顧繼玲

(南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 210097)

數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)是當(dāng)前數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中得到了高度關(guān)注.但何時(shí)探究，何時(shí)接受？探究和接受的關(guān)系如何處理？對(duì)此相關(guān)文獻(xiàn)討論較少，基于數(shù)學(xué)學(xué)科的討論更少，本文擬以“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，對(duì)這些問(wèn)題談?wù)勛约旱目捶?

1 問(wèn)題提出：基于“勾股定理”的兩種典型教學(xué)設(shè)計(jì)

勾股定理，是平面幾何有關(guān)度量的最基本定理，它從邊的角度進(jìn)一步刻畫了直角三角形的特征；勾股定理的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生，引發(fā)數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；勾股定理可以看做第一個(gè)不定方程，為不定方程的求解提供了范式.如此等等，確定了勾股定理的重要價(jià)值.但勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)始終是一個(gè)難點(diǎn)，即如何讓學(xué)生比較自然地想到用面積的方法探索勾股定理，用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理或用演繹的方法證明勾股定理，探究還是接受，是教材和教學(xué)的面臨的選擇.

設(shè)計(jì)方案一：

(1) 介紹關(guān)于勾股定理的數(shù)學(xué)史：《周髀算經(jīng)》中出現(xiàn)的“勾廣三，股修四，徑隅五”.

(2) 給出勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2.

(3) 用拼圖法推證勾股定理.

(4) 勾股定理的應(yīng)用.

設(shè)計(jì)方案二：

(1)創(chuàng)設(shè)情境引出研究勾股定理的必要性.

(2)在方格紙上通過(guò)計(jì)算面積的方法探索勾股定理，圖1，圖2.

圖1

圖2

(3) 由學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、猜想、確認(rèn)勾股定理.

(4) 介紹勾股定理的悠久歷史、重大意義.

(5) 利用拼圖法驗(yàn)證勾股定理.

(6) 勾股定理的應(yīng)用.

兩種設(shè)計(jì)的區(qū)別是明顯的，設(shè)計(jì)方案一從史料的介紹開(kāi)始，直接告訴學(xué)生勾股定理，然后對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，不難看出對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)重心更多的是對(duì)定理的應(yīng)用；設(shè)計(jì)方案二則從學(xué)生的活動(dòng)開(kāi)始，讓學(xué)生經(jīng)歷勾股定理的獲得過(guò)程，從特殊到一般，從數(shù)到形，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.

從學(xué)習(xí)方式或教學(xué)方式角度來(lái)說(shuō)，一般我們會(huì)將方案一歸為接受學(xué)習(xí)，方案二歸為探究學(xué)習(xí)，探究學(xué)習(xí)的方案有它的優(yōu)勢(shì)所在：在探究活動(dòng)中，學(xué)生通過(guò)多種活動(dòng)，去探究和獲取勾股定理，可以達(dá)到對(duì)知識(shí)的深層理解；學(xué)生學(xué)會(huì)研究問(wèn)題的方法，將直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為正方形的面積關(guān)系，從等腰直角三角形到非等腰三角形，從直角邊的長(zhǎng)是整數(shù)到不是整數(shù)，獲得了勾股定理，更主要的是獲得了解決問(wèn)題的方法和策略——轉(zhuǎn)化、猜想和操作驗(yàn)證，所有這些活動(dòng)都是解決問(wèn)題的有效手段；學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，在探究過(guò)程中學(xué)生形成科學(xué)態(tài)度和習(xí)慣，形成實(shí)事求是、精益求精、謙虛謹(jǐn)慎、客觀公正、敢于創(chuàng)新的精神.知識(shí)技能、過(guò)程方法和情感態(tài)度價(jià)值觀的目標(biāo)均蘊(yùn)含其中，這正是數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的目標(biāo)多元的一種體現(xiàn).因此，在當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教材中都不約而同地選擇了設(shè)計(jì)方案二.

