焦 華，謝朝東

(1.貴州商學(xué)院，貴陽(yáng) 550014； 2.貴州民族大學(xué)，貴陽(yáng) 550025)

1 引言

中國(guó)古代哲學(xué)的五行理論認(rèn)為：金木水火土是構(gòu)成物質(zhì)世界的五種基本元素。計(jì)算機(jī)中五筆字型漢字錄入法共有130個(gè)字根，由這些字根可生成所有漢字。其中金木水火土是鍵盤上五個(gè)鍵的首字根，其漢字編碼依次為：金——qqqq、木——ssss、水——iiii、火——oooo、土——ffff。26個(gè)英文字母的排列組合可生成所有英文單詞，這種特征使得英文錄入簡(jiǎn)單易行。從文字差異可推測(cè)文化及思維差異：國(guó)人善于將簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜化？英美人善于將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化？世界豐富多彩的顏色是由紅色、綠色、藍(lán)色(RGB)這三種基本色生成，稱之為色彩學(xué)中的“三色理論”。順序結(jié)構(gòu)、分支結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、函數(shù)調(diào)用回返結(jié)構(gòu)是計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)中的四種基本結(jié)構(gòu)，由它們有限次的排列組合、有限次的相互嵌套可生成任何復(fù)雜的程序代碼[1]。

總之，自然與社會(huì)的發(fā)展都是從低級(jí)到高級(jí)、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。由此哲學(xué)觀點(diǎn)出發(fā)，考察微積分中由簡(jiǎn)單生成復(fù)雜的相關(guān)內(nèi)容[2]。

2 “點(diǎn)生成圖”——函數(shù)圖形由點(diǎn)構(gòu)成

函數(shù)圖形建立在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，或者說(shuō)函數(shù)圖形依賴于具體的坐標(biāo)系[3]。比如隱函數(shù)x2+y2=1在直角坐標(biāo)系下的圖形是一個(gè)圓，在斜坐標(biāo)系下的圖形就不是一個(gè)圓，在坐標(biāo)軸度量單位不相等的直角坐標(biāo)系下的圖形也不是一個(gè)圓。

為什么一些公眾人物充滿爭(zhēng)議？其實(shí)很多時(shí)候是“坐標(biāo)系”不同引起的[4]。坐標(biāo)系其實(shí)是一種建立了“數(shù)”與“點(diǎn)”聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，自然具有多樣性?！包c(diǎn)生成圖”的含義是指平面或空間的圖形是由點(diǎn)構(gòu)成的，比如平面上的曲線、空間中的曲面等均由點(diǎn)生成，“點(diǎn)”是圖形最基本的元素。Matlab中的 Plot函數(shù)就是據(jù)此原理由足夠多的“點(diǎn)”采用“描點(diǎn)法”繪制圖形[5]。電腦或手機(jī)的分辨率是清晰度的一個(gè)指標(biāo)，反映的是“像素點(diǎn)”的多或少，而點(diǎn)陣圖(位圖)是由“像素點(diǎn)”生成的。

3 由基本初等函數(shù)生成初等函數(shù)

微積分中有六類基本初等函數(shù)：常數(shù)函數(shù)y=c、冪函數(shù)y=xα、指數(shù)函數(shù)y=ax、對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax、三角函數(shù)系列、反三角函數(shù)系列[6]。

初等函數(shù)是指將六類基本初等函數(shù)作有限次的加減乘除四則運(yùn)算以及有限次的函數(shù)復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)?？梢哉f(shuō)是“無(wú)聊”或“無(wú)奈”，也可以說(shuō)是“有趣”，微積分大部分內(nèi)容是對(duì)豐富多彩的、各種各樣的初等函數(shù)求導(dǎo)、求微分、求不定積分、求定積分。計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)不夠，還要計(jì)算2階導(dǎo)數(shù)……n階導(dǎo)數(shù)；計(jì)算一重積分(定積分)不夠，還要計(jì)算2重積分……n重積分；對(duì)顯函數(shù)求導(dǎo)不夠，還要對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)[4]。

