馬金洋，張玉光，李國(guó)銀，李 浪

(1.中車(chē)青島四方車(chē)輛研究所有限公司,山東 青島 266112；2.重慶中車(chē)四方所科技有限公司，重慶401133)

0 引 言

永磁系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確跟蹤或復(fù)現(xiàn)輸入指令，憑借其良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能、高的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，在各行各業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用[1]。在中小容量高精度傳動(dòng)領(lǐng)域，廣泛采用永磁同步伺服電機(jī)，以在轉(zhuǎn)子上加永磁體的方法來(lái)產(chǎn)生磁場(chǎng)。由于永磁材料的固有特性，它不再需要外加能量就能在其周?chē)臻g建立很強(qiáng)的永久磁場(chǎng)。這既可簡(jiǎn)化電機(jī)結(jié)構(gòu)，又可節(jié)約能量。目前市場(chǎng)上大部分全數(shù)字交流永磁同步電機(jī)伺服控制系統(tǒng)的產(chǎn)品大部分來(lái)自日本、德國(guó)和美國(guó)。近年來(lái)國(guó)內(nèi)交流永磁同步電機(jī)伺服控制系統(tǒng)的研究非?；钴S，天津大學(xué)、華中科技大學(xué)、沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)等研究出由單片機(jī)構(gòu)成的全數(shù)字交流永磁同步電機(jī)伺服控制系統(tǒng)，采用預(yù)測(cè)控制和空間矢量控制技術(shù)，改善了電流控制性能和系統(tǒng)響應(yīng)精度。數(shù)字控制技術(shù)的應(yīng)用，不僅使系統(tǒng)獲得高精度、高可靠性，還為新型控制理論和方法的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。中國(guó)國(guó)內(nèi)品牌主要有森創(chuàng)、華中數(shù)控、廣州數(shù)控、南京埃斯頓和蘭州數(shù)控等。

隨著機(jī)電一體化步伐的不斷加快，伺服系統(tǒng)已經(jīng)滲透到許多領(lǐng)域，如數(shù)控、制造、航天等，這些領(lǐng)域是一個(gè)國(guó)家綜合國(guó)力的重要體現(xiàn)方面。在伺服系統(tǒng)中，伺服電機(jī)與被驅(qū)動(dòng)負(fù)載之間通常采用耦合的方式連接，由于伺服電機(jī)與被驅(qū)動(dòng)負(fù)載之間的連接軸剛度較低，容易引起機(jī)械振動(dòng)，而機(jī)械振動(dòng)會(huì)影響伺服的控制精度[2-3]，因此，對(duì)伺服系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)抑制顯然顯得十分重要。隨著對(duì)永磁系統(tǒng)機(jī)械諧振研究的不斷深入，在諧振頻率檢測(cè)方面也取得了較大進(jìn)展。根據(jù)諧波檢測(cè)的發(fā)展歷程，已經(jīng)存在了幾種檢測(cè)方法[4-5]：基于模擬濾波器進(jìn)行諧波檢測(cè)；基于傅里葉變換的諧波測(cè)量方法[6-8]；基于小波變換方法的諧波測(cè)量[9]；基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的檢測(cè)方法[10]。為抑制檢測(cè)到的諧振頻率，文獻(xiàn)[11]采用數(shù)字陷波濾波器來(lái)抑制機(jī)械諧振，但是這種陷波器的在中心頻率點(diǎn)的陷波幅值很大，會(huì)對(duì)系統(tǒng)性能造成較大影響，此外陷波幅值和寬度由同一參數(shù)控制，不容易調(diào)節(jié)。文獻(xiàn)[12]在傳統(tǒng)的陷波器的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)擴(kuò)展提出了一種改進(jìn)的陷波器。陷波濾波器(notch filter)是一種可以在某一個(gè)頻率點(diǎn)迅速衰減輸入信號(hào)，以達(dá)到阻礙此頻率信號(hào)通過(guò)的濾波效果。為有效解決伺服系統(tǒng)中由于機(jī)械剛度低產(chǎn)生的機(jī)械共振，本文以數(shù)字陷波器為抑制機(jī)械振動(dòng)的基礎(chǔ)，利用MATLAB對(duì)伺服驅(qū)動(dòng)模型進(jìn)行仿真，然后借助FDATool設(shè)計(jì)了2階直接II型陷波器，消除了伺服和負(fù)載組成的雙慣性系統(tǒng)之間的共振頻率。

粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization,PSO)是受鳥(niǎo)群遷徙的社會(huì)行為啟發(fā)，基于群體智能的計(jì)算技術(shù)。PSO中的每個(gè)解(鳥(niǎo)群中每只鳥(niǎo))被認(rèn)為是“粒子”，其作用與遺傳算法的染色體類(lèi)似。但PSO不同于遺傳算法，并不根據(jù)“父代”生成新的“子代”。PSO模仿了鳥(niǎo)群飛翔時(shí)的通信行為:每只鳥(niǎo)在飛翔時(shí)與其他個(gè)體通信，以確定處于最好位置的個(gè)體，以依賴(lài)于當(dāng)前位置的速度飛向該最好個(gè)體，并在新的位置上計(jì)算適應(yīng)度，上述過(guò)程重復(fù)進(jìn)行，直至達(dá)到目標(biāo)為止。PSO中每只鳥(niǎo)都具備學(xué)習(xí)自身經(jīng)驗(yàn)(局部搜索)和其他群體經(jīng)驗(yàn)(全局搜索)的能力。

針對(duì)共軸傳動(dòng)中的扭振問(wèn)題，首先對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，建立數(shù)學(xué)模型，其次采用陷波器進(jìn)行濾波。傳統(tǒng)的陷波器設(shè)計(jì)對(duì)模型有一定的依賴(lài)性、參數(shù)調(diào)節(jié)較為復(fù)雜。針對(duì)參數(shù)不易整定存在的問(wèn)題，提出一種基于粒子群算法的參數(shù)自整定方法。通過(guò)傳函變換，實(shí)現(xiàn)了在線信號(hào)采集，在線優(yōu)化處理，避免了在線優(yōu)化容易激起系統(tǒng)振蕩，優(yōu)化過(guò)程無(wú)需建模、無(wú)振動(dòng)、精確度高。

1 永磁電機(jī)控制振蕩系統(tǒng)模型搭建

1.1 交流永磁電機(jī)數(shù)學(xué)模型

交流永磁同永磁電機(jī)的數(shù)學(xué)模型比直流電機(jī)要復(fù)雜的多，為了便于分析，在建立數(shù)學(xué)模型之前，做了如下假設(shè)：

(1)忽略磁滯損耗的影響；(2)不考慮鐵心飽和；(3)不計(jì)渦流損耗；(4)轉(zhuǎn)子上無(wú)阻尼繞組；(5)永磁材料的電導(dǎo)率為零。

交流永磁永磁電機(jī)在A-B-C坐標(biāo)系上的電壓方程可表示為

(1)

式中，ua、ub、uc為三相定子相電壓的瞬時(shí)值，ia、ib、ic為三相定子相電壓的瞬時(shí)值，Rs為定子電阻，ψa、ψb、ψc為定子相繞組磁鏈瞬時(shí)值。

以矩陣形式表示電壓方程，可得：

(2)

式中，p為微分算子。ψf為永磁體磁鏈幅值，其在三相繞組中可以表示為

(3)

式中，ψra、ψrb、ψrc為轉(zhuǎn)子相繞組磁鏈瞬時(shí)值，θ為永磁體磁鏈與定子繞組夾角。定子磁鏈方程可表示如下：

(4)

電磁轉(zhuǎn)矩方程可表示為

(5)

