，泊松比為0.28，頂板巖石極限抗拉強(qiáng)度為[σT]=4.08 MPa，礦柱平均高度約為H=2.2 m，礦柱總橫截面積占頂板總面積約為λ=34.4%,相關(guān)流變參數(shù)為E1=4.1 GPa，E2=261.21 MPa，η=26.25 GPa·d。計(jì)算過(guò)程如下所述。

1) 頂板上的均布荷載q=h1r1+hr=150×24+48×23=4.704 MPa；

2) 頂板的抗彎剛度D=Eh3/(12×(1-v2))=110×106MPa·m3；

3) 礦柱初始彈性變形階段頂板下沉位移由式(13)計(jì)算得w0=0.382 cm；

4 結(jié) 論

1) 基于Reissner厚板理論建立了采空區(qū)礦柱-頂板系統(tǒng)力學(xué)模型，結(jié)合礦柱流變本構(gòu)方程推導(dǎo)出頂板變形下沉位移關(guān)于流變時(shí)間的公式，該力學(xué)模型能夠更好地反映頂板-礦柱體系的受力特征。

2) 根據(jù)各邊界條件計(jì)算分析結(jié)果，隨著礦柱流變變形，頂板在下沉過(guò)程中長(zhǎng)邊邊界中點(diǎn)將最先發(fā)生破壞并向兩側(cè)擴(kuò)展；之后短邊中點(diǎn)將發(fā)生破壞，并逐漸發(fā)展至頂板四周破壞，破壞區(qū)開始向內(nèi)部延伸，直至頂板發(fā)生整體失穩(wěn)。

3) 頂板下沉量隨礦柱流變時(shí)間增長(zhǎng)而增加，計(jì)算所得頂板破壞時(shí)間可為采空區(qū)及時(shí)處理提供一定參考依據(jù)。