陶漢斌

(金華第一中學(xué) 浙江 金華 321015)

發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是新一輪課程改革的主要任務(wù).在物理學(xué)科的4個(gè)核心素養(yǎng)要素中，最基礎(chǔ)的核心素養(yǎng)是物理觀念，它代表對物理知識(shí)的內(nèi)化，是其他3個(gè)素養(yǎng)的基礎(chǔ).基于學(xué)科特點(diǎn)和研究目的取向，學(xué)習(xí)物理最核心的內(nèi)容是物理建模和數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)是工具，是物理追溯物質(zhì)結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的必要輔助.通過對學(xué)生物理考試答題情況的分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖然能夠建立正確的物理模型，但解不出正確的結(jié)果，原因在于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差，不能構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，運(yùn)算能力差，沒有注重?cái)?shù)學(xué)和物理學(xué)科間的緊密聯(lián)系和思維互通性，僅僅強(qiáng)調(diào)學(xué)科本位，缺乏建構(gòu)學(xué)科的內(nèi)在融合特性.本文以浙江省選考科目物理試題為例，分析物理試題的本源和數(shù)學(xué)工具之美.

1 夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 追溯物理本源

【例1】如圖1所示，在豎直平面內(nèi)建立xOy坐標(biāo)系，在0≤x≤0.65 m,y≤0.40 m的范圍內(nèi)存在一具有理想邊界，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場區(qū)域.一邊長l=0.10 m,質(zhì)量m=0.02 kg,電阻R=0.40 Ω的勻質(zhì)正方形剛性導(dǎo)線框abcd處于圖示位置，其中心的坐標(biāo)為(0,0.65).現(xiàn)將線框以初速度v0=2.0 m/s水平向右拋出，線框在進(jìn)入磁場過程中速度保持不變，然后在磁場中運(yùn)動(dòng)，最后從磁場右邊界離開磁場區(qū)域，完成運(yùn)動(dòng)全過程.線框在全過程中始終處于xOy平面內(nèi)，其ab邊與x軸保持平行，空氣阻力不計(jì).

求：

(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；

(2)線框在全過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q；

(3)在全過程中，cb兩端的電勢差Uc b與線框中心位置x坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系.

圖1 例1題圖

本題是浙江省2018年4月選考科目物理試題的壓軸題，情境不是以往的導(dǎo)體棒以一維的運(yùn)動(dòng)方式切割磁場，導(dǎo)線框通過平拋運(yùn)動(dòng)是以二維運(yùn)動(dòng)的方式切割磁場.整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程一定要注意分4個(gè)階段分別進(jìn)行受力分析,考查力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系.本題需要考生運(yùn)用力與運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立作用原理，通過水平方向與豎直方向獨(dú)立地進(jìn)行分析求解.具體解析過程如下：

(1)勻速進(jìn)入磁場時(shí)，導(dǎo)線框受力平衡

mg=BIl

感應(yīng)電流

由豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)易知，進(jìn)入磁場時(shí)

vy=2 m/s

代入解得

B=2 T

(2)勻速進(jìn)入磁場過程產(chǎn)生的焦耳熱Q1

Q1=mgl=0.02 J

整個(gè)導(dǎo)體框在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于磁通量沒有變化,沒有感應(yīng)電流,也就沒有焦耳熱,線框在重力作用下繼續(xù)做自由落體運(yùn)動(dòng).

設(shè)離開磁場的過程如圖2所示，水平速度由v0變?yōu)関x，豎直速度由vy變?yōu)関′y，下降的高度為h.

圖2 導(dǎo)體框離開磁場過程圖

水平方向受到安培力的作用，水平方向應(yīng)用動(dòng)量定理

-BIlΔt=mvx-mv0

而

解得

vx=1.5 m/s

離開過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q2

而在豎直方向線框上下邊所受的安培力相互抵消，相當(dāng)于僅受重力作用，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知