式中，Te為電磁轉(zhuǎn)矩，np為電機(jī)極對(duì)數(shù)。

1.2 雙慣量末端振蕩系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

雙慣量系統(tǒng)又稱(chēng)為雙質(zhì)量系統(tǒng)，在工業(yè)應(yīng)用中十分常見(jiàn)，如工業(yè)機(jī)器人、軋鋼機(jī)等，一般由永磁電機(jī)、被驅(qū)動(dòng)負(fù)載以及連接二者的傳動(dòng)軸等組成，雙慣性系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 雙質(zhì)量系統(tǒng)模型

圖1中，JM、JL、Ks分別為永磁電機(jī)的慣性矩、負(fù)載端的慣性矩和傳動(dòng)軸的彈性系數(shù)、Tm、T1、ωm、ω1分別為電機(jī)轉(zhuǎn)矩、擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩、電機(jī)轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)速。該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)可以表示為式(6)。

(6)

式中，Jall=JM+JL，ωp為共振頻率，ωz為反共振頻率，表達(dá)式如:

(7)

(8)

從公式可看出，雙慣性系統(tǒng)的共振頻率和反共振頻率是由電機(jī)和負(fù)載端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及軸的剛度產(chǎn)生。當(dāng)負(fù)載端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很大時(shí)共振頻率約等于反共振頻率，當(dāng)電機(jī)和負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量固定時(shí)，系統(tǒng)共振頻率只與軸的剛度有關(guān)，軸剛度可表示為

(9)

式中，ro為軸半徑，G為剪切模量，L為軸的長(zhǎng)度。

根據(jù)圖1可知，雙慣性系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

(10)

式中，Ts為連接永磁電機(jī)與被驅(qū)動(dòng)負(fù)載的軸的轉(zhuǎn)矩，BL、BM為負(fù)載和電機(jī)的粘滯系數(shù)。

2 粒子群優(yōu)化算法基本過(guò)程

粒子群算法(PSO)的基本概念源于對(duì)鳥(niǎo)群覓食行為的研究。用一種粒子來(lái)模擬上述的鳥(niǎo)類(lèi)個(gè)體，每個(gè)粒子可視為N維搜索空間中的一個(gè)搜索個(gè)體，粒子的當(dāng)前位置即為對(duì)應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)候選解，粒子的飛行過(guò)程即為該個(gè)體的搜索過(guò)程．粒子的飛行速度可根據(jù)粒子歷史最優(yōu)位置和種群歷史最優(yōu)位置進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整．粒子僅具有兩個(gè)屬性：速度和位置，速度代表移動(dòng)的快慢，位置代表移動(dòng)的方向。每個(gè)粒子單獨(dú)搜尋的最優(yōu)解叫做個(gè)體極值，粒子群中最優(yōu)的個(gè)體極值作為當(dāng)前全局最優(yōu)解。不斷迭代，更新速度和位置。最終得到滿(mǎn)足終止條件的最優(yōu)解。

算法流程如下：

1.初始化

首先，我們?cè)O(shè)置最大迭代次數(shù)，目標(biāo)函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)，粒子的最大速度，位置信息為整個(gè)搜索空間，我們?cè)谒俣葏^(qū)間和搜索空間上隨機(jī)初始化速度和位置，設(shè)置粒子群規(guī)模為M，每個(gè)粒子隨機(jī)初始化一個(gè)飛翔速度。

2.個(gè)體極值與全局最優(yōu)解

定義適應(yīng)度函數(shù)，個(gè)體極值為每個(gè)粒子找到的最優(yōu)解，從這些最優(yōu)解找到一個(gè)全局值，叫做本次全局最優(yōu)解。與歷史全局最優(yōu)比較，進(jìn)行更新。

3. 更新速度和位置

4. 終止條件

(1)達(dá)到設(shè)定迭代次數(shù)；(2)代數(shù)之間的差值滿(mǎn)足最小界限。

以上過(guò)程是PSO算法流程，PSO算法在優(yōu)化過(guò)程中，種群的多樣性和算法的收斂速度之間始終存在著矛盾．對(duì)標(biāo)準(zhǔn)PSO算法的改進(jìn)，無(wú)論是參數(shù)的選取、小生境技術(shù)的采用或是其他技術(shù)與PSO的融合，其目的都是希望在加強(qiáng)算法局部搜索能力的同時(shí)，保持種群的多樣性，防止算法在快速收斂的同時(shí)出現(xiàn)早熟收斂。

