母從明,劉 洋,周遠祺,楊金強

(1. 湖南大學金融與統(tǒng)計學院，湖南 長沙 410006；2. 長江養(yǎng)老保險股份有限公司，上海 200122；3. 中國地質大學(武漢)經濟管理學院，湖北 武漢 430074；4. 上海財經大學金融學院，上海 200433；5. 上海國際金融與經濟研究院，上海 200433；6. 上海市金融信息技術研究重點實驗室，上海 200433)

1 引言

股權收購是私募股權基金的主要投資方式之一，最早起源于美國，并于上世紀80年代逐漸成為西方發(fā)達國家私募股權投資的重要組成部分。隨后，股權收購在全球范圍內得以蓬勃發(fā)展，交易規(guī)模越來越大。到2017年，全球股權并購已經占全球股權私募基金總投資的60%，交易量高達3.7萬億美元(見Metrick and Yasuda[1];Axelson等[2])。事實上，股權收購活動在我國也日趨頻繁。據公開數據顯示，在2010～2012年間僅上市公司的股權收購活動分別為251 起、253 起、330 起，股權收購交易次數和交易量呈上升趨勢。

股權收購主要分為管理層收購和杠桿收購兩類。但從融資角度來說，股權收購都需要引入高杠桿。所以對于股權收購基金而言，債務估值和破產決策至關重要。僅依靠單一債務融資方式，私募股權投資基金難以融得足夠資金用于收購交易。為此，股權收購的融資常常采用分層債務結構(multiple tranches of debt)。在這種結構形式中，不同層次債務的合約條款和求償順序有所差異。同時，值得強調的是，對于私募股權投資而言，目標公司大多為非公開交易公司，即使目標公司原先是公開上市公司，經過股權收購后，為了方便投資者控制公司也會被私有化而退市。對于這種非公開交易資產，具有顯著的特質風險，所以不能采用傳統(tǒng)的Leland模型對股權收購交易中的債權和股權進行估值。為此，本文將基于采用多層債務結構進行債務融資的股權收購交易，通過建立數理模型，研究股權收購交易中的債權和股權估值問題以及最優(yōu)的破產決策。

實際上，不少文獻研究了股權收購交易資金來源的分布情況，比如kaplan和Str?mberg[3]等。這些文獻指出，用于股權收購交易的資金大約有60%～90%來源于債務融資，其中優(yōu)先級較高的債務融資(senior and secured)主要由銀行和機構投資者提供。Kaplan和Stein[4]發(fā)現在上世紀80年代，絕大多數杠桿收購的債務融資來自于銀行。實際上，銀行提供的債務融資通常會劃分為多層(multi-tranche loan)。從索賠順序而言，銀行貸款大多為優(yōu)先級較高的債務，安全性也較高。從類型而言，銀行貸款主要有等額還本付息的按揭債(amortizing debt)和到期償還本金的子彈債(bullet debt)等。除了發(fā)行這種優(yōu)先級較高的債券，大多數收購交易還需要發(fā)行優(yōu)先級較低的債務(junior和unsecured)進行融資，比如高收益?zhèn)?high-yield bonds)或者夾層債(mezzanine debt)。Demiroglu和James[5]通過分析1997～2007年價值高達2900億美元的181起股權收購交易，發(fā)現具有較好聲譽的股權收購基金能以更低的信貸息差(credit spread)獲得債務融資，并且更傾向于向機構投資者發(fā)行債務。所以，考慮股權收購基金采用分層債務融資結構非常符合業(yè)界現狀。

對于股權收購而言，一個不可忽略的重要問題是杠桿收購后標的公司能否承擔項目期限內相應的利息負擔。Kaplan和Sein[4]和Guo等[6]通過研究1982～2006年美國上市公司私有化收購案例發(fā)現這些公司私有化后，利息支出占EBITDA (Earnings Before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization)的比重高達70%。Axelson, Jenkinson, Str?mberg and Weisbach(2007，后文簡稱AJSW)[2]研究私有股權投資數據后發(fā)現，雖然絕大多數風險投資交易是低杠桿甚至無杠桿的，但股權收購案例則完全不同。在一定程度上，因為的標的公司擁有相對成熟的經營模式，產生的自由現金流可以支持較高杠桿導致的利息負擔，所以股權收購基金通過利用廉價的債務融資可以獲得更高的回報率。Kaplan和Stein[4]通過研究債務融資成本與收購項目估值的關系，證實了廉價的債務融資有利于促進股權收購交易。

