劉利瀾 李德安

(華南師范大學物理與電信工程學院 廣東 廣州 510006)

測單擺周期并計算重力加速度是大學普通物理實驗的重要內容,由于傳統(tǒng)實驗中利用秒表測單擺周期的方式存在較大的不穩(wěn)定性，有研究者嘗試借助DIS傳感器測單擺周期[1,2]，但該類儀器成本較高.在測周期實驗中，更創(chuàng)新的方法是通過手機傳感器記錄運動中物理量隨時間變化的情況，通過分析峰值間的時間間隔獲得運動周期.如利用加速度傳感器記錄彈簧諧振時加速度峰值的時間間隔[3]，用磁強計記錄勻變速直線運動中磁感應強度峰值的時間間隔等[4].

智能手機中的傳感器功能豐富逐漸應用于物理實驗中[5～11].本文通過手機傳感器測峰值間的時間間隔獲得周期的方式，設計了兩個單擺實驗.通過磁傳感器記錄空間中磁場強度隨時間變化的情況，測得簡諧運動的周期從而計算重力加速度.在常規(guī)單擺實驗的基礎上，拓展研究磁場對單擺周期的影響，通過光線傳感器記錄磁鐵在不同位置時單擺的運動情況，定性地分析變化磁場中單擺周期的變化趨勢.

1 理論背景

在單擺擺角較小(θ<5°)時,單擺的運動可近似看作簡諧振動.簡諧振動動力學公式

(1)

在沒有附加外力的作用下，單擺只受重力和拉力的作用，重力的分力提供回復力如圖1所示.

圖1 擺球受力作用示意圖

(2)

其中，l為擺長(懸點到球心的距離)，聯(lián)立式(1)、(2)，可推導出單擺周期的公式

(3)

重力加速度表達式

(4)

當單擺只在重力場中運動時，回復力由重力的分力提供.如果在豎直平面上，對擺球施加一個作用力，由牛頓第二定律知，單擺的回復力將改變.有外力作用的情況下，式(3)可表示為

(5)

其中a表示施加外力對單擺周期的影響.例如，當擺球擺到圖1中位置時，重力的分力沿圓弧切線方向，如果對擺球施加的外力F1沿圓弧切線方向的分力指向平衡位置時，a為正，單擺周期減小；如果對擺球施加的外力F2沿圓弧切線方向的分力背向平衡位置時，a為負，單擺周期增大.

2 利用手機傳感器設計單擺實驗

立足傳統(tǒng)單擺實驗，設計了利用手機傳感器研究單擺實驗的新方法，借助磁傳感器測量單擺的周期并計算重力加速度，借助光線傳感器定性地分析了變化磁場中單擺周期的變化情況.

2.1 磁傳感器測量單擺重力加速度

將磁鐵固定在擺球下端，智能手機固定在擺球平衡位置的最下方，如圖2所示，磁鐵隨擺球擺動時，空間中的磁場強度發(fā)生變化.打開手機磁傳感器(Phyphox Magnetometer)，記錄擺球擺動時空間中磁場的變化情況，單擺運動具有周期性特點，故手機磁傳感器接收到的磁感應強度也呈現(xiàn)周期性變化.導出并處理磁傳感器記錄的實時數(shù)據(jù)，可根據(jù)磁場峰值的時間間隔獲得單擺運動的周期T，如圖3所示.

圖3 B-t圖

利用如圖2所示的裝置，選取初始擺角為3°，在0.7～1 m之間，依次改變擺長,一次增加5 cm，共選取7個擺長，用磁傳感器記錄不同擺長時空間中磁場的變化情況,每個擺長對應的周期測量3組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)中選取20個峰值計算平均周期，數(shù)據(jù)記錄如表1所示.

表1 擺長與周期數(shù)據(jù)記錄

用Origin軟件擬合擺長(l)與周期平方(T2)的關系圖,如圖4所示，其擬合關系式為

T2=4.066l

從圖像中可以看出采集的7個數(shù)據(jù)幾乎都落在直線上，其斜率

k=4.066 s2/m

擬合相關系數(shù)

r=0.999 0

圖4 T2-l的擬合圖像

斜率的不確定度

σk=0.074 s2/m

利用式(4),可計算出重力加速度

g=9.709 m/s2

重力加速度g的不確定度

(6)

得

σg=0.177 m/s2

故實驗測得的g=9.709±0.177 m/s2，廣州當?shù)氐闹亓铀俣葹?.788 m/s2落在實驗的范圍[9.532，9.886]內，本實驗相對誤差

利用磁傳感器測重力加速度的相對誤差較小，結果較準確，借助手機傳感器將簡諧運動可視化，突破了傳統(tǒng)實驗中無法觀察到單擺做簡諧運動時在空間中的運動軌跡的難點，該方法為實驗教學提供了新思路.

在開展實驗時應注意，手機感應到的磁感應強度在1 000 μT以下為宜，避免過強的磁場損壞手機，因此，選取普通的磁鐵開展實驗且手機應與磁鐵保持一定的距離(本實驗中，磁鐵與手機間距為4 cm)；同時為避免金屬對磁鐵產生影響，應選取非金屬架懸掛帶磁鐵的擺球，以減少實驗誤差.