3 粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化陷波器參數(shù)

3.1 陷波器設(shè)計(jì)

實(shí)際永磁系統(tǒng)大都是采用向控制系統(tǒng)中加入濾波器的方法來(lái)進(jìn)行諧振補(bǔ)償。陷波器可有效地濾除信號(hào)中諧振成分，陷波器的傳遞函數(shù)如：

(11)

式中，f為陷波中心頻率，單位Hz；ξ為深度參數(shù)，表征了中心頻率處幅頻特性的深度，在中心頻率處可提供-20lgξdB的幅值衰減；k為寬度參數(shù)，單位Hz，表示以陷波中心頻率為中心幅值下降3 dB時(shí)的兩側(cè)寬度；通過(guò)調(diào)整濾波器的ξ，k兩個(gè)參數(shù)，可以得到不同陷波幅值和帶寬的頻率特性，兩個(gè)參數(shù)的整定原則為：

(1)當(dāng)0<ξ<1時(shí)，且寬度參數(shù)k不變時(shí)，其頻率特性曲線是凹陷的，且當(dāng)ξ越小時(shí)陷波中心頻率處提供的幅值衰減越大。

(2)當(dāng)深度參數(shù)ξ固定不變時(shí)，隨著寬度參數(shù) 值的增加，頻率特性曲線凹口的范圍逐漸大。

3.2 陷波器主要參數(shù)對(duì)陷波效果的影響探究

為了驗(yàn)證陷波器的正確性，模擬了一個(gè)幅度為1，頻率為10 kHz的正弦波，其中摻雜著幅度為1，頻率為20 kHz的正弦噪聲，用Matlab設(shè)計(jì)一個(gè)20 kHz的陷波器，將摻雜了20 kHz噪音的10 kHz信號(hào)經(jīng)過(guò)濾波器，利用FDATool導(dǎo)出Matlab程序驗(yàn)證陷波器的正確性并導(dǎo)出陷波器系數(shù)。發(fā)現(xiàn)僅改變apass參數(shù)由小變大，調(diào)節(jié)時(shí)間依次減小，但是對(duì)應(yīng)的濾波范圍變寬，“點(diǎn)”阻效果變差。由表2知，僅改變bw參數(shù)，帶寬越大，雖然抑制越快，但窄帶會(huì)變寬，即可濾頻率增多，單一性差。研究證明了陷波器參數(shù)需要尋優(yōu)，即參數(shù)apass和bw之間需要折中值以滿(mǎn)足系統(tǒng)靜動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

3.3 PSO優(yōu)化陷波器參數(shù)

本文所采用的技術(shù)方案是，一種利用PSO優(yōu)化陷波器參數(shù)進(jìn)行伺服共振抑制的方法，通過(guò)檢測(cè)伺服系統(tǒng)的共振頻率，采用PSO算法設(shè)計(jì)并優(yōu)化陷波濾波器參數(shù)，達(dá)到抑制共振的目的，具體按以下步驟實(shí)施：

步驟1，初始化PSO算法及陷波濾波器相關(guān)參數(shù)、陷波器相關(guān)參數(shù)：采樣頻率f，陷波頻率fnotch，帶寬BW(0～10K)，品質(zhì)因數(shù)Q、幅值衰減Apass；

步驟2，對(duì)需要進(jìn)行抑制共振的伺服系統(tǒng)進(jìn)行Matlab建模，通過(guò)程序FFT分析轉(zhuǎn)速信號(hào)得到諧振點(diǎn)共振頻率fnotch，檢測(cè)伺服共振諧振點(diǎn)，然后，根據(jù)fs=10*fnotch和上述參數(shù)設(shè)計(jì)陷波濾波器；