與杠桿密切聯系的話題則是違約破產問題。Andrade和Kaplan[7]對高杠桿交易進行研究，發(fā)現1985年之后的管理層收購案例中有30%的以上案例以違約告終。Kaplan和Str?mberg[3]研究了從1970年至2007年全球17171起杠桿收購案例，對收購基金的運行模式和杠桿收購收益情況進行分析后發(fā)現，有7%的收購案例以違約破產告終，超過10%的收購案例以其他未知原因結束。為此，基于多層債務結構形式，研究股權收購基金的債務定價、股權定價以及收購杠桿引致的破產概率具有非常重要的現實意義。

目前，國內學術界很少涉足對私有股權收購和私募領域融資問題的研究。雖然不少文獻從理論角度研究了融資、債券定價和資本結構，比如：熊波和陳柳[8]借助于單期模型，從非對稱信息視角分析了高新技術企業(yè)對私有股權資本市場的資金需求以及機構投資者對高新技術企業(yè)提供的融資服務；夏鑫和楊金強[9]研究了非完備市場下基于控股股東控制權私利的公司資本結構；向華和楊招軍[10]基于擔保換股權新型融資模式研究了中小企業(yè)投融資行為；胡昌生, 程志富等[11]以及巢文和鄒輝文[12]分別討論了可轉債的定價和長壽債券定價問題。但是，這些研究并未涉及與股權并購有關的定價和違約。為此，本文通過建立數理模型，研究與股權收購多層債務結構有關的定價和違約概率，不但具有重要的現實意義，而且能夠填補我國在這方面的研究空白。

2 模型構建

假設在初始時刻t=0，股權收購交易活動的資金來源由權益投資I和債務融資D構成。雖然收購交易開始和結束時都會產生溢價，但為了簡化模型，本文不考慮這些溢價，從而假設全部資金在初始時刻被用來購買價值為A0的目標公司資產，即A0=I+D。在項目開始時，風險中性的投資者(包括股權投資者和債權投資者)與股權投資基金約定持有期為T。當股東決定在t(t≤T)時違約，標的資產以(1-κ)At的價格出售，所得現金用于償還債務，其中At表示t時刻標的資產的賬面價值。由于私有股權的目標公司資產流動性差，并且具有很強的特質風險，因而不能利用公開交易證券進行有效對沖，所以這類資產在到期之前被迫出售時往往會產生較大的價值損失，參數κ∈(0,1)刻畫了這種價值損失。

當t=T時，目標公司通過上市、二次收購等方式將標的資產出售，所獲得的現金收入AT將在債權人(按債權優(yōu)先順序)和股東之間分配。

本文假設標的資產價值At在項目到期之前滿足如下的幾何布朗運動：

(1)

其中，μA表示資產價值的期望增長率，σA表示資產價值的波動率，Zt是標準布朗運動。參數δ代表了單位時間內標的資產產生自由現金流的速度。這部分現金流用于支付當期的利息，如果有剩余，則用來發(fā)放股利。如果自由現金流不足以支付當期全部利息，股東需要用自有資金去支付剩余的利息。顯然，如果標的資產規(guī)模A越大，那么單位時間內產生的自由現金流δA越多。

2.1 債務價值動態(tài)

為了便于討論分層債務結構中的債務估值，本文先給出通用的債券估值方法。對于任何一種在存續(xù)期內獲得利息支付c、到期日收回尚未償還的利息和本金或違約破產時獲得公司剩余價值的債券，記其在t(t≤T)時刻的價值為D(t,At)，這里At表示t時刻標的資產的價值。根據現金流貼現估值方法，可知t時刻債券價值D(t,At)滿足如下等式：

D(t,At)

(2)