可解得

線框在全過程中產(chǎn)生的焦耳熱

Q=0.037 5 J

(3)進(jìn)入磁場前：x≤0.4 m，Uc b=0

進(jìn)入磁場過程

0.4 m

在磁場中

0.5 m

出磁場過程

由水平方向的動(dòng)量定理得

解得

本題是浙江省2018年4月選考科目物理試題的壓軸題，其宗旨是考查物理的本源——力與能量.力是基礎(chǔ)，能量是境界，學(xué)生應(yīng)該用這兩種觀點(diǎn)認(rèn)知物理的本源，這也是物理學(xué)科核心素養(yǎng)的要求.第(1)問是從力的觀點(diǎn)直接列出平衡方程進(jìn)行求解，即重力與安培力平衡mg=BIl.第(2)問仍然要先進(jìn)行受力分析，在受力分析的基礎(chǔ)上運(yùn)用動(dòng)能定理進(jìn)行解題，或運(yùn)用動(dòng)量定理進(jìn)行求解.力與能量是貫穿整個(gè)高中物理的兩條主線，是解題時(shí)的兩個(gè)主要觀念，也是物理學(xué)科4個(gè)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).做功是一個(gè)過程，通過做功這個(gè)過程實(shí)現(xiàn)了能量的轉(zhuǎn)化，即W=ΔE.本題涉及的焦耳熱等于在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中克服安培力所做的功.沖量也是一個(gè)過程量，通過沖量這個(gè)過程實(shí)現(xiàn)動(dòng)量的變化，也體現(xiàn)了狀態(tài)與過程的關(guān)系，即I=ΔP，在利用動(dòng)量定理解題時(shí)一定要注意矢量的方向性.

本題對力與運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立作用原理的考查，體現(xiàn)了回歸基礎(chǔ)，抓住基礎(chǔ)就抓住了高考.線框的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分為4個(gè)階段，學(xué)生要對4個(gè)階段分別進(jìn)行力與運(yùn)動(dòng)的分析.線框進(jìn)入磁場前，受重力作用做平拋運(yùn)動(dòng)，即豎直方向做自由落體而水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)；線框進(jìn)入磁場時(shí)豎直方向受力平衡做勻速運(yùn)動(dòng)，水平方向兩個(gè)安培力相互抵消也做勻速運(yùn)動(dòng)；全部進(jìn)入磁場后，由于穿過線框的磁通量沒有變化，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律沒有感應(yīng)電流，相當(dāng)于線框在重力作用下繼續(xù)做平拋運(yùn)動(dòng)；線框離開磁場時(shí)，豎直方向受重力作用繼續(xù)加速運(yùn)動(dòng)，水平方向由于受到安培力的作用而做減速運(yùn)動(dòng).整個(gè)思維過程都是通過水平與豎直二維角度分析解決問題，從力的正交分解到平拋運(yùn)動(dòng)，是力的獨(dú)立作用原理與運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理，是物理核心素養(yǎng)中的基本觀念.選考命題的主導(dǎo)思想是：依據(jù)是教材，關(guān)鍵是基礎(chǔ)，主導(dǎo)是能力.在物理選考科目復(fù)習(xí)過程中，要充分體現(xiàn)知識(shí)的“基礎(chǔ)性”這一特點(diǎn).因?yàn)樽罨A(chǔ)的東西往往也是最有價(jià)值的東西.學(xué)生要考出高分不是把難題解決，而是基礎(chǔ)題不失分.選考試題無論考查什么能力都必須以相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)為載體，這就是選考科目的基礎(chǔ)性.因此，學(xué)生的知識(shí)越基礎(chǔ)，對新問題的適應(yīng)性就越廣，遷移能力就越強(qiáng).為此，在物理知識(shí)學(xué)習(xí)的過程中，要始終堅(jiān)持基礎(chǔ)這一原則.

2 培養(yǎng)問題解決能力 構(gòu)建數(shù)理模型

(1)求小球運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的速度大??；

(2)求小球在圓弧軌道上克服摩擦力所做的功；

(3)為使小球落點(diǎn)P與B點(diǎn)的水平距離最大，求BC段的長度；

(4)小球落到P點(diǎn)后彈起，與地面多次碰撞后靜止.假設(shè)小球每次碰撞機(jī)械能損失75%，碰撞前后速度方向與地面的夾角相等.求小球從C點(diǎn)飛出到最后靜止所需的時(shí)間.

圖3 例2題圖

本題的情境學(xué)生非常熟悉，屬于典型的圓周運(yùn)動(dòng)、直線運(yùn)動(dòng)與平拋運(yùn)動(dòng)多重迭加的運(yùn)動(dòng)過程，可以按照物理事件發(fā)生的順序進(jìn)行程序化解題.本題對數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力要求很高，走出考場的學(xué)生感慨自己不是倒在物理思路上，而是倒在數(shù)學(xué)運(yùn)算上.具體解析過程如下：