步驟3，根據(jù)不同的諧振點(diǎn)和伺服系統(tǒng)對(duì)于濾波性能的要求，檢測(cè)步驟2設(shè)計(jì)的陷波濾波器運(yùn)用于伺服系統(tǒng)共振抑制是否滿(mǎn)足靜、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，如不能滿(mǎn)足性能指標(biāo)，則通過(guò)PSO算法對(duì)陷波濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)優(yōu)化；

步驟4，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果設(shè)計(jì)陷波濾波器，并將其運(yùn)用于相應(yīng)的伺服系統(tǒng)中。

步驟2中采用PSO算法對(duì)陷波濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)優(yōu)化的目標(biāo)為帶寬BW，具體為：

(1)初始化整個(gè)粒子群體，即使得μ∈(0,1)；

(2)根據(jù)靜、動(dòng)態(tài)的性能指標(biāo)參數(shù)，當(dāng)μ在(0，1)之內(nèi)，采用最小均方算法(LMS)，并將性能指標(biāo)誤差值作為粒子的適應(yīng)度，得到基于PSO的陷波濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題的評(píng)價(jià)函數(shù)為

(12)

式中，μ1和μ2分別為理想帶寬和實(shí)際帶寬；

(3)按照下式更新所有粒子的速度和位置。

Vi(t+1)=wVi(t)+c1r1(Pi-Xi)+c2r2(Pg-Xi)

Xi(t+1)=Xi(t)+Vi(t+1),-Vmin≤Vi≤Vmax

式中，Pi為第i個(gè)粒子達(dá)到的最好位置，Pg為所有粒子達(dá)到的最好位置，Vmax為粒子速度的最大變化，ri和r2為[0,1]范圍內(nèi)呈均勻分布的隨機(jī)數(shù)。Vi(t+1)為估計(jì)的最優(yōu)速度值、Vi(t)為當(dāng)前的最優(yōu)速度值、Xi(t+1)為估計(jì)的最優(yōu)位置值、Xi(t)為當(dāng)前的最優(yōu)位置值、c1、c2為優(yōu)化速度和位置的可調(diào)系數(shù)。

(4)不斷優(yōu)化確定r1、r2、c1、c2系數(shù)。

步驟4中陷波濾波器設(shè)計(jì)需滿(mǎn)足以下規(guī)律：僅改變Apass參數(shù)由小變大，調(diào)節(jié)時(shí)間依次減小，但是對(duì)應(yīng)的濾波范圍變寬，“點(diǎn)”阻效果變差。

步驟4中陷波濾波器設(shè)計(jì)需滿(mǎn)足以下規(guī)律。帶寬越大，抑制越快，但窄帶會(huì)變寬。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證及分析

利用PSO優(yōu)化陷波器參數(shù)進(jìn)行伺服共振抑制的方法，具體按以下步驟實(shí)施。

步驟1，初始化參數(shù)：

PSO算法本身需要優(yōu)化的參數(shù)不多，主要初始化陷波濾波器的相關(guān)參數(shù)。陷波器的陷波效果主要依賴(lài)以下參數(shù)：采樣頻率fs(0～100 kHz)，一般取值為10倍的陷波頻率；陷波頻率fnotch(0～10 kHz)，即FFT檢測(cè)分析得到的共振頻率；帶寬BW(0～10 K)，通常是以-3 dB所對(duì)應(yīng)的頻帶寬作為帶寬的取值，另外也可以通過(guò)Apass參數(shù)的設(shè)計(jì)，確定在任意分貝的帶寬；品質(zhì)因數(shù)Q(0～10 K)，與BW和fnotch之間有固定關(guān)系，即fnotch=BW*Q，通帶幅值衰減Apass(0～5)的默認(rèn)值為-3 dB。