其中，τ是股東選擇的違約破產時機，Vt表示在t時刻債務合約終止時(破產清算或者債務到期)債權人能獲得的價值。顯然，Vt滿足

Vt=min((1-κ)Aτ,Pτ)1τ

+min(At,Pt)1τ≥T

其中，Pt表示t時刻股東尚未償還的本金和利息的現值。1x為示性函數，即當x為真時，該函數取值1，其他情況該函數均取值0。

假設股東選取的破產邊界為A*，也就是說，當標的資產的價值A第一次從上至下觸碰到A*時，目標公司選擇破產清算。因此，τ即為標的資產價值A第一次自上而下達到A*的時刻：τ=inf{t∈(0,T)|At=A*}。根據債務定價公式(2)，t時刻債務價值Dt滿足下面的HJB (Hamilton-Jacobi-Bellman)方程：

(3)

為了確定上述HJB方程的解，債務價值D(t,At)需要滿足邊界條件：

D(0,A0)=D0

D(t,∞)=Pt，0

D(T,AT)=min{AT,PT}

D(τ,A*)=min{(1-κ)Aτ,Pτ}

第一個邊界條件表示初始時刻債券面值等于債權人的出資D0；第二個條件表示在運營期內，如果標的資產價值足夠大，債權人總能收回股東尚未償還的本金和利息；第三個條件表示項目到期時債權人的收益；最后一個條件則表示破產時債券人的獲益。因為第一個和第二個條件是通用條件，所以在后文的表達中將不再單獨列出。

如果標的資產的風險可以被公開市場證券充分對沖，上述模型可以簡化為標準的Leland和Toft[13]有限期債務模型。實際上，公式(3)及其邊界條件類似于有限期債的定義，但是值得注意的是在上述定義中，當債務到期時，債權人獲得尚未償還的本金和面值，并非債券面值。尚未償還的本金和面值或許比面值低，或許比面值高，依賴于債券類型。

2.2 分層債務結構及估值

股權收購通常發(fā)行如下幾種形式的債券進行債務融資：優(yōu)先級信用債(first-lien revolver)、優(yōu)先A級債(first-lien term A)、優(yōu)先B級債(first-lien term B)以及次級債(second-lien)。接下來，本文將具體分析股權收購交易中各層債務的估值問題。

優(yōu)先級信用債通常由銀行提供，是一種貸款承諾，需要標的公司提供一定的資產作為擔保，因此安全性較高。公司只會在資金周轉困難時使用這種債務融資，并且公司的舉債規(guī)模也不確定，視實際需求而定。公司通常會在現金流恢復后盡快償還信用債，以備下次使用。信用債的實際期限十分靈活，難以定量分析。此外，由于優(yōu)先信用債的償付級別最高，期限很短，信貸利差通常由銀行與收購基金協商決定，與基金公司的償付能力有較大關系，而與被收購的目標公司關系不大(見Demiroglu和James[5])。因此本文不考慮這種債務融資方式。

2.2.1 優(yōu)先A級債

(4)

定義t時刻優(yōu)先A級債的價值為Va(t,At)，那么Va(t,At)滿足公式(3)所示的HJB方程以及如下的邊界條件

因為優(yōu)先A級債尚未償付的本金和利息之和隨著時間的流逝而不斷減少，在債務到期時(即t=T)，目標公司剛好還清所有的利息和本金，所以在t=T時刻，尚未償還的本金和利息之和為0。

由于股權并購交易通常采用很高的杠桿，如果采用單一的優(yōu)先A級債，公司將面臨比較嚴重的現金支付壓力。尤其在初始階段，標的資產的價值處于較低水平，產生的現金流可能不足以支付優(yōu)先A級債要求的等額本息，所以債務違約問題十分突出。為了緩減這種等額本息支付壓力，股權收購基金會發(fā)行優(yōu)先B級債。

2.2.2 優(yōu)先B級債

優(yōu)先B級債則是由機構投資者提供的債務資金，為了與信用債和優(yōu)先A級債區(qū)分，優(yōu)先B級債往往也被稱為機構定期債 (institutional term loan)。優(yōu)先B級債是一種類似于子彈債的融資方式，目標公司在合同期限內只需要支付較少的利息，剩余的利息以及本金則在合同到期時一次付清。在實際操作過程中，B級債的利率以及每期支付的金額由借貸雙方商議決定。為了便于分析，本文假設每期產生的利息在當期支付，債務到期償還全部本金。

