王偉民 辛存良

(1. 安徽省太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 太和 236652； 2. 山東省陽谷縣西湖中學(xué)，山東 陽谷 252311)

從一線教師對一道光學(xué)題目的困惑說起．

例1.如圖1所示,一塊兩側(cè)面平行的圓形玻璃板,沿球狀曲面將其切割成左右兩部分(球面半徑遠大于玻璃板口徑),分別成為凸透鏡和凹透鏡,沿主軸方向橫向拉開一段距離后,如圖2所示,讓一束與凸透鏡主軸平行的光束從左邊照射到凸透鏡上,經(jīng)兩透鏡兩次折射后,折射光束

圖1 玻璃磚切割示意圖

(A) 仍平行于主軸.

(B) 一定是發(fā)散光.

(C) 一定是會聚光.

(D) 可能發(fā)散,也可能會聚,但不可能是平行光.

圖3 平行光穿過玻璃板示意圖

這是一道在多個中學(xué)物理教輔資料光學(xué)部分可以看到的題目．解決這道題目給出問題的關(guān)鍵,是判斷玻璃板分割成的凸透鏡和凹透鏡焦距之間的大小關(guān)系．筆者發(fā)現(xiàn),很多教師對這道題目感到困惑,主要是對玻璃板沿球狀曲面切割得到的兩個透鏡焦距大小關(guān)系的比較存在疑惑．這些教師的分析思路是這樣： 如圖3所示,在玻璃板已經(jīng)切割成兩塊但還沒有分開之前,作為整體它依舊是左右兩側(cè)面平行的玻璃板,所以,垂直于側(cè)面射入的光線由空氣進入玻璃時不發(fā)生偏折,由玻璃板射出進入空氣時也不發(fā)生偏折,平行光束中的每一條光線在穿越玻璃板前后方向都不改變,其轉(zhuǎn)播徑跡都是直線．

圖4 切割后拉開一個狹縫示意圖

如果我們只是將切割成的兩透鏡橫向拉開一點點距離,相當(dāng)于兩透鏡的相鄰側(cè)面之間只有一個小的夾縫,如圖4所示,設(shè)F是左邊凸透鏡的右側(cè)焦點．顯然,如果沒有凸透鏡右側(cè)凹透鏡存在的話,那么,與凸透鏡主軸平行的光束經(jīng)凸透鏡折射之后應(yīng)該會聚于凸透鏡的右側(cè)焦點F,如圖5所示,當(dāng)凹透鏡存在且兩透鏡之間的距離非常小時,跟圖3的光路圖相比較,從凹透鏡右側(cè)折射出的光線的傳播方向不可能發(fā)生突變,所以,如果忽略透鏡間狹縫寬度的話,那么,從凹透鏡折射而出的光線仍將平行于主軸,因此,在玻璃板雖然已切割但還沒有分開之前,凸透鏡和凹透鏡右側(cè)的焦點應(yīng)該是重合的．如圖6所示由于在光的折射中光路是可逆的,所以,圖1中,凸透鏡和凹透鏡左側(cè)的焦點也應(yīng)該重合,這樣就出現(xiàn)了無法解釋的矛盾——如果考慮玻璃板厚度的話,那么,凸透鏡和凹透鏡的光心分別在兩透鏡的中心,圖1中兩透鏡的光心不重合,它們之間有一定的距離,所以,凸透鏡和凹透鏡兩側(cè)分別重合的焦點就不可能同時關(guān)于兩透鏡光心對稱——這顯然與“任何透鏡都有兩個焦點(不論透鏡是什么形狀的),并且兩焦點關(guān)于光心對稱”的論斷相矛盾．

筆者以為,之所以出現(xiàn)這一看似無法解釋清楚的矛盾,其主要原因是這些教師對透鏡光心位置的判斷出現(xiàn)錯誤．

實際上,兩個側(cè)面對稱的凸透鏡和凹透鏡(即透鏡兩側(cè)面的曲率半徑相等的透鏡),其光心在透鏡的幾何中心,也就是在透鏡主軸上到兩側(cè)面等距離的位置．而對于兩個側(cè)面曲率半徑不等的透鏡,其光心的位置雖然也在透鏡的主軸上,但光心到透鏡兩個側(cè)面的距離不相等．