步驟 2，雙慣性系統(tǒng)建模：

雙慣性系統(tǒng)又稱(chēng)為雙質(zhì)量系統(tǒng)，由伺服電機(jī)、被驅(qū)動(dòng)負(fù)載以及連接二者的傳動(dòng)軸等組成，雙慣性系統(tǒng)模型如圖1所示，圖中，JM、JL、Ks分別為伺服電機(jī)的慣性矩、負(fù)載端的慣性矩和傳動(dòng)軸的彈性系數(shù)，Tm、T1、ωm、ω1分別為電機(jī)轉(zhuǎn)矩、擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩、電機(jī)轉(zhuǎn)速和負(fù)載轉(zhuǎn)速。該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)可以表示：

(13)

式中，Jall=JM+JL，wp為共振頻率，wz為反共振頻率，s為微分算子。其中wp和wz的表達(dá)式如:

(14)

(15)

雙慣性系統(tǒng)的共振頻率和反共振頻率是由于電機(jī)和負(fù)載端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及軸的剛度(即傳動(dòng)軸的彈性系數(shù))產(chǎn)生。當(dāng)負(fù)載端轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很大時(shí)共振頻率約等于反共振頻率。當(dāng)電機(jī)和負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都固定時(shí)，系統(tǒng)的共振頻率只與傳動(dòng)軸的彈性系數(shù)有關(guān)：

(16)

式中，r0為軸半徑，G為剪切模量，L為軸的長(zhǎng)度。雙慣性系統(tǒng)的狀態(tài)方程如：

(17)

對(duì)雙慣性系統(tǒng)進(jìn)行Matlab建模，雙慣性系統(tǒng)的三個(gè)組成部分分別是伺服電機(jī)、軸和負(fù)載。軸的輸出對(duì)應(yīng)于圖1的T1，它的值決定于軸兩端的速度差(ωm-ω1)，具體的擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩公式為

(18)

式中，K為軸的剛度，單位是Nm，與Ks是同一變量，B是衰減系數(shù)，單位為Nm·s。建模成功后即可使雙慣性系統(tǒng)表現(xiàn)出特定的振動(dòng)頻率，然后進(jìn)行FFT檢測(cè)即可。

步驟 3，根據(jù)不同的諧振點(diǎn)和伺服系統(tǒng)對(duì)于濾波性能的要求，通過(guò)PSO算法對(duì)陷波濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，主要優(yōu)化的參數(shù)是帶寬BW。

現(xiàn)有的基于矢量控制的永磁同步伺服電機(jī)共振抑制控制框圖如圖2所示，框圖基于矢量控制，F(xiàn)FT分析及陷波濾波器設(shè)計(jì)模塊在速度環(huán)與電流環(huán)之間，提取速度給定值與反饋值的誤差中的諧波分量，然后通過(guò)PSO算法進(jìn)行在線優(yōu)化，如果滿(mǎn)足伺服系統(tǒng)的靜動(dòng)態(tài)控制要求，確定陷波濾波器各項(xiàng)參數(shù)，否則不斷檢測(cè)諧波分量，不斷優(yōu)化，直到諧波被完全抑制。

圖2 基于矢量控制的永磁同步伺服電機(jī)共振抑制控制框圖

由于帶寬BW是影響陷波器設(shè)計(jì)的主要參數(shù)，而帶寬與μ之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即優(yōu)化一個(gè)最好的μ是設(shè)計(jì)陷波濾波器的重點(diǎn)。

通常情況下，μ的取值范圍是(0，1)，但其偏離最優(yōu)解的大小和方向都是未知的，我們認(rèn)為μ在(0，1)內(nèi)是均勻分布的。

步驟3.1，根據(jù)靜、動(dòng)態(tài)的性能指標(biāo)參數(shù)，當(dāng) 在(0，1)之內(nèi)，采用最小均方算法(LMS)，并將性能指標(biāo)誤差值作為粒子的適應(yīng)度，所以，基于PSO的陷波濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題的評(píng)價(jià)函數(shù)可以被描述如:

(19)

