蘇錦智，張繼鵬，安群濤, 孫建國，張建秋

(1.包頭長安永磁電機有限公司，包頭 014030；2.哈爾濱工業(yè)大學 電氣工程系，哈爾濱 150001)

0 引 言

在高速電機系統(tǒng)中基波頻率較大，以及大功率電機驅動中開關頻率較低，使得載波比降低，數(shù)字延時造成了電流控制性能下降。表現(xiàn)為d、q軸間耦合問題加重、離散誤差增大和延時導致電流環(huán)不穩(wěn)等。為改善低載波比下d、q軸電流解耦效果，前饋、反饋、內(nèi)模、復矢量等方法被提出[1-4]。然而，通常的電機數(shù)字控制器設計思路是首先建立系統(tǒng)連續(xù)時間域數(shù)學模型并選取合適連續(xù)時間域的控制參數(shù)，再采用歐拉、雙線性變換(Tustin)等方法進行離散化，這在載波比較高時能夠實現(xiàn)較好的控制效果，但隨著載波比降低，將會產(chǎn)生較大的數(shù)字控制延遲，進而影響電流動態(tài)解耦效果和系統(tǒng)性能。文獻[5]考慮數(shù)字控制延遲和逆變器輸出電壓鉗位效應，建立了精確的離散時間域交流電機數(shù)學模型，基于z平面零極點對消原理設計離散化控制器，取得了較好的電流解耦效果。文獻[6]通過引入電壓磁通方程，拓展了直接離散化電流調節(jié)器對同步磁阻電機的適應性。文獻[7]建立了永磁同步電機零階保持等效模型，設計二自由度PI電流控制器，提高了低載波比控制器對參數(shù)變化魯棒性。

本文在永磁同步電機的離散數(shù)學模型基礎上，通過對連續(xù)域和離散域下電流環(huán)零極點的對比分析，揭示傳統(tǒng)采用連續(xù)域設計電流環(huán)再進行離散化方法的存在的問題，在離散域下直接進行電流環(huán)的分析和設計，能夠提升電流控制性能。低載波比下的對比實驗表明，離散域設計的電流環(huán)較常規(guī)方法設計的電流環(huán)具有更好的穩(wěn)定性和控制性能。

1 永磁同步電機的離散數(shù)學模型

1.1 離散化時變量間的關系

在數(shù)字電機控制器中，采樣與更新時序如圖1所示。在三角載波零點處對電流采樣，然后計算控制算法，并在下一個三角載波過零點更新比較值。

圖1 控制器采樣與更新時序

當載波比較低時，一個開關周期之內(nèi)實際角度的變化不可忽略。考慮電氣時間常數(shù)遠小于機械時間常數(shù)，認為一個開關周期內(nèi)的轉速不變，角度線性變化，滿足：

θe(t)=θe[n]+ωe[n](t-nT)

(1)

式中，θe為電機轉子電角度，ωe為電角速度，T為開關周期；t為第n個開關周期內(nèi)時間，nT≤t≤(n+1)T。

由于更新比較值時，當前開關周期的輸出電壓為上一開關周期計算得到的電壓，存在一拍的延時，即：

(2)

這一拍延時，只是靜止坐標系下的電樞電壓，而非dq坐標系下的電壓。若認為一個開關周期內(nèi)角度發(fā)生變化，dq坐標系下的電壓滿足：

(3)

聯(lián)立式(1)和式(3)，可得dq軸電壓在第n個開關周期內(nèi)的連續(xù)值和該周期離散值的表達式：

udq(t)=e-jθ(t)ejθ[n]udq[n]=e-jωe(t-nT)udq[n]

(4)

1.2 離散數(shù)學模型

表貼式永磁同步電機(SPMSM)在dq坐標系下的電壓方程為：

(5)

式中，ud、uq，id、iq分別為d和q軸電壓和電流；R為繞組電阻；L為繞組電感；ψf為永磁磁鏈。

式(5)寫成狀態(tài)方程的形式，如下：

(6)

式中，狀態(tài)向量x=idq=[idiq]T；輸入向量u=[udqedq]T；狀態(tài)系數(shù)矩陣的復數(shù)形式為Ac=-R/L-jωe；輸入系數(shù)矩陣Bc=[1/L-1/L]I；輸出系數(shù)矩陣Cc=I，I為單位矩陣；y為輸出向量。