與優(yōu)先A級債相比，優(yōu)先B級債對目標公司產生的即期利息支付壓力較小。由于在到期日之前一直沒有償付本金，因此在合約期內的任意時刻t(t≤T)，尚未償還的本金為

定義t時刻優(yōu)先B級債的債權價值為Vb(t,At)，那么Vb(t,At)滿足如公式(3)所示的HJB方程以及如下的邊界條件

目前，本文給出了優(yōu)先A級債和B級債的定價方法。但是，在股權收購交易中，如果發(fā)行這兩種債務募集的資金與基金公司的自有資金依舊無法滿足收購價格，那么收購基金將會發(fā)行次級債來為這部分差額進行融資。

2.2.3 次級債

定義t時刻次級債的價值為Vp(t,At)。同理，價值函數Vp(t,At)滿足如公式(3)所示的HJB方程，同時滿足如下的邊界條件

2.3 股權估值

目標公司的現金收入主要包含兩部分，一部分是在項目到期或者破產清算之前，標的資產產生的自由現金流，另一部分是投資到期時的資產價值或者破產清算時的殘留資產價值。標的資產價值和自由現金流滿足公式(1)所示的幾何布朗運動，因此在單位時間內目標公司產生的自由現金流為δAt。定義t時刻目標公司權益部分的價值為Ve(t,At)，那么其滿足如下所示的HJB方程

與債權價值相似，Ve(t,At)滿足如下的邊界條件：

Ve(τ,Aτ)=min((1-κ)Aτ-Va(τ,Aτ)-Vb(τ,Aτ)-Vp(τ,Aτ),0)

上述HJB方程刻畫了構成股權回報的三個方面：現金流與利息支出的差額，時間變動帶來的價值改變，以及標的資產變動帶來的價值變化。如果當現金流與利息支出的差額為負時，股東利用自由資金彌補這部分赤字。區(qū)別于傳統(tǒng)的無限期動態(tài)估值模型(Leland[14])，本文考慮有限期情形，因此在權益估值中需要考慮時間維度。

值得注意的是，無論是債券估值還是股權估值，都是在給定股東選擇的最優(yōu)破產邊界A*條件下進行計算的。事實上，當標的資產價值較低時，目標公司產生的自由現金流也處于較低水平(即δAt)，但目標公司需要大量的自由現金用于支付債務利息，因此目標公司的利息償付壓力較大。在這種情況下，股東需要權衡繼續(xù)運行目標公司帶來的收益和立即破產所節(jié)省的利息成本。由于利息是一個相對穩(wěn)定的現金支出，并不會隨著資產價值下降而減少。因此，當標的資產價值低于某個數值時，股東有動力選擇破產清算。如果選擇破產清算，股東可以避免此后持續(xù)的利息支出。與此相反，過早選擇破產清算，股東會喪失未來項目成功帶來的高收益(期權屬性)。因此，在股權收購初始時刻，股東需要選擇最優(yōu)的破產觸發(fā)點A*最大化股權價值。根據Leland和Toft[13]和Leland[14]以及其他文獻，股權價值最大化要求破產觸發(fā)點A*滿足如下的光滑粘貼條件

(5)

其中Ve(A;A0,A*)表示給定標的資產初始價值A0和股東選擇的破產邊界A*時的股權價值Ve(0,A0)。顯然，股東選擇的破產邊界A*為常數，這體現了股東的理性預期，所以與債務距到期的時間無關，這與Leland和Toft[13]有限期債務結構下的常數破產邊界相一致。

因破產清算時標的資產的剩余價值是債券價值的來源之一，所以破產邊界A*對于債券估值也會產生較大影響。當破產邊界較高時，目標公司會更早破產，雖然較高的破產邊界增加了破產清算時債權人可能獲得的剩余價值，但是減少了債權人獲得利息收入的時間。如果選擇較低的破產邊界，雖然增加了債券的利息收入，但是一旦破產清算，剩余價值有可能無法償付剩余的所有債務。所以對于本文考慮的多層債務問題，因不同債務的優(yōu)先級和利息支付條款不相同，破產邊界對債務價值的影響會更加復雜。