(2)從A到B，由動(dòng)能定理得

解得

Wf=2.4 J

(3)從B到C，由動(dòng)能定理得

B到P的水平距離

這是二次函數(shù)，當(dāng)vC=1.6 m/s時(shí)，P與B點(diǎn)的水平距離L最大，此時(shí)BC段的長度為

LBC=3.36 m

(4)碰撞前后速度方向與地面夾角相等，故碰撞前后水平和豎直分速度比例不變.每次碰撞機(jī)械能損失75%，故每次合速度和分速度均變?yōu)樵瓉淼囊话?設(shè)第n次損失后的豎直分速度為vy1，第n次碰撞到第n+1次的時(shí)間為tn

此為無窮遞縮等比數(shù)列，由求和公式得

t總=t0+t1+t2+…+tn=

本題對數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力要求很高，需要學(xué)生熟練構(gòu)建數(shù)理模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決物理問題.第(1)問與第(2)問還是體現(xiàn)了高中物理力與能量這兩條主線，通過受力分析直接列出牛頓第二定律，也就是圓周運(yùn)動(dòng)的向心力方程，通過運(yùn)動(dòng)過程的分析運(yùn)用動(dòng)能定理進(jìn)行求解.而第(3)問是典型的應(yīng)用二次函數(shù)求極值問題，根據(jù)所求解的問題先列出一般的函數(shù)關(guān)系式，即

這是二次函數(shù)，我們就可利用數(shù)學(xué)方法求解極值.第(4)問由于碰撞前后速度方向與地面夾角相等，故碰撞前后水平和豎直分速度比例不變.每次碰撞機(jī)械能損失75%，故每次合速度和分速度均變?yōu)樵瓉淼囊话?通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)每次小球在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為等比數(shù)列，即

t總=t0+t1+t2+…+tn=

我們運(yùn)用函數(shù)思想就是表明盡管物理量都在不斷變化著，但是相互聯(lián)系、相互制約，從中尋找某種相互聯(lián)系，在函數(shù)式子中研究其變化趨勢和規(guī)律.在研究物理問題時(shí)用函數(shù)思想將問題中的數(shù)學(xué)特征進(jìn)行提取，然后建立函數(shù)型的數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)描述物理量間的關(guān)系，從而進(jìn)行研究解決[1].第(3)題中BC段的長度變化與小球落點(diǎn)P與B點(diǎn)的水平距離就存在制約的函數(shù)關(guān)系.物理問題，許多是運(yùn)用函數(shù)定量進(jìn)行研究，最后得出物理規(guī)律.

《浙江省普通高中選考考試說明》明確要求學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)處理問題的能力；《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》要求教學(xué)“在使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，應(yīng)關(guān)注物理學(xué)與數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，重視培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)工具在物理學(xué)發(fā)展過程中的作用.”[2]

數(shù)學(xué)是物理研究的工具和物理結(jié)論的“代言人”，數(shù)學(xué)簡潔而嚴(yán)密的邏輯思維方式，簡化和加速了物理研究的進(jìn)程.數(shù)學(xué)高度概括性的特征，為描述具有深刻內(nèi)涵的物理概念和規(guī)律提供了絕佳的表現(xiàn)形式.“工欲善其事，必先利其器.”不擅長利用數(shù)學(xué)工具是無法解決好復(fù)雜的物理問題的.物理的研究過程本身就是運(yùn)用物理原理和數(shù)學(xué)思維方法來解決問題的過程.同時(shí)，物理和數(shù)學(xué)同樣注重邏輯思維的培養(yǎng)，因此，在平時(shí)的教學(xué)過程中，要非常重視數(shù)學(xué)與物理的結(jié)合，以達(dá)到數(shù)理的同頻共振.

3 意義與體會(huì)

在物理學(xué)習(xí)的每個(gè)階段，學(xué)生要腳踏實(shí)地，注重基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)與鞏固，關(guān)注本源的物理知識(shí).在解題時(shí)要注意回歸與回味，回歸到最簡潔的物理規(guī)律，回味解題的收獲與情感體驗(yàn).從牛頓的經(jīng)典力學(xué)到愛因斯坦的相對論；從麥克斯韋方程組的電與磁到量子力學(xué)波粒二象性的對立統(tǒng)一，數(shù)學(xué)思維方法無時(shí)不在幫助陳述和揭示物理的奧秘.物理研究過程本身就是運(yùn)用物理原理和數(shù)學(xué)思維方法來解決問題的過程.教師在教學(xué)實(shí)踐中要重視數(shù)學(xué)在高中物理學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建正確的物理模型和數(shù)學(xué)模型，兩者的完美結(jié)合才是物理的最高境界.