鄒明峻，馬玉梅，劉加朋，于金鵬

(青島大學(xué) 自動化學(xué)院，山東 青島 266071)

0 引 言

永磁同步電動機(PMSM)因具有結(jié)構(gòu)簡單、調(diào)速范圍寬、能量轉(zhuǎn)換效率高等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域。但電動機參數(shù)變化、負(fù)載轉(zhuǎn)矩干擾等不確定因素致使其成為一個多變量、強耦合的復(fù)雜非線性控制對象，傳統(tǒng)的矢量控制[1-2]和直接轉(zhuǎn)矩控制[3]方法難以獲得良好的動態(tài)響應(yīng)。此外，為增大功率密度、減小銅耗，PMSM的極對數(shù)相比異步電動機往往較多，在轉(zhuǎn)子速度相同時，其工作頻率更高、鐵芯損耗較大，導(dǎo)致電動機發(fā)熱量增大、溫度升高，而過高的溫度會使PMSM永磁體退磁。因此，必須考慮鐵損對電動機各項控制性能的影響。

近年來，許多學(xué)者將現(xiàn)代控制理論應(yīng)用于永磁同步電動機驅(qū)動系統(tǒng)相關(guān)控制問題的研究中，如自抗擾控制[4-6]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[7-8]和反步法[9-10]等。其中，反步法作為構(gòu)建控制器最有效的方法之一引起了越來越多研究者的關(guān)注，但傳統(tǒng)反步法無法處理系統(tǒng)中未知的非線性函數(shù)項。文獻[11-12]考慮到具有未知函數(shù)的非線性系統(tǒng)，在反步法的基礎(chǔ)上提出了將模糊邏輯系統(tǒng)與自適應(yīng)控制技術(shù)相結(jié)合的控制方法，克服了系統(tǒng)建模不充分和系統(tǒng)參數(shù)變化等不確定因素影響。然而，上述控制方法沒有考慮到狀態(tài)約束問題。

在許多實際工程應(yīng)用中，系統(tǒng)的狀態(tài)量需要被限制在合理的范圍內(nèi)，超出約束范圍可能對系統(tǒng)性能產(chǎn)生影響，使系統(tǒng)出現(xiàn)故障，甚至威脅人身安全。例如在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過程中，電動機的轉(zhuǎn)子機械角速度超過給定的范圍會使設(shè)備的生產(chǎn)效率和安全性降低；過大的勵磁電流會使電動機繞組發(fā)熱，產(chǎn)生嚴(yán)重的熱損耗，加速絕緣老化，縮短電動機使用壽命。為了解決傳統(tǒng)反步法無法約束狀態(tài)變量的問題，學(xué)者們提出了勢壘Lyapunov函數(shù)[13-15]，對系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入進行約束，使被控對象的狀態(tài)量和控制量限制在合理的區(qū)間。在目前階段，將基于勢壘Lyapunov函數(shù)的模糊自適應(yīng)反步控制方法應(yīng)用到考慮鐵損的PMSM驅(qū)動系統(tǒng)中仍然是一個尚未完成且具有挑戰(zhàn)性的課題。

綜上所述，本文提出了一種基于勢壘Lyapunov函數(shù)的模糊自適應(yīng)反步控制策略，設(shè)計了考慮鐵損的PMSM位置跟蹤控制器。所提出的控制方案具有以下優(yōu)點：

1)選取考慮鐵損的PMSM模型為研究對象，有助于提升控制策略的控制性能、降低能量損耗；

2)采用勢壘Lyapunov函數(shù)約束變量幅值，將系統(tǒng)的狀態(tài)量限制在給定的約束區(qū)間內(nèi)，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時兼顧了安全性；

3)與文獻[11]相比，僅使用一個自適應(yīng)律，減輕系統(tǒng)在線計算負(fù)擔(dān)，易于工程實現(xiàn)。

仿真結(jié)果表明了所提出控制策略的有效性。

1 數(shù)學(xué)模型及初步變換

基于同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)(d-q)，建立考慮鐵損的PMSM動態(tài)模型[16-17]：

其中：Θ,ω,J,TL和np分別為轉(zhuǎn)子角位置、轉(zhuǎn)子角速度、轉(zhuǎn)動慣量、負(fù)載轉(zhuǎn)矩和極對數(shù)；id和iq為d,q軸定子電流；iod和ioq為d,q軸的勵磁電流；ud和uq為d,q軸定子電壓；Ld和Lq是定子電感；Lld和Llq是定子漏感；Lmd和Lmq是勵磁電感；Rs和Rf表示定子電阻和鐵芯損耗電阻；λPM表示轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的勵磁磁通。為了簡化上述動態(tài)模型，定義如下新變量：

則考慮鐵損的PMSM的動態(tài)模型可表示為

(1)

控制目標(biāo)是設(shè)計控制律ud和uq，使x1跟蹤期望軌跡xd；同時，確保PMSM驅(qū)動系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量始終被限制在給定的緊集Ωx內(nèi)，其中Ωx:={|xi|≤kci,i=1,2,3,4,5,6}，kci為正常數(shù)。

2 控制器設(shè)計

由反步法原理定義如下誤差變量：

z1=x1-xd,z2=x2-α1,z3=x3-α2,
z4=x4-α3,z5=x5,z6=x6-α4

(2)

