劉金培，楊宏偉，陳華友，周禮剛

(1.安徽大學商學院，安徽 合肥 230601； 2.北卡羅萊納州立大學工業(yè)與系統工程系，美國 羅利 27695；3.安徽大學數學科學學院，安徽 合肥 230601)

1 引言

在群決策過程中，決策者們對備選方案經常給出方案兩兩比較的偏好關系，常見的主要有數值型偏好關系和語言型偏好關系兩類[1]。面對實際決策問題，決策者們更加習慣于以語言的方式給出自己的知識和偏好[2]。近年來，針對語言偏好關系群決策問題的研究已經成為人們關注的熱點[1-14]。

決策者們給出的語言偏好關系往往不能滿足一致性要求，為了對語言偏好關系的一致性進行改進，人們提出了多種一致性調整的方法。Wang和Xu[3]提出了一種使語言判斷矩陣達到弱一致性的調整算法。Dong等[2]則以調整量最小為目標，建立帶0-1變量的優(yōu)化模型來修改語言偏好關系的元素使其達到一致性要求。文獻[4]給出兩種語言偏好關系加性一致性迭代逼近修正算法。Liu等[5]結合二元語義表示，提出一種新迭代算法來提高語言偏好關系的一致性。靳鳳俠和黃天民[6]則通過構造循環(huán)圈矩陣來進行語言偏好關系一致性的調整。

由于實際問題的復雜性、決策者信息不足和時間限制等原因，決策者們往往不能給出精確的語言偏好信息，而是以區(qū)間語言偏好關系的形式給出[8-14]。針對區(qū)間語言環(huán)境下的群決策問題，文獻[8]定義了群體共識測度，用來度量單個偏好與群體偏好的貼近度。Chen等[9]則用相容性指標度量個體與群體偏好的差異，并提出基于群體相容性的專家賦權方法。文獻[10]和文獻[11]分別利用LCOWA算子和LCOWGA算子將區(qū)間加性語言信息和區(qū)間乘性語言信息集成為單值的語言術語，然后基于群體相容性提出加性和乘性語言偏好環(huán)境下的群決策模型。Xu和Wu[12]定義區(qū)間語言偏好關系的群體共識測度，并給出一種基于群體共識的偏好關系調整算法。Meng等[13]則定義了區(qū)間語言偏好關系一致性的新測度，同時構建基于新測度的偏好關系調整算法。

從已有研究來看，目前關于區(qū)間語言偏好關系的群決策還存在以下問題：一是目前普遍應用一致性調整的方法來對區(qū)間語言偏好關系進行調整，然而調整算法修改了專家給出的原始信息，使決策結論的可靠性難以保障[15]。二是目前針對區(qū)間語言信息，往往將區(qū)間語言信息集成為單個語言術語或僅利用了區(qū)間的單側邊界值，這造成了決策信息的嚴重丟失。三是已有的群決策專家賦權模型均基于專家給出的原始區(qū)間語言偏好信息，而決策過程中專家給出的區(qū)間信息往往不能全部利用，因此需要設計更加合理的基于信息提取的動態(tài)賦權方法。

針對以上問題，本文構建基于理想點的交叉效率DEA模型和基于群體共識的賦權模型，在此基礎上提出一種基于Monte Carlo隨機模擬的區(qū)間乘性語言偏好關系群決策方法。首先，提出乘性語言偏好關系導出函數的定義，并構建產出導向的DEA模型，證明一致性乘性語言偏好關系DEA效率得分與排序向量之間的內在關系。在此基礎上，建立基于理想值的交叉效率DEA模型，提出乘性語言偏好關系的通用排序方法。針對群體區(qū)間語言偏好關系，按照均勻分布提取一般語言偏好關系，然后基于群體共識建立目標規(guī)劃模型以獲取各語言偏好關系的權重系數。最后，利用Monte Carlo隨機模擬的方法對整個群體偏好空間進行統計分析，得到群決策期望排序向量及其可信度。算例分析表明本文方法解決了區(qū)間語言偏好關系在決策過程中信息損失的問題，具有較強的適用性和較高的可信度。

2 基本概念

在群決策中，方案集為X={x1,x2,…,xn}，專家對于備選方案集X中的多個方案進行兩兩比較，依據乘性語言術語集S，給出語言偏好關系矩陣P=(pij)n×n。其中，乘性語言術語集S={sα|α=1/t,…,1/2,1,2,…,t}，S中元素的個數2t-1稱為語言術語集的粒度，t為大于1的自然數。當t=5時，我們有：

S={s1/5=extremely low,s1/4=very low,s1/3=low,s1/2=slightly low,s1=medium,s2=slightly high,s3=high,s4=very high,s5=extremly high}.

