儲(chǔ)炳南

(安徽省合肥市第四中學(xué) 230601)

1 問(wèn)題的提出

1640年，費(fèi)爾馬提出如下問(wèn)題：“在平面上給出A、B、C三點(diǎn)，求一點(diǎn)P使距離和PA+PB+PC達(dá)到最小.”這就是數(shù)學(xué)史上著名的“費(fèi)爾馬問(wèn)題”.特別地，點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，使PA+PB+PC最小的點(diǎn)P稱為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn).

文[1]把費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題推廣到“兩定點(diǎn)、一條定直線”的情形，下面筆者再對(duì)“費(fèi)馬點(diǎn)”問(wèn)題做出如下推廣：

推廣一在平面內(nèi)，已知三條定直線l1、l2、l3，在平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l1、l2、l3的距離之和最小.(不考慮“三線共點(diǎn)和三條直線中有平行直線”的平凡情況)

推廣二在平面內(nèi)，已知兩條定直線l1、l2和一個(gè)定點(diǎn)A，在平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l1、l2和點(diǎn)A的距離之和S最小.(不考慮“點(diǎn)A在直線l1或l2上和l2∥l2”的平凡情況)

2 問(wèn)題的解決

2.1 推廣一的解決

圖1

設(shè)直線l1、l2、l3兩兩相交于不同的三點(diǎn)A、B、C，且BC=a，AC=b，AB=c，P點(diǎn)到三條直線l1、l2、l3的距離分別為x、y、z，三角形△ABC的面積為S.為了證明的方便，不妨設(shè)a≥b≥c,

“=”當(dāng)且僅當(dāng)y=z=0時(shí)成立，即此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合.所以當(dāng)平面上三條直線l1、l2、l3兩兩相交于三個(gè)不同的點(diǎn)A、B、C時(shí)，點(diǎn)P到l1、l2、l3的距離之和的最小值恰為△ABC的最長(zhǎng)邊上的高，并且最小值在點(diǎn)P與最長(zhǎng)邊所對(duì)的頂點(diǎn)重合時(shí)取得.

2.2 推廣二的解決

設(shè)兩條定直線EF與MN相交于點(diǎn)O，定點(diǎn)為A，下面筆者根據(jù)EF和MN，以及定點(diǎn)A的相對(duì)位置進(jìn)行分類求解S取得最小值時(shí)的最優(yōu)點(diǎn).

情形一點(diǎn)A在兩直線EF和MN所成的鈍角區(qū)域內(nèi)(只需考慮點(diǎn)A在∠MOE內(nèi)部的情形，點(diǎn)A在∠FON內(nèi)部的情形同理可證.)過(guò)點(diǎn)O分別作直線EF、MN垂直的射線OG、OH，將∠MOE內(nèi)部分成三個(gè)區(qū)域，即∠HOE內(nèi)部，∠HOG內(nèi)部，∠GOM內(nèi)部，下面分三種情況：

設(shè)點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥MN，PC⊥EF，垂足分別為B，C，則S=PA+PB+PC.

圖2

(1)當(dāng)點(diǎn)A在∠HOE內(nèi)部(如圖2中陰影部分，包括邊界)時(shí)，過(guò)A點(diǎn)作MN的垂線AQ，垂足為Q，此時(shí)AQ與EF必相交，記交點(diǎn)為P0，則當(dāng)P點(diǎn)與P0重合時(shí)，S取得最小值為AQ，證明如下：

S=PA+PB+PC≥PA+PB≥AB≥AQ，

“=”當(dāng)且僅當(dāng)P與P0重合時(shí)成立.

(2)當(dāng)點(diǎn)A在∠GOM內(nèi)部(如圖3中陰影部分，包括邊界)時(shí)，過(guò)A點(diǎn)作EF的垂線AQ，垂足為Q，此時(shí)AQ與MN必相交，記交點(diǎn)為P0，同理可證明當(dāng)P點(diǎn)與P0重合時(shí)，S取得最小值為AQ.

圖3

圖4

(3)當(dāng)點(diǎn)A在∠HOG內(nèi)部(如圖4中陰影部分，包括邊界)時(shí)，下面證明此時(shí)O點(diǎn)即為最優(yōu)點(diǎn)，S的最小值為AO.

①當(dāng)點(diǎn)P在∠GOM內(nèi)部(包括邊界)時(shí)，如圖4所示，由于∠AOC≥∠GOC=90°，

所以AC≥AO.

而S=PA+PB+PC≥PA+PC≥AC≥AO，

即S≥AO.

②當(dāng)點(diǎn)P在∠HOE內(nèi)部(包括邊界)時(shí)，如圖5所示，類似①，可證：S≥AO.

圖5

圖6

③當(dāng)點(diǎn)P在∠HOG內(nèi)(如圖6所示)時(shí)，

因?yàn)椤螾OB+∠POC>90°，

所以90°>∠POB>90°-∠POC>0°，

所以sin∠POB>sin (90°-∠POC) =cos∠POC，

所以S=PA+PB+PC

=PA+PO(sin∠POB+sin∠POC)

>PA+PO(cos∠POC+sin∠POC).

