◇ 甘肅 王玉琴

不等式證明或不等式恒成立問題是一類重要問題,解決此類問題的關(guān)鍵是如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)或證明目標(biāo)構(gòu)造出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系,然后利用導(dǎo)數(shù)來研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性及最值來解決問題.“構(gòu)造函數(shù)”就是一個(gè)從無到有,重新審視函數(shù)問題的過程.如何構(gòu)造一個(gè)新函數(shù),把所求問題轉(zhuǎn)化為可以利用導(dǎo)數(shù)來解決的問題一直是高中數(shù)學(xué)中的一大研究方向,本文擬就這方面的問題進(jìn)行探討,以供讀者參考.

1 作差構(gòu)造

2 分離參數(shù)構(gòu)造

3 依據(jù)題干的“結(jié)構(gòu)特征”猜想構(gòu)造

A. (-∞,-1)∪(0,1)

B. (-1,0)∪(1,+∞)

C. (-∞,-1)∪(-1,0)

D. (0,1)∪(1,+∞)

綜上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,0),故選A.

1)若f′(x)+f(x)>0，可構(gòu)造h(x)=exf(x);

3)若xf′(x)+f(x)>0，可構(gòu)造h(x)=xf(x);

4 通過條件轉(zhuǎn)化后的形式構(gòu)造

(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值和最大值;

令g(x)=f(x)-ax,則

要使g(x)在(0,+∞)為增函數(shù),則g′(x)≥0，

5 依據(jù)不等式的特征構(gòu)造

(2)已知n∈N且n≥2,求證:

構(gòu)造函數(shù)并研究其最值是解決不等式問題的常用方法,其基本思路就是從函數(shù)的角度分析和了解要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，從而構(gòu)造函數(shù),或者從不等式證明的放縮方向上構(gòu)造函數(shù)式,使所構(gòu)造的函數(shù)是不等式證明所需要的函數(shù).雖然構(gòu)造函數(shù)需要具有很強(qiáng)的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力及函數(shù)與方程思想,但只要細(xì)心觀察、認(rèn)真分析研究,就能巧妙構(gòu)造出函數(shù).