對于優(yōu)先A級債而言，合約持續(xù)期的現金利息是構成債權價值的最主要部分，本金隨著合約到期而逐漸下降到零。所以對于優(yōu)先A級債的債權人來說，改變破產邊界主要通過影響利息收入(等額本息)來影響債權價值。但對于次級債而言，債務持續(xù)期內的現金利息很少，甚至沒有，債權人主要依賴到期時一次性收回債務價值。所以，對于次級債債權人而言，破產邊界主要通過影響清算價值而影響債權價值。破產邊界對優(yōu)先B級債價值的影響介于對優(yōu)先A級債和次級債之間。在考慮了破產邊界變化對不同債權價值的影響之后，不同優(yōu)先級的債權人選定信貸利差(以及次級債的現金利息)，使得債務在初始時刻的價值等于債權人的出資，保證所有債權人盈虧平衡。

3 參數校準

Metrick和Yasuda[1]通過研究144家股權收購基金的數據，發(fā)現股權收購投資的波動率為60%。根據Campbell等[15]的研究，小公司的波動率為60%，但Metrick和Yasuda認為其樣本中的股權收購投資波動率過小，因此他們在模型中選取90%作為標的資產幾何布朗運動的波動率。而在本文中，我們選取60%的波動率作為基本參數。

Demiroglu和James[5]分析了181個杠桿收購案例，其樣本顯示，凈現金流大約為總資本的7%左右(在不同年代，這一數據在5%～12%之間波動)，EBITDA大約為總資本的11%(在不同年代，這一數據在8%～16%之間波動)。本文選取δ=10%作為單位時間內標的資產產生自由現金流的速度。

私募基金的目標公司大多具有很高的成長潛力，股權收購案例也不例外。Harris等[16]研究發(fā)現，私有股權投資標的相對于標普500(S&P500)的超額收益為6.6%。基于這些實證結果，本文選擇μA=20%作為基本參數。

Kaplan和Str?mberg[3]發(fā)現私有股權收購基金通常不會在同一家目標公司投資超過五年，如果項目成功，基金將會在剩余五到八年回收投資。Demiroglu和James[5]的樣本數據顯示股權收購中的債務融資平均期限為44～90個月，其中優(yōu)先A級債的期限大約為44～78個月，優(yōu)先B級債大約為70～90個月，次級債的期限大約在80個月左右。本文選取T=6，即72個月作為項目持續(xù)期。事實上，對邊界條件進行調整，本模型適用于不同期限的債務定價。

Kleymenova等[17]的樣本顯示，在2003～2010年的私募二級市場交易中，普遍存在25%左右的折價。Nadauld等[18]研究了2007～2009金融危機期間的樣本，發(fā)現私募股權二級市場折價超過了50%。本文選擇κ=40%作為折扣率。

4 模型分析

4.1 數值結果分析

因為在實際中，有的次級債包含現金利息條款，有的則不包含現金利息條款。為了檢驗模型的穩(wěn)健性，本文先分析次級債包含現金利息和不包含現金利息對各級債券信貸利差的影響。首先考慮不包含任何現金利息支付的情形，即rp=0?；谇懊娴膮抵?，本文模型的數值結果為：優(yōu)先A級債、B級債和次級債的信貸利差分別為csa=1.38%，csb=4.77%，csp=8.68%，破產邊界為A*=13.77%×A0，即標的資產價值跌到初始價值的13.77%時，目標公司選擇破產清算。通過對股權價值進行分析可得，股東的內部收益率(IRR)為22.72%。

再考慮次級債包含現金利息支付的情形。不失一般性，假設次級債現金利率為rp=4.5%。在這種情況下，三種債券的信貸利差分別為：csa=1.41%，csb=4.94%，csp=3.18%，破產邊界為A*=14.29%×A0，股東的內部收益率為22.68%。Ljungqvist和Richardson[19]通過分析私募基金投資者的現金流數據發(fā)現投資者的平均內部收益率為21.83%。而Groh和Gottschalg[20]利用Thomson Venture Economics數據庫對美國的股權收購基金進行分析，發(fā)現在剔除基金層面費用之前的內部收益率為22.73%。因此，無論次級債是否包含現金支付，基于校準的參數，本文模型估算的股權內部收益率與實證數據十分接近。