將連續(xù)模型離散化的方法較多，根據(jù)時域離散相似法的原理表達式：

(7)

(8)

將電機的連續(xù)數(shù)學模型(6)離散如下：

(9)

式中，Ad為離散狀態(tài)方程系數(shù)矩陣，Ad=[e-(R+jωeL)T/L]；Bd為離散狀態(tài)方程控制矩陣，如式(10)所示；Cd為離散狀態(tài)方程輸出矩陣，Cd=I。

(10)

離散域下電機電流環(huán)的傳遞函數(shù)表達式為：

(11)

聯(lián)立式(3)，則傳遞函數(shù)表達式如下：

(12)

2 離散域下電流控制器設計

2.1 連續(xù)域PI控制器

通常電流環(huán)控制器是在連續(xù)時間域下進行設計，并選取適當?shù)碾x散化方法在數(shù)字控制系統(tǒng)中實現(xiàn)，常用的離散方法有前向差分、后向差分、Tustin等。前饋解耦后連續(xù)時間域下電流環(huán)的傳遞函數(shù)為：

(13)

以q軸為例，電流環(huán)的傳遞函數(shù)框圖如圖2所示。TPWM為逆變器延遲環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，TFi為電流采樣的濾波時間常數(shù)，逆變器延遲環(huán)節(jié)的時間常數(shù)遠小于電機的電氣時間常數(shù)。工程上常將電流內(nèi)環(huán)整定為I型系統(tǒng)，選取PI控制作為電流調節(jié)器進行零極點對消，其整定結果表達式如下：

(14)

式中，α為電流環(huán)的帶寬。

圖2 q軸電流環(huán)傳遞函數(shù)控制框圖

式(14)中的PI控制器是在連續(xù)域下設計得到的，經(jīng)過Tustin離散后，其表達式為：

(15)

對比上式和式(12)可知，在連續(xù)域下可以實現(xiàn)電流環(huán)的零極點對消，而在離散域下并不滿足。

在離散時間域下，畫出式(12)的極點分布與式(15)的零點分布隨轉速上升的變化規(guī)律，如圖3(a)所示，其中電機參數(shù)見實驗部分。轉速從0以1000 r/min的間隔上升至30000 r/min，開關頻率為10 kHz，對應的載波比由無窮降至20。圖3(b)為經(jīng)過PI控制并采用Tustin離散后的電流環(huán)閉環(huán)傳函極點分布隨載波比下降的規(guī)律圖。圖3(a)中可見，隨著載波比的降低，電流環(huán)開環(huán)傳函的一個極點向阻尼比降低的單位圓外移動，而經(jīng)離散的傳統(tǒng)PI控制器的零點始終在實軸上不移動，無法實現(xiàn)零極點的對消。圖3(b)中可見，電流環(huán)閉環(huán)傳函的三個極點隨著載波比降低移動范圍較大，盡管極點分布的范圍均在單位圓內(nèi)，但閉環(huán)極點較大的移動范圍勢必對電流環(huán)的控制性能產(chǎn)生影響，不同轉速下的電流環(huán)控制性能不同，難以適應較寬的調速范圍。

圖3 離散域下PI控制電流環(huán)極點分布圖

2.2 離散域下電流環(huán)設計

觀察式(12)，在離散域下直接設計電流環(huán)控制器，以實現(xiàn)零極點對消。為保證電流環(huán)控制器的階數(shù)與傳統(tǒng)PI控制器一致，設計的電流環(huán)控制器分母分子階數(shù)應與式(15)一致，其公式如下：

(16)

式中，kz為離散電流環(huán)控制器的參數(shù)。

設計的電流環(huán)控制器中，分子的零點保證了電流環(huán)的零極點對消，而式中的e指數(shù)耦合項則用于實現(xiàn)對一個開關周期內(nèi)角度變化的補償。但在該電流環(huán)控制器中，不具備連續(xù)域下明顯的積分或比例的實際意義。