因?yàn)椤螾OC為銳角，

所以cos∠POC+sin∠POB>1，

所以S>PA+PO(cos∠POQ+sin∠POQ)

≥PA+PO≥AO，

即S>AO.故無(wú)解.

④當(dāng)點(diǎn)P在∠MOF(或∠EON)內(nèi)部(包括邊界)(如圖7所示)時(shí)，

S=PA+PB+PC≥PA+PC≥AC≥AO.

綜上可知：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，S取得最小值.

圖7

圖8

情形二若直線EF與MN的夾角為直角時(shí)(如圖8所示)

設(shè)P是平面內(nèi)不同于O的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作MN、EF的垂線,垂足分別為B、C.

因?yàn)镾=PA+PB+PC≥PA+PO≥AO，

所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，S取得最小值.

圖9

情形三點(diǎn)A在兩直線EF和MN所成的銳角區(qū)域內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A分別作MN，EF的平行線，交EF、MN于點(diǎn)G、H(如圖9所示).

下面首先證明最優(yōu)點(diǎn)P應(yīng)在平行四邊形OGAH內(nèi).

若點(diǎn)P在平行四邊形OGAH邊AH的上方的區(qū)域內(nèi)，如圖9所示，過(guò)A、P分別作EF的垂線，垂足分別為R、C，又過(guò)A、P分別作MN的垂線，垂足分別為Q、B.

因?yàn)镻C>AR，且PA+PB≥AQ，

所以PA+PB+PC≥AQ+PC≥AQ+AR，

所以，P點(diǎn)沒(méi)有A點(diǎn)好，即點(diǎn)P不會(huì)在AH的上方的區(qū)域內(nèi).同理可證，點(diǎn)P不會(huì)在AG右邊的區(qū)域內(nèi).

下面再證明點(diǎn)P不會(huì)在直線EF的下方.

圖10

當(dāng)P點(diǎn)在EF下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PB⊥MN，PC⊥EF，垂足分別為B，C.過(guò)點(diǎn)C作CD⊥MN，垂足為D.如圖10所示.

因?yàn)镻A+PC>AC，PB>CD，

所以PA+PB+PC>AC+CD，

所以P不可能在EF的下方.

同理可得P不可能在MN的左邊，所以P點(diǎn)的最優(yōu)點(diǎn)只可能在平行四邊形OGAH內(nèi)部的區(qū)域.

圖11

(1)當(dāng)∠FOM<60°時(shí),P點(diǎn)最優(yōu)點(diǎn)為點(diǎn)A(如圖11所示)，證明如下：

在平面內(nèi)任意取不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A分別作EF、MN的垂線，垂足分別為K、Q，又過(guò)點(diǎn)P分別作AQ、AK的垂線，垂足分別為G、H，記PA與EF的夾角∠APH=α，PA與MN的夾角∠APG=β，則P點(diǎn)到MN、EF和點(diǎn)A的距離和為：

S=PA+PB+PC=PA+GQ+HK

=PA+AQ+AK-AG-AH

=PA+AQ+AK-PA(sinα+sinβ)

>PA+AQ+AK-PA=AQ+AK,

所以，P點(diǎn)沒(méi)有A點(diǎn)好，即A點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn).

圖12

(2)當(dāng)∠FOM=60°時(shí),記∠FOM的平分線為OX，不妨設(shè)點(diǎn)A在OX的上方(包括OX)，過(guò)點(diǎn)A作OX的平行線，交MN于點(diǎn)T，可證明AT上任意一點(diǎn)均為最優(yōu)點(diǎn)(如圖12所示).

證明如下:

過(guò)點(diǎn)A分別作EF、MN的垂線，垂足分別為K、Q，又過(guò)點(diǎn)P分別作AQ、AK的垂線，垂足分別為G、H，記∠APH=α,∠APG=β,

S=PA+PB+PC=PA+GQ+HK

=PA+AQ+AK-AG-AH

=PA+AQ+AK-PA(sinα+sinβ)

≥PA+AQ+AK-PA=AQ+AK.

“=”當(dāng)且僅當(dāng)α=β時(shí)成立，由α=β可知此時(shí)點(diǎn)P在AT上，所以，AT上任意一點(diǎn)均為最優(yōu)點(diǎn).

(3)當(dāng)∠FOM>60°時(shí)，設(shè)∠AOF=α，∠AOM=β，∠POA=θ(θ

因?yàn)棣?β=∠FOM∈(60°,90°)，

所以α、β中至少有一個(gè)不小于30°，

不妨設(shè)α≥β，所以α>30°，

下面對(duì)β進(jìn)行分類加以證明：

①當(dāng)β≥30°時(shí),作點(diǎn)A關(guān)于EF和MN的對(duì)稱點(diǎn)A′和A″，再分別過(guò)點(diǎn)A′和A″作MN和EF的垂線，垂足為H、G，過(guò)點(diǎn)P作OA的垂線，垂足為K(如圖13所示).