進一步對比上述兩種結果發(fā)現，次級債現金利息支付對優(yōu)先A、B級債的信貸利差和股東選擇的破產邊界影響甚微，但是極大程度地降低了次級債的信貸利差。其潛在的經濟邏輯為：如果增加合約期內次級債權人的現金利息收益，債權人在初始時刻會降低所要求的信貸利差，較低的信貸利差降低了次級債本金的累積速度。對股東而言，如果次級債要求的現金利息提高，會增加項目期內的現金支出壓力，從而使公司更有可能陷入流動性短缺的境地。但從另一個角度來說，由于次級債現金利息提高，期末本金會大幅下降，因此項目成功時，股東能得到更多的剩余價值。通過權衡這兩方面的利弊，股東最終保持破產策略基本不變，而股權價值在兩種情況下也基本相同。

綜合上述分析不難發(fā)現，提高次級債的現金利率，會對次級債產生重要影響，但對更高級別的債務和股權價值影響不大。本質上來說，次級債的現金利息和本金累積率是影響次級債價值的兩個主要方面，次級債債權人需要權衡這兩者的利弊來選擇盈虧平衡的信貸利差。一般情況下，次級債債權人的這種權衡不會直接影響優(yōu)先級高于次級債的債權價值。但是，增加次級債現金利息會增加目標公司的債息支付壓力，可能導致更早的破產清算，從而間接影響優(yōu)先級更高的債權價值。在本文的模型中，次級債現金利息導致的股權損失與次級債累積本金下降帶來的股東利益增加基本相互抵消，從而不會大幅影響股東的破產決策。鑒于此，在后文的分析中，我們均考慮具有現金利息支付的次級債。

事實上，根據優(yōu)先A級債、優(yōu)先B級債、次級債和股權價值滿足的HJB方程、邊界條件以及優(yōu)先A、B級債和次級債債權人的盈虧平衡條件，在(外生)給定股東破產邊界A*時，可以計算三種優(yōu)先級債券的價值和股權價值。然后根據光滑粘貼條件(5)在初始時刻選擇最大化股權價值的破產點A*。一旦求得破產觸發(fā)點A*，可根據標的資產的動態(tài)方程求解最優(yōu)的破產概率。為此，記f(t)和F(t)分別為標的資產價值從A0到達A*的首達時概率密度函數和累計分布函數。根據Karatzas和Shreve[21]，f(t)和F(t)分別為

+Φ[-a]

圖1給出了在基本參數設定下的破產概率。圖1(a)表示破產概率密度與時間的關系。從圖中不難發(fā)現，在項目剛開始的時候，破產概率很低，這是因為標的資產的價值遠高于破產邊界(A0=7A*)。隨著時間流逝，單位時間內的破產概率逐漸增加，大約在第三年前后達到最大值，隨后逐漸下降。圖1(b)給出了累積破產概率隨時間的變化趨勢。圖示結果說明，在項目實施的前兩年內公司的破產概率低于2%，然后隨時間一直遞增，到項目到期時破產概率大約為12%。這與Kaplan和Str?mberg[22，3]以及Andrade和Kaplan[7]等實證研究結論基本吻合。

圖1 破產概率密度和累積破產概率分布

在分層債務結構中，各層債務在不同時刻和不同資產價值下的債權價值會有所不同。如圖1所示，目標公司在前期具有較低的破產概率，因此優(yōu)先A級債有較大可能充分收回其債務價值，但優(yōu)先B級債和次級債只能依靠在后期收回其債務價值。為了進一步說明分層債務結構的優(yōu)勢和對公司杠桿、各層債務占比的影響，圖2分別繪制了不同標的資產價值和不同時間節(jié)點對應的各層債務比例以及目標公司的最優(yōu)杠桿。

圖2 目標公司的杠桿和債務比例

圖2(a)分析了在某一固定時刻(即t=0)公司杠桿、各層債務比例與標的資產價值之間的關系。其中，公司杠桿為債務總價值占公司總價值的比例，優(yōu)先A級債(優(yōu)先B級債、次級債)比例為優(yōu)先A級債(優(yōu)先B級債、次級債)價值占債務總價值的比例。分析結果表明，當標的資產價值趨近于破產邊界時，公司杠桿疾速上升并達到最大，幾乎接近100%。實際上，大量實證研究發(fā)現，在金融危機中，許多杠桿收購的目標公司由于資產貶值造成其杠桿率急速提升，最終不得不選擇破產清算，從而導致大量股權收購項目失敗[19-21]。顯然，本文的理論模型