2.2 光傳感器研究磁場對單擺周期的影響

在單擺下方放置一塊磁鐵，擺球和磁鐵間存在引力，即可看成對擺球施加了一個周期性作用力，該作用力會影響擺球的回復力.改變磁鐵的位置，擺球受到的磁鐵的作用力會發(fā)生變化，由式(5)可知，變化的力對單擺周期產生不同的作用效果.打開手機光線傳感器(Phyphox Light)，當放置在光源和智能手機間的擺球擺動時,光線傳感器接收到的光信號發(fā)生變化.單擺的擺動表現(xiàn)為周期性，故手機接收到的光信號也呈現(xiàn)周期性的變化.處理光線傳感器記錄的圖像和數(shù)據(jù)，可獲得單擺的運動周期.

圖5 變化磁場中的單擺實驗裝置圖

利用圖5的單擺實驗裝置，選取初始擺長l為70 cm，擺角為3°，在擺球下方放置一塊圓形小磁鐵，在桌面上水平放置一條塑料直尺，擺球沿著直尺方向擺動.記磁鐵到擺球最低點的水平距離為d，單擺運動周期為T，無磁鐵時，T=1.682 s.以磁鐵在擺球最低點(平衡位置)正下方為初始位置，記為0 cm.從0 cm開始，沿同一水平方向每隔0.5 cm移動一次磁鐵.記錄磁鐵在不同位置時對應的單擺周期.在多次實驗過程中發(fā)現(xiàn)，當磁鐵移動到與擺球距離足夠大后，磁場對單擺運動的影響很小，所以當磁鐵移動到9 cm后，每隔1 cm移動一次磁鐵，觀察遠距離的磁鐵對周期的影響.磁鐵位置與單擺周期數(shù)據(jù)記錄如表2所示.

表2 磁鐵位置與單擺周期

利用表2 中記錄的實驗數(shù)據(jù)，繪制單擺運動周期(T)隨磁鐵位置(d)變化的圖像,如圖6所示.

圖6 T-d擬合圖像

由圖1可知，擺球擺到最高點與最低點的水平距離公式為

d0=lsinθ

(7)

其中l(wèi)是擺長，θ為擺角.用米尺測量得擺長

l=70 cmθ=3°

計算得

d0=3.66 cm

T-d的擬合曲線(圖6)可以看出，單擺周期隨磁鐵距離的增大呈現(xiàn)先增加再減小后趨于平緩的變化趨勢.分析圖像可知在受磁場作用下的單擺運動有以下特點：

(1)當磁鐵放在擺球最低點正下方時，單擺受磁鐵作用力沿圓弧切線方向的分力均指向平衡位置，均正向作用于單擺的回復力，加速度a>0,且為最大值.此時，單擺周期最?。?/p>

(2)將磁鐵從擺球最低點的正下方移動到擺球最高點正下方的過程中，單擺受到的磁鐵作用力沿切線方向的分力，部分指向平衡位置，部分背離平衡位置.隨著磁鐵距離的增加，磁鐵對單擺回復力的正向作用逐漸減弱，反向作用逐漸加強，加速度a從正向最大逐漸減小到零后再反向增大，故單擺運動周期隨磁鐵距離的增大而增加；

(3)磁鐵移動到擺球最高點正下方時，磁鐵對單擺回復力的反向作用力與正向作用力差值最大，即反向的加速度最大，此時，單擺周期取得最大值；

(4)將磁鐵從擺球最高點正下方繼續(xù)向外移動，磁鐵與擺球的距離逐漸增大，磁鐵對單擺回復力的反向作用減弱，單擺運動周期減小.當磁鐵與擺球的距離增大到一定程度后，磁鐵對單擺的影響幾乎可忽略時，單擺恢復自由擺動，單擺運動周期與不放磁鐵時周期相近.

由以上分析可知，給單擺外加的作用力會與重力共同影響單擺的回復力，對擺球施加不同的力，對單擺周期的影響也不同.有研究者通過理論分析,探究非均勻磁場中的單擺運動規(guī)律[12].但在實際情況中，磁鐵在空間中的磁力線分布難以用簡單的圖像準確描繪，在變化的磁場中的單擺運動也難以用簡單的公式分析.因此，通過實驗的手段定性地分析了有磁場作用時單擺的周期變化情況，為學習者創(chuàng)造探究學習的情境，未來，學習者可設計其他科學探究實驗，定量地總結單擺受外加變力作用時的周期變化情況.

3 結束語

設計了利用手機傳感器測量單擺運動周期的新方法，豐富了單擺實驗研究的廣度，拓寬學生在單擺實驗中思考的寬度.實驗表明在單擺實驗中引入磁力傳感器記錄簡諧運動的周期，并測得重力加速度的方法準確可靠.在研究變化磁場中單擺運動周期實驗中，通過外加磁場的方法改變單擺回復力，利用手機光線傳感器測量不斷調整磁鐵的位置后，單擺周期的變化情況，從實驗的角度拓展了變力作用時單擺運動的情況.

利用手機傳感器開展的實驗不僅能增加實驗的趣味性，還能為物理實驗研究提供新思路.手機傳感器功能豐富多樣，為開展創(chuàng)新的物理實驗提供更大的便利和自由[13].在將來，手機傳感器運用在物理實驗方面的探索會有更進一步的發(fā)展.