但仔細(xì)分析設(shè)計(jì)方案二，我們不難看出其缺憾之處，即從探究的對(duì)象到探究方法的過(guò)渡問(wèn)題：要探尋直角三角形三邊之間的關(guān)系，采用什么樣的方法呢？即使確定三邊是平方關(guān)系，怎么就想到把直角三角形的邊的平方轉(zhuǎn)化成方格紙中的正方形面積進(jìn)行探究了呢？這里，事實(shí)上還是老師的啟發(fā)引導(dǎo)或人為的告訴.或許有人可能會(huì)提出其他的探究方法，如：

給一些勾股數(shù)，讓學(xué)生計(jì)算、猜想吧.

(1)3,4,5；(2)5,12,13；(3)…

還沒(méi)有得到勾股定理，何來(lái)勾股數(shù)；怎么就想到平方關(guān)系呢；結(jié)果容易出現(xiàn)偏差，如32=4+5,52=12+13.

畫一些直角三角形，測(cè)量，形成猜想吧.

思路是比較自然了，但測(cè)量一定有誤差，且同樣平方關(guān)系不容易想到.

看來(lái)都不行，我們看到有的教材或教學(xué)設(shè)計(jì)中會(huì)直接告知學(xué)生：古人發(fā)現(xiàn)，直角三角形的三條邊長(zhǎng)度的平方存在一種特殊的關(guān)系.讓我們一起去探索吧！然后就給出了方格紙的圖形.但勾股定理探索的難點(diǎn)就在于方格紙的引入，怎么想到將直角三角形放到方格紙中，將直角三角形邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為正方形的面積關(guān)系.

查閱和收集勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)，我們發(fā)現(xiàn)還沒(méi)有哪個(gè)設(shè)計(jì)能真正突破這個(gè)難點(diǎn).曾在一次公開(kāi)課中聽(tīng)過(guò)一節(jié)勾股定理的課，其教學(xué)設(shè)計(jì)不同于教材或常規(guī)的教學(xué)設(shè)計(jì)，課下與授課老師交流，他設(shè)計(jì)的初衷就是想突破上述難點(diǎn)，不妨一看.

提出問(wèn)題

Rt△ABC中,∠C=90°,邊a,b,c之間有何關(guān)系？

如何解決

1.從簡(jiǎn)單的特殊的入手

問(wèn)題1:已知Rt△ABC，∠C=90°,

(1)若a=b=1,你能寫出含c的等式嗎？(c2=2)(注：所使用教材勾股定理在實(shí)數(shù)內(nèi)容之前)

(2)若a=b=2,你能寫出含c的等式嗎？(c2=8)

(3)若a=1,b=2呢？

思考:

(1)(2)的條件有什么共同點(diǎn)？(3)的條件與(1)(2)有什么區(qū)別？

(1)(2)的結(jié)果有什么共同點(diǎn)？c2=2，c2=8能讓我們想起什么？

2.分析方法

問(wèn)題: 如何驗(yàn)證問(wèn)題1(1)中以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積是否為2 ？

用網(wǎng)格1幫助

你能用上述方法驗(yàn)證問(wèn)題1(2)的結(jié)論嗎？

思考:你有哪些方法知道正方形的面積為8？

問(wèn)題：你能用上述方法幫助解決問(wèn)題1(3)嗎？

思考：你有哪些方法知道正方形的面積為5？

(4)若a=2,b=3.你能求c2嗎？

思考：你有哪些方法知道正方形的面積為13？

3.觀察歸納

問(wèn)題2:(1)梳理上述四個(gè)問(wèn)題的邊長(zhǎng)，并思考a,b,c之間有什么聯(lián)系？

(2)我們有哪些方法知道正方形的面積？

……

在此設(shè)計(jì)中，首先提出本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)：探討直角三角形三邊之間的關(guān)系，但問(wèn)題很大，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有困難，無(wú)從下手，如何解決？將問(wèn)題退回到最簡(jiǎn)單最特殊的情形，這是我們解決問(wèn)題的常用策略，很好！但求出等腰直角三角形斜邊的平方后，對(duì)于非等腰直角三角形斜邊的平方采用同樣方法無(wú)法奏效了，教師只能引導(dǎo)學(xué)生去構(gòu)造以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形，這其實(shí)還是回到了方格紙的設(shè)計(jì)難點(diǎn)問(wèn)題，沒(méi)有真正突破，且在過(guò)程中似乎聚焦的是單個(gè)的斜邊上的正方形面積，而忽略了最初始的問(wèn)題.