4 有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)可由簡(jiǎn)單冪函數(shù)x0,x1,x2…xn…生成

微積分也稱為數(shù)學(xué)分析，分析方法就是把整體的研究對(duì)象剖分為各個(gè)局部部分，然后加以考察和認(rèn)識(shí)。因此很多時(shí)候即使函數(shù)f(x)有廣闊的定義域，也是以考察x0的一個(gè)小鄰域U(x0)作為出發(fā)點(diǎn)。泰勒中值定理(也稱為泰勒公式)就是這樣做的，要求函數(shù)f(x)在小鄰域U(x0)內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，結(jié)論是對(duì)任一x∈U(x0)，有[6]：

也可以寫成f(x)=Pn(x)+Rn(x).其中：

探尋泰勒公式過(guò)程的思想亮點(diǎn)是針對(duì)x0的鄰域構(gòu)造多項(xiàng)式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…+an(x-x0)n，而后用待定系數(shù)法求出多項(xiàng)式所有系數(shù)[5]。

泰勒公式的本質(zhì)是在x0的一個(gè)小鄰域U(x0)內(nèi)用n階(次)泰勒多項(xiàng)式Pn(x)逼近原有函數(shù)f(x)，這種近似有誤差，誤差為Rn(x)。容易看出Pn(x)是由f(x)生成的，這是因?yàn)镻n(x)可用f(x)在x0點(diǎn)的函數(shù)值及各階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)造，即由f(x)可構(gòu)造(或生產(chǎn))Pn(x)，Pn(x)因f(x)改變而改變，它們是有“血緣關(guān)系”的。形象地說(shuō)：f(x)生個(gè)兒子Pn(x)很像自己，不太像的有誤差的地方為Rn(x)。Rn(x)可表示為：Rn(x)=o[(x-x0)n].這是皮亞諾型余項(xiàng)形式。

將代數(shù)表示與幾何直觀建立關(guān)聯(lián)：函數(shù)f(x)在小鄰域U(x0)內(nèi)的曲線足夠光滑，當(dāng)n=0時(shí)，泰勒中值定理變成了拉格朗日中值定理f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x-x0)，因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，幾何意義是“以點(diǎn)代線”。

取x0=0，得到的泰勒公式稱為麥克勞林公式，帶有皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式為：

常見(jiàn)的初等函數(shù)的麥克勞林公式如下：

寫出這些常見(jiàn)的麥克勞林公式是為了觀察比較：左邊函數(shù)千差萬(wàn)別，右邊主體部分卻是由冪函數(shù)x0,x1,x2…xn…生成的多項(xiàng)式。

歸納總結(jié)：泰勒公式的內(nèi)容簡(jiǎn)言之即函數(shù)的多項(xiàng)式逼近，而多項(xiàng)式是由最簡(jiǎn)單的冪函數(shù)生成。

(余項(xiàng)或誤差項(xiàng)趨于0)。

取x0=0，得到的泰勒級(jí)數(shù)稱為麥克勞林級(jí)數(shù)，這時(shí)f(x)展開成了關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)：

微積分中已證明f(x)若能展開成關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)，那么展開式一定是唯一的，一定是麥克勞林級(jí)數(shù)。觀察上式：左邊一項(xiàng)可分解成右邊無(wú)窮多項(xiàng)；右邊無(wú)窮多項(xiàng)可合并成左邊一項(xiàng)。左邊函數(shù)f(x)的任意性可千差萬(wàn)別，右邊卻是由非負(fù)整數(shù)次方冪函數(shù)x0,x1,x2…xn…的線性組合生成。不同的函數(shù)只是線性組合的方式(系數(shù))不同而已。比如：