圖13

因?yàn)椤螹OA′=2α+β>90°，所以垂足H在ON上，同理可證垂足G在OE上.此時(shí)，P點(diǎn)的最優(yōu)點(diǎn)為點(diǎn)O，證明如下：

因?yàn)棣?min{α,β}，則β+θ與α-θ均為銳角，

S=PA+PB+PC

=PA+OP[sin(β+θ)+sin(α-θ)]

≥AK+OP[sin(β+θ)+sin(α-θ)].

因?yàn)棣?30°，β≥30°，

所以S>AK+OP[sin(30°+θ)+sin(30°-θ)]

=AK+OPcosθ=OA.

所以O(shè)點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn).

② 當(dāng)β<30°時(shí)，如果∠FOA″=α+2β≥90°，即過(guò)A″作EF的垂線，垂足為G在OE上.過(guò)點(diǎn)P作OA的垂線，垂足為K(如圖14所示).

圖14

(i)當(dāng)點(diǎn)P在∠AOF內(nèi)部(如圖14所示)時(shí)，

由α+2β≥90°?α≥90°-2β

?90°>α-θ≥90°-2β-θ>0

?sin(α-θ)≥sin(90°-2β-θ)

?sin(α-θ)≥cos(2β+θ)，

S=PA+PB+PC=PA+OP[sin(β+θ)+sin(α-θ)]

>AK+OP[sin(β+θ)+cos(2β+θ)]

=AK+OP[sin(β+θ)+cos(2β+θ)-cosθ+cosθ]

=AK+OP[sin(β+θ)-2sinβsin(β+θ)+cosθ]

=AK+OP[sin(β+θ)(1-2sinβ)+cosθ].

因?yàn)棣?30°，θ

所以sin(β+θ)(1-2sinβ)+cosθ>cosθ，

所以S>AK+OP[sin(β+θ)(1-2sinβ)+cosθ]

>AK+OPcosθ=AK+OK=OA.

(ii)當(dāng)點(diǎn)P在∠AOM內(nèi)部(如圖15所示)時(shí)，

圖15

由α+2β≥90°?α≥90°-2β

?90°>α+θ≥90°-2β+θ>0

?sin(α+θ)≥sin(90°-2β+θ)

?sin(α+θ)≥cos(2β-θ)，

S=PA+PB+PC=PA+OP[sin(β-θ)+sin(α+θ)]

>AK+OP[sin(β-θ)+cos(2β-θ)]

=AK+OP[sin(β-θ)+cos(2β-θ)-cosθ+cosθ]

=AK+OP[sin(β-θ)-2sinβsin(β-θ)+cosθ]

=AK+OP[sin(β-θ)(1-2sinβ)+cosθ].

因?yàn)棣?30°，θ

所以sin(β-θ)(1-2sinβ)+cosθ>cosθ，

所以S>AK+OP[sin(β-θ)(1-2sinβ)+cosθ]

>AK+OPcosθ=AK+OK=OA.

③當(dāng)β<30°時(shí)，如果∠FOA″=α+2β<90°即過(guò)A″作EF的垂線，垂足為G在OF的上.設(shè)A″G與MN交點(diǎn)為P0,則點(diǎn)P0為最優(yōu)點(diǎn).證明如下:

過(guò)點(diǎn)P0作PC的垂線，垂足為R(如圖16所示).

圖16

設(shè)∠AP0R=α′，∠AP0M=β′，∠AP0P=θ′，

因?yàn)棣痢?β′=∠AP0R+∠AP0M

=∠MP0R=∠MOF>60°，

故α′、β′中至少有一個(gè)大于30°，不妨設(shè)α′>30°.

又因?yàn)棣痢?2β′=90°，所以β′<30°；

由α′+2β′=90°?α′+θ′=90°-2β′+θ′

?sin(α′+θ′)=sin(90°-2β′+θ′)

?sin(α′+θ′)=cos(2β′-θ′)，

所以PA+PB+PR

=PA+P0P[sin(β′-θ′)+sin(α′+θ′)]

=PA+P0P[sin(β′-θ′)+cos(2β′-θ′)]

=PA+P0P[sin(β′-θ′)+cos(2β′-θ′)-cosθ′+cosθ′]

=PA+P0P[sin(β′-θ′)-2sin(β′-θ′)sinβ′+cosθ′]

=PA+P0P[sin(β′-θ′)(1-2sinβ′)+cosθ′]

>PA+P0Pcosθ′=P0A=P0A″,

即PA+PB+PR>P0A″，

所以S=PA+PB+PC

=PA+PB+PR+RC>P0A″+P0G

=A″G，

所以點(diǎn)P0為最優(yōu)點(diǎn).