在歷史上勾股定理究竟是怎么發(fā)現(xiàn)的，是經(jīng)驗(yàn)的產(chǎn)物還是偶然所得，不得而知.分析比較種種設(shè)計(jì)我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“勾股定理”的探究，要讓學(xué)生在設(shè)置的情境下自然經(jīng)歷勾股定理再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，或者自己想到利用方格紙轉(zhuǎn)化為正方形的面積看來(lái)是不可能的，因此現(xiàn)有的教學(xué)設(shè)計(jì)并不是完全意義上的探究，也不可能實(shí)現(xiàn)完全意義上的探究，還是包含了一定成分的接受.

2 探究還是接受

在“勾股定理”教材或教學(xué)設(shè)計(jì)中我們看到了探究學(xué)習(xí)的力不能及，也看到了接受學(xué)習(xí)的無(wú)可替代，那么在教學(xué)中我們?cè)撊绾螌?duì)待探究和接受，怎樣處理好兩者之間的關(guān)系？

2.1 對(duì)探究本身的認(rèn)識(shí)

首先我們要對(duì)探究學(xué)習(xí)有正確的認(rèn)識(shí)，不要將其與接受學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)截然分開(kāi).什么是探究學(xué)習(xí)？查閱相關(guān)文獻(xiàn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)探究學(xué)習(xí)的解釋有很多種.有的將探究學(xué)習(xí)作為一種學(xué)習(xí)活動(dòng)，如施瓦布認(rèn)為 “探究學(xué)習(xí)是指這樣一種學(xué)習(xí)活動(dòng)：兒童通過(guò)自主地參與知識(shí)的獲得過(guò)程，掌握研究自然所必需的探究能力；同時(shí)，形成認(rèn)識(shí)自然的基礎(chǔ)——科學(xué)概念；進(jìn)而培養(yǎng)探索世界的積極態(tài)度.”[1]有的將探究學(xué)習(xí)作為一種學(xué)習(xí)方法，如人民教育出版社課程教材研究所研究員柴西琴認(rèn)為，“探究教學(xué)實(shí)質(zhì)上是將科學(xué)領(lǐng)域的探究引入課堂，使學(xué)生通過(guò)類似科學(xué)家的探究過(guò)程理解科學(xué)概念和科學(xué)探究的本質(zhì)，并培養(yǎng)科學(xué)探究能力的一種特殊的教學(xué)方法”.[2]有的將探究學(xué)習(xí)作為一種模擬性的科學(xué)研究活動(dòng)，如西南師范大學(xué)教授宋乃慶認(rèn)為， “探究學(xué)習(xí)在本質(zhì)上是一種模擬性的科學(xué)研究活動(dòng).”[3]……表述不盡相同但又有共同之處，如關(guān)注問(wèn)題性，探究學(xué)習(xí)要使學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題意識(shí)，提出對(duì)學(xué)生具有挑戰(zhàn)性和吸引力的問(wèn)題；體現(xiàn)主動(dòng)性，探究學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)性，學(xué)生在探究中始終處于主動(dòng)狀態(tài)，從問(wèn)題的提出、制定問(wèn)題探究計(jì)劃，到收集材料處理信息和得出結(jié)果驗(yàn)證結(jié)論都貫穿了學(xué)生的積極思考；凸顯過(guò)程性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知識(shí)的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn)等等.

筆者認(rèn)為，探究學(xué)習(xí)本質(zhì)上不是某種新的學(xué)習(xí)方式.理由有二：

一是，探究學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)以及合作學(xué)習(xí)等都是新課程下涌現(xiàn)出來(lái)的提法，從課程標(biāo)準(zhǔn)的論述和標(biāo)準(zhǔn)解讀來(lái)看，這些提法主要是針對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，而并不是否定傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式.傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式也有接受學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)之分，課程標(biāo)準(zhǔn)提倡在傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式的基礎(chǔ)上添加一些積極的元素或手段，接受學(xué)習(xí)也可以含有探究、自主和合作的成分，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)亦然，只不過(guò)是程度或方式不同而已，因此“探究學(xué)習(xí)”、“自主學(xué)習(xí)”、“合作學(xué)習(xí)”這樣的說(shuō)法只是我們討論的需要或強(qiáng)調(diào)的側(cè)重.