結(jié)論：非負(fù)整數(shù)次方冪函數(shù)x0,x1,x2…xn…是構(gòu)成任何有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的基本元素，由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上有任意階導(dǎo)數(shù)，因此任何初等函數(shù)均可由x0,x1,x2…xn…的線性組合生成。如同可利用一堆積木塊搭建城堡、大橋、火車等，x0,x1,x2…xn…類似于積木塊，可根據(jù)實(shí)際需要利用它們搭建生成各種各樣的初等函數(shù)。

5 從“線積累生成面”到“面積累生成體”

其實(shí)曲邊梯形面積只是定積分概念導(dǎo)入的一個(gè)引例，其過(guò)程具體化為：將曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形，每個(gè)小曲邊梯形用一個(gè)小矩形來(lái)近似，注意這里若用小直邊梯形近似小曲邊梯形，直觀上誤差將更小、效果更好，為什么沒(méi)有這樣做？這是為了保證定積分的廣泛應(yīng)用性，因?yàn)槎ǚe分從現(xiàn)實(shí)原型抽象出來(lái)，除了曲邊梯形面積外，還有變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力沿直線做功等。再有就是為了保證計(jì)算的簡(jiǎn)便性。每個(gè)小曲邊梯形用一個(gè)小矩形近似有誤差，n個(gè)小曲邊梯形之和用n個(gè)對(duì)應(yīng)小矩形之和近似是誤差的n次積累，但是微積分的鮮明特色之一是“取極限可消除一切誤差(偏差)”，因此當(dāng)最大區(qū)間長(zhǎng)度趨于0時(shí)，不再有誤差，一切迎刃而解！最大區(qū)間長(zhǎng)度λ(Δ)→0將導(dǎo)致所有的Δxi→0(i=1,2…n)，這表明所有的小矩形的底邊趨于0，小矩形變成了“線”，因此定積分(一重積分)的幾何解釋就是“線積累生成面”。因?yàn)椤熬€”的面積為0，因此定積分(一重積分)的思想是先化整為零，再積零為整。

二重積分的定義與定積分(一重積分)類似，當(dāng)被積函數(shù)f(x,y)≥0時(shí)，幾何意義是曲頂柱體的體積。其過(guò)程具體化為：將曲頂柱體任意分割成n個(gè)小曲頂柱體，每個(gè)小曲頂柱體用一個(gè)小平頂柱體來(lái)近似。二重積分的計(jì)算是將二重積分化為二次積分，比如在直角坐標(biāo)系下積分區(qū)域D為X—型時(shí)可得[7]：

6 結(jié)語(yǔ)

“由簡(jiǎn)單生成復(fù)雜”是宇宙的基本法則，在微積分中得到了充分的體現(xiàn)。微積分幾乎是所有本科大學(xué)生必學(xué)的重要基礎(chǔ)課，通常開設(shè)兩個(gè)學(xué)期，同時(shí)也是高職高專必學(xué)的數(shù)學(xué)課，通常開設(shè)一個(gè)學(xué)期(只講授一元函數(shù)微積分學(xué))。因此，對(duì)微積分教育教學(xué)的研究是非常必要的[8]。用工具論的觀點(diǎn)定位微積分教育教學(xué)過(guò)于狹隘，將微積分視為可部分解讀世界的哲學(xué)更為合理。恩格斯贊譽(yù)微積分是人類精神最偉大的成果，足以可見(jiàn)微積分在那個(gè)時(shí)代對(duì)哲學(xué)的深刻影響[9]。

在實(shí)際教學(xué)中，微積分的抽象性與復(fù)雜性會(huì)讓很多大學(xué)生感覺(jué)在讀“天書”，枯燥無(wú)味、難以理解、沒(méi)有興趣。張景中院士多次強(qiáng)調(diào)：“優(yōu)秀教師應(yīng)向同學(xué)展示數(shù)學(xué)思維的美”，因此對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，高屋建瓴、深入淺出，引領(lǐng)學(xué)生深刻理解微積分的思想方法，體驗(yàn)微積分與哲學(xué)結(jié)合產(chǎn)生的震撼的美是必要且必須的[10]。