圖5 平行光通過凸透鏡折射示意圖

我們不妨分析一側(cè)是球面,另一側(cè)是平面的凸透鏡及凹透鏡(球面半徑遠大于透鏡口徑的透鏡)光心的位置．

如圖7所示,如果我們在圖7(a)凸透鏡的平面一側(cè),以光軸為軸心挖去一塊兩側(cè)面垂直于主軸的玻璃磚,如圖7(b)所示顯然,跟未挖去的圖7(a)所示情形相比,挖去之后的剩余部分對從凸透鏡左側(cè)平行于主軸射入的光線,對應(yīng)折射光線的位置和方向沒有絲毫影響,所以,挖去玻璃磚之后,剩余部分右側(cè)焦點相對于球面的位置不變;因為凸透鏡右側(cè)面球面半徑遠大于凸透鏡的口徑,所以,如果讓光線從凸透鏡右側(cè)沿平行主軸方向射向凸透鏡的話,則入射光線屬于近軸光線,在進入玻璃發(fā)生折射時,每條光線的入射角和對應(yīng)的折射角都非常的小,在玻璃中經(jīng)球面折射后射向左側(cè)的平面時對應(yīng)的入射角也較小,與沒挖去玻璃磚的情形相比,挖去玻璃磚之后因折射(指光線在凸透鏡左側(cè)平面由玻璃進入空氣時的折射)而使光線透過玻璃磚時光線平移的距離也很小,所以,挖去玻璃磚后左側(cè)焦點位置雖然跟挖去之前比有變化,但變化的距離非常的小,可以忽略,因此,挖去之后的剩余部分左側(cè)焦點相對于球面的位置也不變．在圖7(b)的基礎(chǔ)上,如果以凸透鏡的主軸為軸心,再次挖去一塊玻璃磚,成為圖7(c)所示的情形,其兩邊焦點相對于透鏡球面的位置依然不變……,如此循環(huán)挖下去的話,就成了圖7(e)所示的情形,其兩側(cè)焦點相對于球面的位置仍然不變,而當(dāng)每次挖去玻璃磚的厚度趨于0時,最終所得到的螺紋狀透鏡光心剛好在透鏡主軸與球面的交點處,所以,圖7(a)所示情形的凸透鏡,其焦點也在主軸與球面的焦點處．

再看凹透鏡．如圖8所示,對凹透鏡而言,我們可以用同樣的方法證明,圖8(a)所示的一側(cè)為平面,另一側(cè)為球面的凹透鏡,其光心在透鏡主軸與球面的交點位置——不論凹透鏡的厚度有多大．

圖7 從凸透鏡一側(cè)挖去玻璃板示意圖

圖8 從凹透鏡一側(cè)挖去玻璃板示意圖

所以,例題1中圖1所示的玻璃板在切割還沒有分開之后,左右兩邊的凸透鏡與凹透鏡,它們不僅左右兩側(cè)的焦點分別重合,其光心位置也是同一個點——位于主軸與球面的交點上．顯然,由這一結(jié)論出發(fā),就不會推出“透鏡兩側(cè)焦點到透鏡光心距離不等”的矛盾結(jié)果了．

圖9 兩透鏡放置示意圖

我們對例題1給出的問題按兩透鏡拉開距離的大小進行分類討論．如圖9所示,設(shè)O1、O2分別是凸透鏡和凹透鏡的光心,F凸1、F凸2、F凹1、F凹2分別是凸透鏡和凹透鏡兩側(cè)的焦點．

圖10 平行光通過兩透鏡折射示意圖

若兩透鏡拉開的距離小于透鏡焦距,即O1O2

若兩透鏡拉開的距離剛好等于透鏡焦距,即圖9中O1O2=O1F凸1,則平行于凸透鏡主軸的光束經(jīng)凸透鏡折射之后會聚于凸透鏡右側(cè)焦點處,而該點正是凹透鏡的光心,由于通過透鏡光心的光線傳播方向不變,所以,兩透鏡拉開1倍焦距的距離之后,就相當(dāng)于凸透鏡的右側(cè)沒有放置凹透鏡,平行于凸透鏡主軸的光束經(jīng)凸透鏡折射之后先會聚于凸透鏡右側(cè)焦點,繼而變成發(fā)散光束向外傳播．

若兩透鏡拉開的距離大于透鏡焦距,即O1O2>O1F凸1,則平行于凸透鏡主軸的光束經(jīng)凸透鏡折射之后先會聚于凸透鏡右側(cè)焦點,繼而變成發(fā)散光束向右傳播時才遇到凹透鏡,經(jīng)凹透鏡折射之后,發(fā)散程度加大．

無論兩透鏡拉開的距離是多大,平行光束經(jīng)兩透鏡折射之后都不會出現(xiàn)平行的情形,所以,例題1的正確選項是(D)．

對于例題1如果我們改換一下條件,讓平行于主軸的平行光束從凹透鏡一側(cè)射入,問題的解決將變得不同.