二是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身就是一個(gè)探究的過(guò)程，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生要有積極思維的參與，觀察、歸納、類比、聯(lián)想、演繹等等，探究學(xué)習(xí)必定包含這些數(shù)學(xué)活動(dòng)形式，探究學(xué)習(xí)只是具有問(wèn)題性、主動(dòng)性、過(guò)程性等一些特征的學(xué)習(xí)方式，它仍從屬于接受學(xué)習(xí)或發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí).

2.2 探究或接受的選擇

從客觀意義上來(lái)說(shuō)，每一種教學(xué)方法或教學(xué)方式有其相應(yīng)特點(diǎn)和適用范圍，沒(méi)有一種絕對(duì)的或萬(wàn)能的教學(xué)方法.在“勾股定理”教學(xué)中，“探究”教會(huì)學(xué)生解決問(wèn)題的策略，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，“接受”化解思維難點(diǎn)，節(jié)省教學(xué)時(shí)間，提高了課堂效率.一般來(lái)說(shuō)，選擇探究還是接受或以哪種教學(xué)方式為主，主要從如下兩方面去考慮：

2.2.1知識(shí)內(nèi)容角度

一方面，從知識(shí)的不同表征方式和作用來(lái)看，心理學(xué)上將知識(shí)劃分為陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)和策略性知識(shí).[4]陳述性知識(shí)也叫描述性知識(shí)，主要說(shuō)明事物是什么、為什么、怎么樣，主要用于區(qū)別和辨別事物；程序性知識(shí)，即操作性知識(shí)，是指做什么、怎么做，以及解決問(wèn)題的思維操作過(guò)程的知識(shí)，主要表現(xiàn)為技能；策略性知識(shí)是關(guān)于“如何學(xué)習(xí)、如何思維”的知識(shí)，是關(guān)于如何使用陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)去學(xué)習(xí)、記憶、解決問(wèn)題的一般方法和技巧.如：學(xué)習(xí)中如何有效記憶，解題時(shí)如何找破題點(diǎn)，如何總結(jié)解題規(guī)律，解決問(wèn)題時(shí)如何明確思維方向等.讓學(xué)生“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)創(chuàng)造”的核心就是策略性知識(shí).

陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)是可以被“告知”的，即可以通過(guò)明確表述的程序語(yǔ)言加以外顯化，而策略性知識(shí)是內(nèi)隱的、個(gè)人化的知識(shí)，它不能以文字的方式直接由一個(gè)人傳遞給另一個(gè)人，它只能通過(guò)學(xué)習(xí)者親身的參與、行動(dòng)或?qū)嵺`，才能逐漸被意會(huì)到或被體驗(yàn)到.因此，從理論上來(lái)說(shuō)，陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)是可以講授的，而策略性知識(shí)是學(xué)生在“做”的過(guò)程中被“悟”出來(lái)的. 當(dāng)然，囿于學(xué)生的自我感悟能力，有時(shí)需要將一些策略性的方法適當(dāng)?shù)丶右酝怙@并通過(guò)語(yǔ)言表述，如通過(guò)一定的問(wèn)題思考再加以點(diǎn)撥.

如果過(guò)于重視陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)的記憶和操作，則會(huì)忽視對(duì)它們的理解和策略性知識(shí)的領(lǐng)悟.“勾股定理”從其結(jié)論來(lái)說(shuō)屬于陳述性知識(shí)，是可以直接“告知”學(xué)生的，但設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)可以增進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和方法的領(lǐng)悟，其中蘊(yùn)含著豐富的策略性知識(shí)，但這些策略性知識(shí)學(xué)生又難以自發(fā)產(chǎn)生，需要老師通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題啟發(fā)引導(dǎo)，因此教材或教學(xué)設(shè)計(jì)中采用以“探究為主，接受為輔”是一種最優(yōu)的選擇.