畫出電流環(huán)閉環(huán)傳函的零極點分布隨載波比降低的變化規(guī)律，如圖4所示，其中kz為0.7381?？梢姡]環(huán)傳函的兩個極點隨載波比降低并不移動，而另一個極點與零點隨載波比降低同步地向阻尼比降低的方向移動，可以認為控制器式(16)實現(xiàn)了零極點的對消，電流環(huán)的控制性能基本不隨載波比降低而變化。

圖4 離散域設計的電流閉環(huán)零極點分布圖

經(jīng)過分析可知，零極點對消后剩余的兩個閉環(huán)極點，是方程(17)的解。

(17)

考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性，這兩個閉環(huán)極點應在單位圓內(nèi)，根據(jù)式(17)求得，kz∈[0,2.1726]，該參數(shù)的值決定了兩個閉環(huán)極點的位置，進而確定了電流環(huán)的阻尼比。常取阻尼比ξ為0.707，此時參數(shù)kz為0.7381。

參數(shù)kz的取值范圍較小，下面進行魯棒性分析?？紤]電機的電氣時間常數(shù)存在±5%的攝動，電流環(huán)閉環(huán)傳函的零極點分布如圖5(a)所示，在三個閉環(huán)極點附近的放大圖分別如圖5(b)、圖5(c)和圖5(d)所示?？梢?，當電機的參數(shù)存在誤差時，設計的離散域電流環(huán)控制器難以實現(xiàn)零極點的對消，且閉環(huán)極點的位置隨著載波比降低而變化，電流環(huán)控制性能下降。但極點隨載波比降低的移動的偏差較小，均在單位圓內(nèi)，可以認為設計的電流環(huán)控制器魯棒性較好。

圖5 電機參數(shù)攝動時電流環(huán)閉環(huán)零極點分布變化圖

3 實驗驗證

為評估離散電流控制環(huán)的性能，在3 kW永磁同步電機驅動系統(tǒng)上進行了測試，電機參數(shù)：額定轉速30000 r/min，電阻0.7 Ω，電感0.18 mH，永磁磁鏈0.036 Wb，極對數(shù)為1。供電電壓300 VDC。為驗證低載波條件下電流環(huán)的控制效果，開關頻率設定為600 Hz，負載為2 Nm。分別對連續(xù)PI控制器Tustin離散法和離散域設計的電流控制器進行帶載加速，從200 r/min以50 r/min·s-1的加速度加速至1200 r/min(即載波比為7.5)，波形如圖6所示。

可見，當載波比降低時，電流控制效果明顯變差，這是由于一個正弦周期內(nèi)采樣點較少造成的必然結果。圖6(a)中，使用經(jīng)典PI控制器下，轉速在升速到1000 r/min附近，q軸電流誤差顯著增大，電流內(nèi)環(huán)失去穩(wěn)定，進而使得轉速外環(huán)失去穩(wěn)定。而圖6(b)中，載波比降低導致q軸電流誤差增大，但電機仍能穩(wěn)定運行在1200 r/min。

圖6 兩種電流環(huán)的性能對比

為驗證離散域設計電流環(huán)在低載波下的控制性能，對電流階躍響應和負載擾動性能分別進行測試。首先將電機堵轉，使用120 Hz的開環(huán)位置角，給定q軸電流從0 A階躍至3 A進行驗證，此時載波比為5，波形如圖7(a)所示。電流環(huán)階躍響應時間約為40 ms，相比于15 ms的電氣時間常數(shù)響應較迅速。在1800 r/min轉速下(載波比為5)，通過加減2 Nm負載驗證轉速電流雙閉環(huán)的控制效果，結果如圖7(b)所示。盡管q軸電流誤差較大，但電機仍能穩(wěn)定運行，且對負載突變抗擾性能良好。而經(jīng)典的電流環(huán)控制器不論在電機堵轉還是1800 r/min時，均在載波比為5時無法穩(wěn)定運行。

圖7 低載波比下的離散電流環(huán)性能

4 結 論

針對低載波比運行條件時永磁同步電機電流環(huán)控制性能下降的問題，在離散時間域下對電流環(huán)控制器進行設計。通過將電機的數(shù)學模型離散化，直接在離散域下設計電流環(huán)，并給出參數(shù)確定方法。通過實驗驗證電流環(huán)控制器離散域設計方法的有效性，提高低載波比下永磁同步電機的控制性能。