例2.如圖1所示,一塊兩側(cè)面平行的圓形玻璃板,沿球狀曲面將其切割成左右兩部分(已知球面半徑遠大于玻璃板口徑),分別成為凸透鏡和凹透鏡,沿主軸方向橫向拉開一段距離后,如圖2所示,讓一束與凹透鏡主軸平行的光束從右邊照射到凹透鏡上,經(jīng)兩透鏡兩次折射后,折射光束

(A) 仍平行于主軸.

(B) 一定是發(fā)散光.

(C) 一定是會聚光.

(D) 可能發(fā)散,也可能會聚,但不可能是平行光.

圖11 平行光通過兩棱鏡折射示意圖

解析:如圖11所示,我們以平行光束中的一條光線為例進行分析．平行于凹透鏡主軸的光線AB經(jīng)凹透鏡折射后,折射光線BC的反向延長線過凹透鏡的右側(cè)焦點F凹2,過凸透鏡的光心O1作平行于BC的副光軸O1E,與過凸透鏡左側(cè)焦點F凸1的焦平面相交于點E,則射向凸透鏡的入射光線BC經(jīng)凸透鏡折射之后,沿CE方向射出,由于點E離凸透鏡主軸的距離比點C離凸透鏡主軸的距離小(可以進行邏輯論證),所以,折射光線CE與凸透鏡的主軸相交,且交點在凸透鏡左側(cè)的主軸上．這就是說,平行于透鏡主軸并從凹透鏡一側(cè)射入的光線,不論兩透鏡之間的距離多大,經(jīng)兩透鏡兩次折射后,從凸透鏡折射而出的光一定是會聚光(會聚之后再向前傳播時變成了發(fā)散光)．

我們也可以改換一個角度,從點光源經(jīng)凸透鏡成像的情況進行解析．對凸透鏡而言,當(dāng)點光源放在焦平面之內(nèi)時,從點光源發(fā)出的光線,經(jīng)凸透鏡折射之后變得發(fā)散,發(fā)散的折射光線的反向延長線交于一點,這一交點即為點光源的虛像點;當(dāng)點光源位于凸透鏡的焦平面時,從點光源發(fā)出的光線經(jīng)凸透鏡折射后平行射出(各折射光線平行于過點光源的副光軸);當(dāng)點光源在焦平面之外時,從點光源發(fā)出的光線經(jīng)凸透鏡折射后會聚于凸透鏡另一側(cè)的某點(點光源的實像點)．由圖11可知,不論凸透鏡和凹透鏡之間的距離有多大,從凹透鏡右側(cè)沿平行于主軸方向射向凹透鏡的光線,經(jīng)凹透鏡折射之后,這些折射光線的反向延長線的交點(即凹透鏡的右側(cè)焦點)一定在凸透鏡的右側(cè)焦平面之外,這就相當(dāng)于在凸透鏡的右側(cè)焦平面之外主軸上的某點放置一個點光源,所以,點光源“發(fā)出”的光射向凸透鏡,經(jīng)凸透鏡折射后一定會聚于主軸上的某個點．

因此,本題的正確選項是(C).

由以上兩個例題給出問題的分析可知,圓形玻璃板沿球面切割分成凸透鏡和凹透鏡并拉開一定的距離,即使玻璃板很厚,在切割面半徑遠大于玻璃板口徑的情況下,兩透鏡的光心都分別在它們主軸與球面的交點上,且兩透鏡焦距相等．讓平行光束從一個透鏡射入經(jīng)兩透鏡折射之后,折射而出的光束究竟是發(fā)散光束還是會聚光束,跟光穿過兩透鏡的順序和兩透鏡之間的距離都有關(guān)系,光線穿過透鏡的順序不同,兩透鏡之間的距離不同,折射而出的光束發(fā)散和會聚的情形也不盡相同．