圖2-(b)分析了在資產價值保持不變的條件下(即A=A0)，公司杠桿、各級債務占總債務的比重與時間的關系。從圖中可以看出，隨著時間的推移，債權價值在公司價值中所占的比例逐漸上升，公司杠桿逐漸提高。其主要原因在于，當標的資產價值一直保持不變的時候，具有期權屬性的股權價值就會快速縮水，從而導致公司整體杠桿上升。優(yōu)先A級債的價值隨時間增加而逐漸減小到0，所以其占比下降。但優(yōu)先B級債和次級債的占比例逐漸增加。注意到優(yōu)先B級債在每一期獲得利息支付，沒有利息累積進入本金，所以其價值本身會隨時間的流逝而降低。但與之相比，優(yōu)先A級債的債權人每期都會收到等額本息，因此其價值下降速度遠遠高于優(yōu)先B級債價值下降的速度。這種速度差異導致了優(yōu)先B級債所占比例不但不下降反而上升的結果。在實踐操作中，對于多層債務結構的估值，投資者和債權人除了要考慮各種債務所占比例，還要對具體價值進行逐個分析，更需要深入了解其變動的潛在原因和影響因素。

4.2 單層債務結構分析

至此，本文已經給出了多層債務結構下的破產邊界和股權債權價值分析，接下來對不同債務進行單獨分析，比較它們之間的差異，進一步證實多層債務結構的優(yōu)勢。

圖3給出了單層債務結果下的破產概率。從圖3(a)中可以看出，隨著時間流逝，按揭債的破產概率密度迅速上升，而本金積累型債券的破產概率密度在相對長的時間內幾乎為零。按揭債的破產概率密度最先達到峰值，然后逐漸下降，從而形成倒U型的形狀。正如上文所言，目標公司如果只發(fā)行按揭債，在項目初期將面臨較為沉重的流動性壓力，從而增加了單位時間破產清算的可能性。在項目后期，隨著本金逐漸減少，股東的期權價值越來越大，所以傾向于推遲破產，從而降低了單位時間的破產概率。不同于按揭債和子彈債，本金累積債的破產概率密度沒有出現關于時間的倒U型特征。圖3(b)給出了累計破產概率的分布情況，在本文設定的參數下，按揭債的破產概率大約是子彈債(本金累積債)的兩(四)倍。

圖3 單層債務結構下破產概率密度和分布情況

4.3 比較靜態(tài)分析

這一部分考慮主要模型參數取值對結論的影響。通常情況下，私有股權投資的目標公司大多具有很高的波動率。在上文分析中，模型設定的波動率為σA=60%，這是一種比較適中的參數選擇?，F在考慮波動率更高的情況，即σA=90% (Metrick和Yasuda[1])。保持其他參數不變的情況下，有csa=7.5%，csb=15.11%，csp=15.33%以及A*=12.26%×A0，股權的內部收益率為22.17%。這些結果表明，當標的資產波動率增加時，所有債權人都要求更高的信貸利差。提高波動率意味著目標公司擁有的項目風險越大，因此債權人會要求更高的信貸利差來彌補高波動性可能帶來價值損失。但是對股東而言，增加標的資產波動率對股權價值產生正反兩方面的影響。不利的方面，增加標的資產的不確定性增加了債權人要求的信貸利差，從而增加了合約期限內現金利息支付壓力，同時也增加了項目到期時尚未償還的債務總量，因此股東有動機選擇提前破產。另外一方面，類似于標準的資本結構理論(Leland[14])，股權具有典型的期權屬性，標的資產的波動性會增加股權價值，從而吸引股東選擇更低的破產觸發(fā)點。通過權衡這些利與弊，股東選擇最優(yōu)的破產邊界。在校準的參數下，期權效應稍微占據主導作用，即增加標的資產的不確定性，股東選擇推遲破產。實際上，股東通過權衡，選擇最優(yōu)的破產觸發(fā)點，極大地削弱了標的資產不確定性對股權內部收益率的影響(IRR(σA=60%)=22.68%，IRR(σA=90%)=22.17%)。這主要是因為債務對目標公司標的資產的風險有著十分重要的分散作用，而這種分散機制非常類似于債務對異質風險的分散作用(關于金融工具可分散企業(yè)特質風險的研究可參考Chen, Miao和Wang[23], Wang, Yang和Zhang[24]等文獻)。