式中，μ1和μ2分別為理想帶寬和實(shí)際帶寬；z、z1、z2為z平面上的零極點(diǎn)。

步驟3.2，按照式(20)和式(21)更新所有粒子的速度和位置，

Vi(t+1)=wVi(t)+c1r1(Pi-Xi)+c2r2(Pg-Xi)

(20)

Xi(t+1)=Xi(t)+Vi(t+1)-Vmin≤Vi≤Vmax

(21)

式中，Pi為第i個(gè)粒子達(dá)到的最好位置，Pg為所有粒子達(dá)到的最好位置，Vmax為粒子速度的最大變化，r1和r2為[0,1]范圍內(nèi)呈均勻分布的隨機(jī)數(shù)。Vi(t+1)為估計(jì)的最優(yōu)速度值，Vi(t)為當(dāng)前的最優(yōu)速度值，Xi(t+1)為估計(jì)的最優(yōu)位置值，Xi(t)為當(dāng)前的最優(yōu)位置值，c1、c2為優(yōu)化速度和位置的可調(diào)系數(shù)。

步驟3.3，不斷優(yōu)化確定r1、r2、c1、c2系數(shù)。

步驟4，整體的自適應(yīng)參數(shù)優(yōu)化的流程圖如圖4所示，判斷條件“是否最優(yōu)”的標(biāo)準(zhǔn)是最終設(shè)計(jì)能夠完全抑制諧波的陷波濾波器，滿(mǎn)足系統(tǒng)的性能。

步驟5，設(shè)計(jì)陷波濾波器。

步驟5.1，通過(guò)程序FFT分析轉(zhuǎn)速信號(hào)得到諧振點(diǎn)頻率fnotch。

步驟5.2，根據(jù)步驟3計(jì)算采樣頻率fs=10*fnotch。

步驟5.3，假設(shè)數(shù)字多頻陷波濾波器可以對(duì)M個(gè)不同頻率陷波，則理想多頻陷波系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

(22)

式中，ω(0≤ωi≤π)為數(shù)字頻率。

整個(gè)過(guò)程的流程圖如圖3所示。

圖3 優(yōu)化過(guò)程流程圖

(23)

(24)

式(23)中μ越小，極點(diǎn)越靠近單位圓，則頻率響應(yīng)曲線凹陷越深，凹陷的寬度也越窄，很明顯這個(gè)傳函對(duì)應(yīng)的是個(gè)二階系統(tǒng)。

步驟 5.4，根據(jù)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可得出相應(yīng)的ΔN、Trise、Tset、Ess、Δδ。例如伺服二階系統(tǒng)對(duì)于共振抑制的靜、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如下。

步驟 5.5，PSO參數(shù)優(yōu)化過(guò)程分為五步：第一，確定PSO的優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)為BW；第二，初始化整個(gè)粒子群體，即使得μ∈(0,1)；第三，確定PSO算法的適應(yīng)度，基于步驟五中的各項(xiàng)指標(biāo)確定評(píng)價(jià)函數(shù)；第四，所有例子的速度與方向更新；第五，判斷是否滿(mǎn)足步驟5.4中的各項(xiàng)條件。

步驟 5.6，根據(jù)步驟1中的BW初始值設(shè)計(jì)陷波濾波器并用于伺服系統(tǒng)的共振抑制中。當(dāng)伺服電機(jī)運(yùn)行時(shí)，結(jié)合步驟3.2和步驟3.3，實(shí)時(shí)優(yōu)化陷波濾波器參數(shù)，設(shè)計(jì)滿(mǎn)足靜動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的濾波器。

發(fā)現(xiàn)僅改變Apass參數(shù)由小變大，調(diào)節(jié)時(shí)間依次減小，但是對(duì)應(yīng)的濾波范圍變寬，“點(diǎn)”阻效果變差。帶寬越大，雖然抑制越快(帶寬大響應(yīng)快)，但窄帶會(huì)變寬(即可濾頻率增多，單一性不好)。