在專家依據乘性語言術語集S所給出的語言偏好關系矩陣P=(pij)n×n中，pij=sα∈S表示方案xi相對方案xj的重要性程度(i,j=1,2,…,n)。當α>1時，表示方案xi比方案xj重要，當α<1時，表示方案xj比方案xi重要，且隨α取值的增加，重要的程度也越大。當α=1時，表示方案xi與方案xj同等重要。

pij?pji=pii=s1，i,j=1,2,…,n

(1)

則稱P=(pij)n×n為乘性語言偏好關系。

定義2[17]：若乘性語言偏好關系P=(pij)n×n中的元素pij滿足：

pik?pkj=pij,i,j,k=1,2,…,n

(2)

則稱該乘性語言偏好關系滿足乘性一致性。

在保持乘性語言偏好關系信息不損失的前提下，提出如下導出函數的定義：

rij=φ(pij)=(2t-1)logtT(pij),i,j=1,2,…,n

(3)

則稱函數φ為乘性語言偏好關系的導出函數，R=(rij)n×n為乘性語言偏好關系P=(pij)n×n的導出矩陣。

定理1若乘性語言偏好關系P=(pij)n×n滿足乘性一致性，則其導出矩陣R=(rij)n×n也滿足乘性一致性。

證明：若乘性語言偏好關系P=(pij)n×n滿足乘性一致性，由定義2得：

rii=φ(pii)=(2t-1)logtT(pii)=1,

i=1,2,…,n.

rij·rji=φ(pij)·φ(pji)

=(2t-1)logt(T(pij)·T(pji))=1,

i,j=1,2,…,n

因此，導出矩陣R=(rij)n×n為乘性偏好關系，進一步有：

rik·rkj=φ(pik)·φ(pkj)

=(2t-1)logt(T(pik)·T(pkj))=(2t-1)logtT(pij)=φ(pij)=rij,i,j=1,2,…,n.

所以，導出矩陣R=(rij)n×n滿足乘性一致性。證畢。

由上述分析可見，導出矩陣與原乘性語言偏好關系存在著嚴格的對應關系。同時，導出函數在將乘性語言偏好關系轉化為實值乘性偏好關系的同時，既滿足單調性和有界性的要求，又可保證原始語言偏好關系的傳遞性。

φ(pij)=wi/wj

(4)

(5)

3 區(qū)間乘性語言偏好關系的群決策方法

3.1 基于交叉效率DEA的乘性語言偏好關系排序

本節(jié)提出一種基于交叉效率DEA的乘性語言偏好關系排序方法，該方法可以避免對偏好關系進行一致性調整。設P=(pij)n×n為方案集X={x1,x2,…,xn}上的乘性語言偏好關系，現將各決策方案均視為一個獨立的決策單元(DMU)，即將決策方案xi作為決策單元DMUi，且與偏好關系P=(pij)n×n中的第i行相對應(i=1,2,…,n)。若決策者認為方案xi比方案xj重要，則對于?k∈{1,2,…,n}，有pik>pjk，進而滿足φ(pik)>φ(pjk)，可見導出矩陣的每一列均可視為決策單元的每一類產出。同時，我們將φ(s1)作為每個決策單元的虛擬投入。此時，便得到偏好關系P=(pij)n×n對應的投入產出，如表1所示。

由表1，建立基于產出的CCR模型(Out-oriented)，對方案決策xd進行效率評價，d=1,2,…,n，具體形式如下：

maxθd

(6)

證明：若P=(pij)n×n滿足乘性一致性，由式(4)，模型(6)可轉化為：

maxθd

(7)

對任意d=1,2,…,n，將μd=1-μ1-…-μd-1-μd+1-…-μn帶入模型(7)中第1個約束條件，得：

(8)

定理2說明對于滿足一致性的乘性語言偏好關系，可由計算各方案的DEA效率值得到偏好關系的排序向量。然而在實際決策過程中，專家給出的乘性語言偏好關系往往不滿足一致性條件。為了解決該問題，我們建立交叉效率DEA模型，將各方案自評價效率和他評價效率的均值作為方案的最終效率評價值，進而計算其排序向量。

首先，先求得決策單元的自評價效率值?；诒?建立投入導向的DEA模型，來求得所有決策單元自評價效率得分，DMUd(d=1,2,…,n)的自評價效率得分值θdd通過模型(9)求得：

(9)

其中，ud表示決策單元投入的權重，vrd(r=1,2,…,n)表示第r個產出的權重。

(10)

進一步，結合各方案自評價與他評價效率值，可得方案的最終交叉效率評價值為：

(11)

3.2 基于群體共識的專家信息賦權模型

(12)

來表示單個偏好與群體偏好的差異。以群體共識為目標，建立下列專家信息賦權模型，使得個體偏好與群體偏好的差異最小化。

(13)

求解模型(13)，即可得到提取到的m個乘性語言偏好關系矩陣的最優(yōu)權重系數。

此時，我們便可由提取到的m個乘性語言偏好關系P(r)=(pij,(r))n×n(r=1,2,…,m)，求得群體決策的最終排序向量，流程如圖1所示。

圖1 群體決策方案排序向量計算流程圖

具體步驟如下：

步驟3根據模型(13)計算m個乘性語言偏好關系P(r)=(pij,(r))n×n的權重系數，記為λ=(λ1,λ2,…,λm)T；

步驟4將從m個語言偏好關系中得到的排序向量進行集成，得到最后的排序向量w=(w1,w2,…,wn)T，i=1,2,…,n.