其中,xd為給定期望信號，αi(i=1,2,3,4)為利用勢壘Lyapunov函數(shù)設(shè)計的虛擬控制律，其具體結(jié)構(gòu)將在下面的設(shè)計過程中給出。定義緊集Ωz:={|zi|

Step1 選取勢壘Lyapunov函數(shù)

對V1求導(dǎo)得：

(3)

(4)

其中k1為大于零的常數(shù)，則可得：

(5)

Step2 選取勢壘Lyapunov函數(shù)

對V2求導(dǎo)可得：

(6)

注意到實際負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL為有限值，假設(shè)其上限為d>0，則有0≤|TL|≤d。利用楊氏不等式可得：

其中ε1為任意小的正數(shù)。式(6)可表示為：

(7)

(8)

選取虛擬控制律α2：

(9)

Step3 選取勢壘Lyapunov函數(shù)

求導(dǎo)后可得：

(11)

根據(jù)引理1，對于任意給定的ε3>0，有：

(12)

選取如下虛擬控制律α3：

(13)

將式(12)、式(13)帶入式(11)，可得：

Step4 選取勢壘Lyapunov函數(shù)

對其求導(dǎo)可得：

(15)

(16)

設(shè)計真實控制律uq：

(17)

將式(16)、式(17)帶入式(15)，可得

Step5 選取勢壘Lyapunov函數(shù)

(19)

(20)

構(gòu)造虛擬控制律α4：

(21)

將式(20)和式(21)代入式(19)，可得：

Step6 選取勢壘Lyapunov函數(shù)

求導(dǎo)后可得：

(23)

(24)

構(gòu)建真實控制律ud：

(25)

(26)

Step7 選取系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)

則可得：

(27)

選取如下自適應(yīng)律：

(28)

其中r,m和li(i=2,3,4,5,6)均為正數(shù)。

3 穩(wěn)定性證明

將式(28)代入式(27)，可得：

(29)

由楊氏不等式可知：

(30)

(31)

4 仿真結(jié)果分析

(a)建立基于勢壘Lyapunov函數(shù)的模糊自適應(yīng)控制器對考慮鐵損的PMSM驅(qū)動系統(tǒng)進行控制，并選擇控制器參數(shù)：k1=10，k2=7，k3=100，k4=50，k5=20，k6=30，r=0.05，m=0.02，l2=0.25，l3=0.25，l4=0.25，l5=0.25，l6=0.25。限制電動機的狀態(tài)：|x1|≤2，|x2|≤30,|x3|≤30，|x4|≤30，|x5|≤30，|x6|≤30。選擇最優(yōu)設(shè)計參數(shù)：kb1=1，kb2=30，kb3=30，kb4=30，kb5=30，kb6=30。

(b)將未考慮狀態(tài)約束的模糊自適應(yīng)控制器與本文所提出方法進行對比仿真，選取相同的控制器參數(shù)和電動機參數(shù)。

仿真結(jié)果如圖1～圖6所示，其中圖1(a)～圖6(a)是本文所提出的基于狀態(tài)約束的模糊自適應(yīng)控制器的仿真結(jié)果；圖1(b)～圖6(b)為不考慮狀態(tài)約束的控制方案仿真結(jié)果。圖1為x1與xd的波形對比，圖2為跟蹤誤差z1的曲線，圖3和圖4展示了系統(tǒng)的狀態(tài)空間，圖5和圖6為uq和ud的波形。當(dāng)t=5 s時，仿真模擬了負(fù)載轉(zhuǎn)矩發(fā)生變化的情況，由跟蹤圖可知，在存在負(fù)載擾動的情況下，兩種控制方案都可獲得滿意的跟蹤結(jié)果。

注2 圖1(a)、圖3(a)和圖4(a)中系統(tǒng)的狀態(tài)變量都被限制在緊集Ωx內(nèi)，而圖3(b)中狀態(tài)x3幅值的變化區(qū)間為[-20,40]，超出了給定的范圍。仿真結(jié)果表明本文提出的基于狀態(tài)約束的模糊自適應(yīng)控制器具有良好的魯棒性和抗干擾能力，在滿足各種約束條件下實現(xiàn)了PMSM的位置跟蹤控制，更符合實際應(yīng)用的需要。

圖1 x1和xd的波形

圖2 跟蹤誤差z1的曲線

圖3 x2,x3和x4的運動軌線

圖4 x2,x5和x6的運動軌線

圖5 q軸電壓

圖6 d軸電壓

5 結(jié) 論

本文將基于勢壘Lyapunov函數(shù)的模糊自適應(yīng)反步方法應(yīng)用于考慮鐵損的PMSM位置伺服控制中。相比較傳統(tǒng)反步控制策略，本文提出的基于勢壘Lyapunov函數(shù)的控制方法對電動機的狀態(tài)量進行了約束，在保證系統(tǒng)控制穩(wěn)定性的同時兼顧安全性。此外，考慮了鐵損對PMSM驅(qū)動系統(tǒng)的影響，提高控制策略的控制性能、降低能量損耗。仿真結(jié)果表明了本文提出的方法在保證狀態(tài)約束的同時實現(xiàn)了良好的跟蹤控制效果。