資本市場的利息率是衡量市場流動性的有效指標之一。當市場流動性較充裕時，市場利率處于較低水平，債務融資成本也會比較低。在基本模型分析中，本文設定市場利率為r=5%。為了分析市場流動性對債務價值、破產決策以及股權價值的影響，本文設定一個更低的市場利率，即r=2%。在其他參數不變的情況下，通過計算可得：csa=1.1%，csb=4.1%，csp=2.45%，破產邊界為A*=11.02%×A0，股權的內部收益率為26.44%。這些結果表明，在低市場利率條件下，各層債務的信貸利差明顯下降。相對于高利率市場環(huán)境，目標公司的利息負擔得到顯著緩解，尚未償還的次級債本金累積量也有所下降。此外，破產邊界更低，保證了目標公司能經營更久(平均而言)，這在很大程度上歸因于項目持續(xù)期內利息負擔減少。對股東而言，在低利率市場環(huán)境中，股權的內部收益率上升到26.44%，相比于高利率情況下的內部收益率有較大幅度提升。AJSW[2]曾指出貸款成本對于股權收購杠桿實施和估值都會產生重大影響，低廉的債務融資是股權收購市場繁榮的重要條件。Kaplan和Stein[4]通過實證研究指出，上世紀80年代高收益?zhèn)袌龅姆睒s，是股權收購市場快速發(fā)展的重要原因。顯然，本文的結果從理論上支持了這些實證結論。

5 結語

基于股權收購理論，本文構建了基于多層債務結構的債權估值和股權估值理論模型，并分析了目標公司的最優(yōu)破產策略和破產概率?；谛实哪Ｐ蛥?，模型提供了與實證數據十分吻合的股權內部收益率。在股權收購交易初期，目標公司在單位時間內的破產概率比較低，但隨后急劇上升，達到最大值后緩慢下降。破產概率的這種分布特點也與實證研究結論十分吻合。另外，文章分析了標的資產價值、時間對公司杠桿和各層債務占比的影響。特別地，隨著標的資產價值趨近于破產邊界，公司杠桿和優(yōu)先級最高的債務占比急劇上升，而其他債務的占比急速下降，這從理論上支持了在經濟條件惡化時投資者搶購安全資產的行為動機。

本文對比分析了三種不同債務融資方式對債權估值和破產決策的影響。分析結果表明，如果只采用單層按揭債方式進行融資，融資成本比較高，目標公司會選擇提前破產，從而增加了破產概率。如果只采用單層本息累積型債務進行融資，雖然破產概率較低，但是債權人要求較高的信貸利差，從而要求更高的本金累積速度，這會導致期末股東損失更多權益。而只采用單層子彈債的成本也會高于多層債務結構下的融資成本。這從融資成本、破產概率和期末股權價值等角度論證了多層債務結構的優(yōu)勢和合理性。

本文對模型的主要參數進行了比較靜態(tài)分析。分析結果顯示，雖然提高標的資產的波動率會使得債務融資成本大幅上升，但是對股權內部收益率卻影響甚微。這主要歸功于兩個方面：第一方面，增加標的資產的波動率增加了項目風險，但是股東可以通過發(fā)行債務等金融工具有效降低自己承擔的風險。另一方面，股東可以通過權衡標的資產波動率的期權效應和債務成本效應選擇最優(yōu)的破產觸發(fā)點，進而降低不確定性對自身利益的影響。除此之外，當市場利率較低時，所有債務的融資成本均有所下降，股東選擇推遲破產，股權價值顯著提升。這說明較高的市場流動性對股權收購交易產生積極影響，這與實證研究的相關結論十分吻合。

雖然本文研究了股權收購案例中具有特質風險目標公司的債權、股權估值理論和破產決策，但本文的理論結果可以為其他相似模型提供參考。比如，在場外市場(OTC)交易的以流動性較差的資產作為標的的資產擔保證券(ABS)，針對其分層收益結構，也可以利用本模型進行價值分析。