(14)

根據上述步驟，對隨機向量Y的每一個可能取值，我們都可以得到其對應的排序向量。

3.3 基于隨機分析的區(qū)間乘性語言偏好關系的群決策

基于交叉效率DEA和群體共識模型，我們已經提出一種乘性語言偏好關系的群決策排序向量的計算方法。進而針對隨機向量Y的所有可能取值，利用Monte Carlo模擬進行統計分析來進行區(qū)間乘性語言偏好關系的群決策。

(15)

(16)

根據群決策期望排序向量，可以知道xi的期望排序結果為：

(17)

進一步，在整個群決策偏好空間內，對期望排序結果成立的子空間進行積分，便得到方案xi期望排序的可信程度為：

(18)

可以看出，基于隨機分析的區(qū)間乘性語言偏好關系群決策方法分析了群決策偏好空間內所有可能，避免了信息的丟失，同時模型(13)計算偏好信息權重系數時完全基于每次提取到的語言偏好信息，為一種動態(tài)賦權方法。因此，本文提出的群決策方法更具合理性。

4 算例分析

近年來，我國經濟建設取得了舉世矚目的成就，外商直接投資(FDI)起到了重要的推動作用，然而部分項目導致環(huán)境受到嚴重破壞。為了規(guī)范地方政府招商引資行為，環(huán)保部門需要對引入的外商企業(yè)和資產的環(huán)境保護技術和能力(以下稱為環(huán)保能力)進行評價和擇優(yōu)?，F將4家招商引資企業(yè)：制造型外資企業(yè)(x1)，服務型外資企業(yè)(x2)，咨詢類外資企業(yè)(x3)和外資環(huán)?？萍脊?x4)。根據環(huán)保能力進行排序和擇優(yōu)。環(huán)保部門聘請4位專家根據經驗對這4個企業(yè)進行評價，評價依據的語言術語集為：

S={s1/5=極差,s1/4=非常差,s1/3=差,s1/2=稍差,s1=無差別,s2=稍好,s3=好,s4=非常好,s5=極好。}

4位專家給出的區(qū)間語言偏好關系分別為：

根據本文所提出的方法，在群體區(qū)間乘性語言偏好空間內基于均勻分布隨機生成乘性語言偏好關系，建立基于交叉效率DEA模型和群體共識賦權模型，根據圖1的流程得到每次提取的排序向量結果。利用Monte Carlo多次模擬，求得最后的期望排序向量，并給出其可信度。模擬不同次數時，得到結果如表3所示。

表3 不同模擬次數下的期望排序向量

根據表3可知，當模擬次數超過300次后，排序向量的期望值趨于穩(wěn)定，變化范圍小于0.002。選取模擬次數為500時，統計x1、x2、x3和x4的期望排序向量及其可信度，見表4。

表4 各企業(yè)環(huán)保能力期望排序和可信度

根據500次隨機模擬所得各種情況的排名統計，做出排名統計頻率分布圖，如圖2所示。

根據期望排序向量可知，4個企業(yè)之間的環(huán)保能力排序結果為：x4?x1?x2?x3。根據計算結果，可以確定第四企業(yè)(外資科技公司)的環(huán)保能力最佳，其排名第1的可信度為82.40%，應優(yōu)先考慮引入該類具有綠色低碳技術的外資企業(yè)。

圖2 四個企業(yè)排名統計頻率分布圖

5 結語

本文針對目前語言偏好信息環(huán)境下群決策方法中的缺陷，如一致性調整算法修改了專家給出的原始信息造成決策結論的可靠性不高，將區(qū)間語言信息集成為單個語言術語致使決策信息的嚴重丟失等問題，提出了一種新的基于交叉效率DEA模型和群體共識的區(qū)間乘性語言偏好關系群決策方法。將各決策方案均視為DEA決策單元，構建基于理想值的交叉效率DEA模型，提出乘性語言偏好關系的通用排序方法。針對群體區(qū)間乘性語言偏好關系，按照均勻分布提取一般語言偏好關系，然后基于群體共識建立目標規(guī)劃模型計算各語言偏好關系的權重系數。利用Monte Carlo隨機模擬的方法對整個群體偏好空間進行統計分析，得到群決策各方案的期望排序向量及其可信度。本文方法不需要對語言偏好關系進行一致性調整，解決了區(qū)間語言偏好關系在決策過程中信息損失的問題，具有較強的適用性和較高的可信度。