另一方面，從知識(shí)本身的特征來(lái)看，有些數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，具有經(jīng)驗(yàn)性，有些數(shù)學(xué)知識(shí)則是純粹數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)物，具有超驗(yàn)性，如負(fù)數(shù)具有經(jīng)驗(yàn)性，而復(fù)數(shù)則是超驗(yàn)性的，對(duì)前者學(xué)生是可以自己探究的，后者學(xué)生則不可能探究，只能接受；有些數(shù)學(xué)知識(shí)具有演繹性，可以通過(guò)邏輯推理加以證明，有些數(shù)學(xué)知識(shí)只是在數(shù)學(xué)體系中的一種合乎情理的規(guī)定，[5]如三角形內(nèi)角和定理具有演繹性，有理數(shù)的混合運(yùn)算法則具有合情性，同樣前者可以設(shè)計(jì)活動(dòng)讓學(xué)生自己探究，后者則只能接受了.“勾股定理”具有經(jīng)驗(yàn)性和演繹性，因此以探究學(xué)習(xí)為主去設(shè)計(jì)活動(dòng)是比較恰當(dāng)?shù)?，只是其中仍包含了一定成分的“接受學(xué)習(xí)”.

2.2.2學(xué)情狀況角度

選擇什么樣的教學(xué)方式還要考慮學(xué)生的學(xué)情.如前文所述，探究學(xué)習(xí)是具有問(wèn)題性、主動(dòng)性、過(guò)程性等一些特征的學(xué)習(xí)方式，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)習(xí)慣有較高的要求.從班級(jí)整體狀況來(lái)看，如果班級(jí)整體學(xué)力水平比較高，且思維比較活躍，建議以探究為主，接受為輔，即在“探究中接受”，如按照這樣的過(guò)程設(shè)計(jì)“勾股定理”：“直角三角形三邊之間存在平方關(guān)系→畫直角三角形測(cè)量三邊，猜測(cè)→方格紙計(jì)算正方形面積→形成猜想”，探究中包含了接受；如果班級(jí)整體學(xué)力水平不高，或思維不夠活躍，建議以接受為主，探究為輔，即在“接受中探究”，如按照這樣的過(guò)程設(shè)計(jì)“勾股定理”：“直角三角形三邊之間存在平方關(guān)系→畫直角三角形測(cè)量三邊，猜測(cè)→技術(shù)手段準(zhǔn)確測(cè)量→形成猜想”，至于直角三角形三邊的關(guān)系和正方形的面積關(guān)系則可以在結(jié)論得到之后，在例題或習(xí)題中體現(xiàn)形的一面，接受中也滲透了一定的探究的思想.

從不同年齡段來(lái)看，對(duì)學(xué)生的探究水平也應(yīng)有不同的要求，即探究的問(wèn)題、探究的方法應(yīng)考慮到不同年齡段的學(xué)生在思維水平、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等方面的差異.以初中階段的“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)為例，可以區(qū)分為以下三種探究水平：

水平/內(nèi)容研究課題活動(dòng)方式活動(dòng)要求案例水平一(七年級(jí))明確、具體以操作性數(shù)學(xué)活動(dòng)為主,要求判斷、提出猜想并進(jìn)行說(shuō)理獨(dú)立思考、合作交流;注重探究、逐步積累經(jīng)驗(yàn)幻方[6]水平二(八年級(jí))主題明確,但具體的研究問(wèn)題由學(xué)生經(jīng)小組討論后形成以抽象、建立數(shù)學(xué)模型,推理和判斷,回顧與反思為主獨(dú)立與合作結(jié)合、注重探究與推理、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)一次函數(shù)模型[7]水平三(九年級(jí))僅給出現(xiàn)象,明確的主題和需要解決的具體問(wèn)題由學(xué)生經(jīng)小組討論后形成以抽象、推理、判斷和設(shè)計(jì),回顧與反思為主獨(dú)立思考、合作交流、注重推理、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)猜想、證明與拓廣[8]

考慮到受傳統(tǒng)教學(xué)模式的影響，教師教學(xué)方式的單一，學(xué)生在數(shù)學(xué)思考和問(wèn)題解決方面的欠缺，目前我們適當(dāng)向探究學(xué)習(xí)傾斜是需要的.當(dāng)然除了知識(shí)內(nèi)容和學(xué)情狀況影響之外，采用探究還是接受還取決于多種因素，如具體的教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)、教學(xué)設(shè)備、學(xué)習(xí)環(huán)境、教師的能力、風(fēng)格等.立足教材，關(guān)注學(xué)生永遠(yuǎn)是正確的！